“嘗試錯(cuò)誤”法在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

莫照發(fā)

一、引言

高職院校高等數(shù)學(xué)教學(xué)工作面臨授課學(xué)時(shí)少、教學(xué)內(nèi)容多、生源質(zhì)量下降等事實(shí)。以筆者所承擔(dān)的學(xué)院電子類專業(yè)高職數(shù)學(xué)課程教學(xué)為例，高職數(shù)學(xué)學(xué)時(shí)數(shù)僅為每周2節(jié)，加之新生軍訓(xùn)、國(guó)慶、中秋放假還要沖掉部分學(xué)時(shí)，余下學(xué)習(xí)時(shí)間已不足30學(xué)時(shí)。加之學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，數(shù)學(xué)相對(duì)于專業(yè)其他課程又比較難學(xué)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有“怕學(xué)、怕錯(cuò)”的畏難情結(jié)。在筆者所教授的兩個(gè)班級(jí)總共130人的問(wèn)卷調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，“對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感興趣”的學(xué)生只有25人，所占比例不到20%，而“對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不感興趣”的卻有87人，占比約為67%，其他18人經(jīng)過(guò)訪談發(fā)現(xiàn)，他們對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)談不上“感興趣”，也談不上“討厭”，一副“無(wú)所謂”的態(tài)度。對(duì)高等數(shù)學(xué)不感興趣的學(xué)生當(dāng)中許多人甚至有“害怕上數(shù)學(xué)課”的學(xué)習(xí)心理，“恐高癥”因此成為當(dāng)前高職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)面臨的巨大困境。

在當(dāng)前高職課堂教學(xué)中，“滿堂灌”的教學(xué)現(xiàn)象比較普遍，教學(xué)模式比較單一，這種現(xiàn)象對(duì)培養(yǎng)具有較強(qiáng)技術(shù)應(yīng)用能力的高職人才十分不利。傳統(tǒng)的高職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)大多依賴于“講授經(jīng)典例子+模仿例題式配套練習(xí)+課后作業(yè)鞏固”的教學(xué)模式，基本上是以教師為中心實(shí)施教學(xué)的范式，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性不高，教學(xué)質(zhì)量難如人意。怎樣利用較少的授課時(shí)間來(lái)獲得較好的教學(xué)質(zhì)量，是廣大高等數(shù)學(xué)教學(xué)工作者應(yīng)思考的問(wèn)題。

改革舊有的教學(xué)觀念和教學(xué)方法迫在眉睫。回首近現(xiàn)代各種教學(xué)模式流派，桑代克的“嘗試錯(cuò)誤”教學(xué)理念曾經(jīng)一度被冠以行為主義的教學(xué)立場(chǎng)而令諸多一線教師諱莫如深，經(jīng)筆者仔細(xì)考量，發(fā)現(xiàn)其仍不失為適合于當(dāng)前高職數(shù)學(xué)教育教學(xué)現(xiàn)狀的一味良方。

二、“嘗試錯(cuò)誤”教學(xué)法的理論基礎(chǔ)及現(xiàn)實(shí)意義

錯(cuò)誤是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程不可避免的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)教學(xué)中企圖讓學(xué)生完全避免錯(cuò)誤是不可能的，也是沒(méi)有必要的。正如哲學(xué)家波普爾所說(shuō)：“錯(cuò)誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素，發(fā)現(xiàn)的方法就是試錯(cuò)方法。”美國(guó)心理學(xué)家桑代克（Thomdike，1874-1949）的“刺激——反應(yīng)”學(xué)說(shuō)就是一種以“嘗試錯(cuò)誤”為主要特色的教學(xué)理念。桑代克以“餓貓迷籠”做實(shí)驗(yàn)，提出學(xué)習(xí)不是建立觀念之間的聯(lián)結(jié)，而是建立刺激——反應(yīng)（S-—R）之間的聯(lián)結(jié)，即在一定的刺激情境與某種正確反應(yīng)之間形成聯(lián)結(jié)，其中不需要觀念或思維的參與。桑代克的研究觀點(diǎn)認(rèn)為學(xué)習(xí)的聯(lián)結(jié)過(guò)程是通過(guò)不斷的修正錯(cuò)誤來(lái)建立的，即在不斷重復(fù)的嘗試中，錯(cuò)誤的反應(yīng)逐漸被摒棄，正確的反應(yīng)則不斷得到加強(qiáng)，最后形成了固定的“刺激——反應(yīng)”聯(lián)結(jié)。拋開(kāi)桑代克“認(rèn)知無(wú)需觀念或思維參與”的不合理成分，結(jié)合現(xiàn)今高職數(shù)學(xué)教學(xué)的困境及學(xué)生的特點(diǎn)，我們認(rèn)為可以將高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程視為學(xué)生積極主動(dòng)嘗試錯(cuò)誤的過(guò)程，教學(xué)則是一個(gè)不斷矯正學(xué)生錯(cuò)誤以達(dá)到正確認(rèn)知的過(guò)程。聯(lián)臺(tái)國(guó)教科文組織第十九次國(guó)民教育國(guó)際會(huì)議資料中指出：“應(yīng)當(dāng)研究學(xué)生所犯錯(cuò)誤，并把錯(cuò)誤看成是認(rèn)識(shí)過(guò)程和認(rèn)識(shí)學(xué)生思維規(guī)律的手段。”對(duì)于學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，要采用積極的態(tài)度，正如蘇霍姆林斯基所說(shuō)：“任何一種教育現(xiàn)象，孩子在越少感到教育者的意圖時(shí)，它的教育效果就越大，我們把這條規(guī)律看成是教育技巧核心。”

