數學中的化歸思想

張生蘭

一、化歸思想的概念

人們在面對數學問題，如果直接應用已有知識不能或不易解決該問題時，往往將需要解決的問題不斷轉化形式，把它歸結為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決，把這種思想方法稱為化歸（轉化）思想。

從小學到中學，數學知識呈現一個由易到難、從簡到繁的過程；然而，人們在學習數學、理解和掌握數學的過程中，卻經常通過把陌生的知識轉化為熟悉的知識、把繁難的知識轉化為簡單的知識，從而逐步學會解決各種復雜的數學問題。因此，化歸既是一般化的數學思想方法，具有普遍的意義；同時，化歸思想也是攻克各種復雜問題的法寶之一，具有重要的意義和作用。

二、化歸所遵循的原則

化歸思想的實質就是在已有的簡單的、具體的、基本的知識的基礎上，把未知化為已知、把復雜化為簡單、把一般化為特殊、把抽象化為具體、把非常規化為常規，從而解決各種問題。因此，應用化歸思想時要遵循以下幾個基本原則：

（1）數學化原則，即把生活中的問題轉化為數學問題，建立數學模型，從而應用數學知識找到解決問題的方法。數學來源于生活，應用于生活。學習數學的目的之一就是要利用數學知識解決生活中的各種問題，課程標準特別強調的目標之一就是培養實踐能力。因此，數學化原則是一般化的普遍的原則之一。

（2）熟悉化原則，即把陌生的問題轉化為熟悉的問題。人們學習數學的過程，就是一個不斷面對新知識的過程；解決疑難問題的過程，也是一個面對陌生問題的過程。從某種程度上說，這種轉化過程對學生來說既是一個探索的過程，又是一個創新的過程；與課程標準提倡培養學生的探索能力和創新精神是一致的。因此，學會把陌生的問題轉化為熟悉的問題，是一個比較重要的原則。

（3）簡單化原則，即把復雜的問題轉化為簡單的問題。對解決問題者而言，復雜的問題未必都不會解決，但解決的過程可能比較復雜。因此，把復雜的問題轉化為簡單的問題，尋求一些技巧和捷徑，也不失為一種上策。

（4）直觀化原則，即把抽象的問題轉化為具體的問題。數學的特點之一便是它具有抽象性。有些抽象的問題，直接分析解決難度較大，需要把它轉化為具體的問題，或者借助直觀手段，比較容易分析解決。因而，直觀化是中小學生經常應用的方法，也是重要的原則之一。

三、化歸思想的具體應用

學生面對的各種數學問題，可以簡單地分為兩類：一類是直接應用已有知識便可順利解答的問題；另一種是陌生的知識、或者不能直接應用已有知識解答的問題，需要綜合地應用已有知識或創造性地解決的問題。如知道一個長方形的長和寬，求它的面積，只要知道長方形面積公式的人，都可以計算出來，這是第一類問題；如果不知道平行四邊形的面積公式，通過割補平移變換把平行四邊形轉化為長方形，推導出它的面積公式，再計算面積，這是第二類問題。對于廣大中小學生來說，他們在學習數學的過程中所遇到的很多問題都可以歸為第二類問題，并且要不斷地把第二類問題轉化為第一類問題。解決問題的過程，從某種意義上來說就是不斷地轉化求解的過程，因此，化歸思想應用非常廣泛。

四、解決問題中的化歸策略

1.化抽象問題為直觀問題

數學的特點之一是它具有很強的抽象性，這是每個想學好數學的人必須面對的問題。從小學到初中，再到高中，數學問題的抽象性不斷加強，學生的抽象思維能力在不斷接受挑戰。如果能把比較抽象的問題轉化為操作或直觀的問題，那么不但使得問題容易解決，經過不斷的抽象→直觀→抽象的訓練，學生的抽象思維能力也會逐步提高。

2.化繁為簡的策略

有些數學問題比較復雜，直接解答過程會比較繁瑣，如果在結構和數量關系相似的情況下，從更加簡單的問題入手，找到解決問題的方法或建立模型，并進行適當檢驗，如果能夠證明這種方法或模型是正確的，那么該問題一般來說便得到解決。

3.化未知問題為已知問題

對于學生而言，學習的過程是一個不斷面對新知識的過程，有些新知識通過某些載體直接呈現，如面積和面積單位，通過一些物體或圖形直接引入概念；而有些新知識可以利用已有知識通過探索，把新知識轉化為舊知識進行學習。如平行四邊形面積公式的學習，通過割補平移，把平行四邊形轉化為長方形求面積。這種化未知為已知的策略，在數學學習中非常常見。下面舉例說明。

4.化一般問題為特殊問題

數學中的規律一般具有普遍性，但是對于小學生而言，普遍的規律往往比較抽象，較難理解和應用。如果舉一些特殊的例子運用不完全歸納法加以猜測驗證，也是可行的解決問題的策略。下面舉例說明。

化歸思想作為最重要的數學思想之一，在學習數學和解決數學問題的過程中無所不在，對于學生而言，要學會善于運用化歸的思想方法解決各種復雜的問題，最終達到在數學的世界里舉重若輕的境界。

參考文獻：

[1]《2011版小學課程標準解讀》.

[2]人教版一至六年級《小學數學教師參考用書》.