行列式計算為背景的空間向量問題

項效萱

【摘要】行列式為高中數學選修課程中的內容之一，該知識點簡單易掌握，并且與空間向量問題有著千絲萬縷的聯系，使用三階行列式計算法則，可以輕松解決多種空間向量問題。

【關鍵詞】行列式 法向量 空間三角形面積 三棱錐體積

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）24-0296-01

背景知識：行列式基本運算法則：

（1）二階行列式

（2）三階行列式

接下來我們來探討行列式在空間向量中的實際運用

（1）行列式的求解法向量

法向量為

則有，

該方法的本質是：向量的“×”乘運算，得到垂直兩向量的新向量，即為法向量。其方向可利用左手定則判斷，與物理中的磁場力方向判斷方法是完全一致的。

例1：如圖所示，PA⊥面ABCD，面ABCD為矩形，PA=

AB=1，PD與面ABCD所成角為30°，點F是PB中點，點E在PB邊上移動，求面PAC法向量。

傳統解法：建立如圖所示坐標點

其中A（0，0，0）P（0，0，1）

設法向量

用行列式求解：建立如圖所示坐標系

A（0，0，0）P（0，0，1）

與傳統方法的求解得出的法向量一致。

小結：對于許多求解法向量較為復雜的問題，同學們很難容易出錯，使用行列方法既方便又不易出錯。

（2）行列式求解空間三角形的面積。

由向量的“×”乘定義知道：的本質為垂直于

的一個向量，

它的模為：（夾角），

而△ABC的面積為：

∴

（3）行列式求解三棱錐體積空間內有四點，任意一點作為頂點，例如A

則有

=（x3-x1，y3-y1，z3-z1）

=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）

三棱錐體積

例2：如圖，長方體AC1中，AB=2，BC=AA1=1，E，F，G

分別為棱DD1，D1C1，BC的中點，（1）試在底面A1B2C1D1上找一點H，使EH/平面FGB1；（2）求四面體EFGB1的體積。

解（1）略

（2）本題特點在于無法直接使用體積法換頂點，因為這4個頂點都無法直接得到棱錐的高。只能通過第一問結論將點E平移至H點處，對學生解題能力要求較高。

接下來我們使用行列式方法求解，已知：

小結：許多求解體積的題目，所求三棱錐形狀不規則，故求解困難，而使用行列式求解則不受其影響，計算比較方便。

顯然，行列式在立體幾何中能幫助我們求解一些無法使用常規方法求出的題目，并且能大大降低在計算時出現錯誤的概率，是我們立體幾何學習的重要補充和備選方案。