在現(xiàn)今高職數(shù)學(xué)教學(xué)面臨諸多困境的現(xiàn)實(shí)背景下，嘗試錯(cuò)誤教學(xué)模式是切實(shí)可靠的。因?yàn)椋瑥慕虒W(xué)對(duì)象分析，學(xué)生基礎(chǔ)不好的前提下，運(yùn)用發(fā)現(xiàn)、探究等認(rèn)知心理學(xué)教學(xué)模式勢(shì)必遇到很大的困難；從教師角度分析，嘗試錯(cuò)誤教學(xué)模式簡(jiǎn)單易行，便于開(kāi)展教學(xué)和掌控課堂；從學(xué)習(xí)的內(nèi)在心理機(jī)制分析，嘗試錯(cuò)誤模式允許學(xué)生犯錯(cuò)并最終通過(guò)錯(cuò)誤來(lái)習(xí)得正確的解題思想方法，更利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念。

三、高職數(shù)學(xué)課堂“嘗試錯(cuò)誤”教學(xué)四步曲

根據(jù)行為主義心理學(xué)教學(xué)理論，學(xué)習(xí)即“刺激——反應(yīng)”之間聯(lián)結(jié)的加強(qiáng)，教學(xué)的藝術(shù)關(guān)鍵在于如何安排強(qiáng)化。據(jù)此，我們提煉出“嘗試錯(cuò)誤”教學(xué)法的四個(gè)教學(xué)步驟：

1.試誤。通過(guò)精心備課，通曉學(xué)生的錯(cuò)誤心理，順勢(shì)而為，因勢(shì)利導(dǎo)，故意把學(xué)生引向錯(cuò)誤的解題方向，屬于嘗試錯(cuò)誤的過(guò)程。

2.析誤。通過(guò)回顧解題過(guò)程，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)在哪里，總結(jié)產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，屬于一個(gè)醒悟、知錯(cuò)的過(guò)程。

3.糾誤。幫助學(xué)生找到改正錯(cuò)誤的辦法，正確解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，屬于改正錯(cuò)誤的過(guò)程。

4.思誤。對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行反思自省的過(guò)程，包含豐富的元認(rèn)知策略，能夠幫助學(xué)生今后減少錯(cuò)誤現(xiàn)象，少走彎路，更快更準(zhǔn)地找到正確的解題方法。

隨著各高職院校專業(yè)及課程改革不斷深化，高職數(shù)學(xué)課程已經(jīng)逐步被壓縮為以微積分初步為核心內(nèi)容的教學(xué)構(gòu)架。本文擬從“極限”“導(dǎo)數(shù)”“積分”等微積分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)中各選一例以說(shuō)明“嘗試錯(cuò)誤”教學(xué)法及其應(yīng)用。

例1：求未定式極限limn→0x2·sin1xsinx

試誤：由于它是一個(gè)未定式，若根據(jù)洛必達(dá)法則則有：

limx→0x2·sin1xsinx=limx→02x·sin1x+x2·cos1x·-1x2cosx=limx→02x·sin1x-cos1xcosx

此時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目已經(jīng)做不下去。

析誤：教師即時(shí)幫助學(xué)生分析錯(cuò)誤的原因是limx→0cos1x不存在，既然不存在當(dāng)然就不符合洛必達(dá)定理的條件了，即不能運(yùn)用洛必達(dá)法則來(lái)解決它。

糾誤：可運(yùn)用第一個(gè)重要極限及無(wú)窮小相關(guān)知識(shí)解決：

limx→0x2·sin1xsinx=limx→0xsinx·xsin1x=limx→0 xsin1x=0

反思：洛必達(dá)法則的其中一個(gè)重要前提是在變形過(guò)程中，limx→0f ′（x）g′（x）必須存在，否則將導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。為了幫助學(xué)生在計(jì)算極限時(shí)養(yǎng)成靈活的解題策略，例如計(jì)算limx→+∞1+x2x時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生兩次運(yùn)用洛必達(dá)法則，發(fā)現(xiàn)式子又還原為原來(lái)的問(wèn)題，形成了“惡性循環(huán)”。讓學(xué)生明白洛必達(dá)法則也不是“包治百病”的“靈丹妙藥”，有時(shí)候也可能會(huì)“失靈”。事實(shí)上，本題的求解通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的恒等變形即可求出：

limx→+∞1+x2x=limx→+∞1+1x2=1

例2：求復(fù)合函數(shù)y=sin2x的導(dǎo)數(shù)

試誤：y′=（sin2x）′=（sinu）′=cosu=cos2x其中令u=2x。

析誤：為了讓學(xué)生更簡(jiǎn)單的發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，我們可以利用三角恒等變形幫助學(xué)生分析。

（sin2x）′=（2sinx·cosx）′=2[（sinx）′·cosx+（cosx）′·sinx]=2（cos2x-sin2x）=2cos2x。此時(shí)，大部分學(xué)生都知曉原先結(jié)論的錯(cuò)誤，但對(duì)原因不甚明了。這時(shí)還要從復(fù)合函數(shù)的概念著手分析，由于y=f（u），而u=φ（x），因此復(fù)合函數(shù)y=f（φ（x））求導(dǎo)過(guò)程中會(huì)遇到兩個(gè)變量u和x。題目要求解的問(wèn)題是y′=yx即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，而不是y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)y′u。所以錯(cuò)誤的原因是“只對(duì)u求了導(dǎo)數(shù)而沒(méi)有對(duì)x求導(dǎo)數(shù)”。

糾誤：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌tdydx=dydu·dudx進(jìn)行正確求解。

思誤：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，由于是對(duì)“x”求導(dǎo)而不是對(duì)“u”求導(dǎo)，一定要求導(dǎo)到自變量x方可。為此，必須運(yùn)用鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行計(jì)算。在幫助學(xué)生總結(jié)鏈?zhǔn)椒▌t規(guī)律時(shí)，筆者用“剝洋蔥”和“送快遞”兩個(gè)形象的比方幫助學(xué)生理解求導(dǎo)法則，即必須遵循“逐層求導(dǎo)”的原理。

例3：求解x·sinxdx

試誤：相當(dāng)一部分學(xué)生還感覺(jué)困難和不敢下手時(shí)，筆者動(dòng)員學(xué)生大膽嘗試，故意引導(dǎo)學(xué)生將U視為sinx，即

x·sinxdx=UV-VdU=sinx·x22-x22d（sinx）=sinx·x22-12x2·cosxdx

析誤：這時(shí)筆者“警示”學(xué)生，在積分運(yùn)算中，通過(guò)變形以后，被積函數(shù)的次數(shù)不降反升（從1變到2），往往是一種“不祥預(yù)感”。此時(shí)，絕大部分學(xué)生經(jīng)過(guò)暗示后，基本上都明白了錯(cuò)誤的原因在于誤將U視為sinx所致。但是依舊有少部分學(xué)生半信半疑，筆者繼續(xù)按照上述錯(cuò)誤思路計(jì)算下去，結(jié)果又將次數(shù)升高到了3，而依舊沒(méi)有求解成功。此時(shí)所有學(xué)生才恍然大悟。

糾誤：正確的做法應(yīng)該是將U視為x ，即：

x·sinxdx=UV-VdU=-x·cosx+cosxdx=……

思誤：幫助學(xué)生反思得出“選U要選對(duì)”的解題經(jīng)驗(yàn)，提醒學(xué)生如果一旦發(fā)現(xiàn)選U以后計(jì)算過(guò)程“情況不妙”，例如次數(shù)升高或者計(jì)算不下去等現(xiàn)象，通常說(shuō)明選U失敗，必須重新選擇被積函數(shù)中另外那部分的函數(shù)作為U，此技巧美名其曰“回頭是岸”。筆者趁機(jī)向?qū)W生滲透情感態(tài)度價(jià)值觀教育：人生之中也有偶爾碰壁的時(shí)候，但是犯錯(cuò)誤以后要知道改正和反思，要汲取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，正所謂“浪子回頭金不換”。在數(shù)學(xué)課堂中適時(shí)施以人文關(guān)懷，學(xué)生頓時(shí)興致盎然，改變了部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本看法。

“嘗試錯(cuò)誤”法在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

四、結(jié)語(yǔ)

恩格斯說(shuō)過(guò)：“無(wú)論從哪方面學(xué)習(xí)都不如從自己所犯錯(cuò)誤的后果中學(xué)習(xí)來(lái)得快。”嘗試錯(cuò)誤法經(jīng)過(guò)實(shí)踐證明是一種行之有效的高職數(shù)學(xué)教學(xué)方法，它能夠增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。基于當(dāng)前高職數(shù)學(xué)學(xué)時(shí)偏少及高職生源質(zhì)量普遍下降等事實(shí)，運(yùn)用“嘗試錯(cuò)誤法”有助于克服學(xué)生害怕數(shù)學(xué)、害怕錯(cuò)誤的學(xué)習(xí)心理，在嘗試錯(cuò)誤教學(xué)法中適當(dāng)滲透人文教育、挫折教育、情感教育，有利于培養(yǎng)高職學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和自信心。

[本文系廣東省數(shù)學(xué)會(huì)高職高專分會(huì)2016年教科研課題“高職數(shù)學(xué)課程教學(xué)模式改革研究與實(shí)踐”（項(xiàng)目編號(hào)：粵數(shù)分會(huì)研[2016]03號(hào)）研究成果之一。]

責(zé)任編輯何麗華