從高考談圓錐曲線優化教學
——以2015年高考數學浙江卷為例

筅江蘇省常熟市尚湖高級中學余志峰

從高考談圓錐曲線優化教學
——以2015年高考數學浙江卷為例

筅江蘇省常熟市尚湖高級中學余志峰

高考注重圓錐曲線綜合性的考查，研讀各地的高考卷，題型設計精妙，注意區分基礎與能力，對教學也帶來了好的啟示，尤以靈活變通最為重要.我們在教學過程中需要加強學生對數學方法的學習和感悟，引導學生結合自身尋求優解.

圖1

一、考題及思路突破

考題1（2015年浙江高考卷）如圖1所示，現有一拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y-4）2=1，它的圓心為點M.

（1）求圓心點M到拋物線C1準線的距離；

（2）已知有一點P是拋物線C1上一個異于原點的一點，現經過點P作圓C2的切線段，并且使切線交拋物線C1于點A和B，如果經過M和P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

1.思路突破

（2）求解直線l方程的途徑很多，其中有：①M的坐標已知，設直線l的斜率為k，利用斜率求方程；②利用兩點式，設P的坐標然后求解；③確定AB的斜率，然后確定要求的斜率，分析后再求解.對比總結發現途徑①需求P的坐標，再求切線方程會復雜，過A、B兩點的斜率計算量太大，途徑②則較為簡單，途徑③實際上行不通.則以途徑②求解為主，由P點出發，設出切線的斜率，設P（x0，），A（x1，），B（x2，），根據題意有x0≠±1，x1≠x2.設經過P點的圓C2的切線的方程為y-x0=k（x-x0），即y-=k（x-x0），則

設PA、PB的斜率分別為k1、k2（k1≠k2），那么k1、k2則是上面方程的兩個解，所以有但因為P點的坐標已表示出，一元二次方程有一個根已知，則另一個根可以表示出，那么直線AB的斜率可確定，根據兩條直線相互垂直的空間關系，可以建立方程，解得，所以點P的坐標為

2.考題拓展

考題2（2015年北京卷）已知一拋物線C：y=（x+1）2，又有一圓，它們有一公共點A，并且在點A處兩條曲線的切線為同一直線l.

（1）求r的值；

（2）設m、n為異于直線l且與拋物線C及其圓M都相切的兩條直線，m和n的交點為D，求點D到直線l的距離.

圖2

考題3（2015年陜西卷）如圖2所示，曲線C由橢圓C1的上半部分和部分拋物線C2連接而成，其中（a>b>0，y≥0），C2：y=-x2+1（y≤0）.C1和C2的公共點為A、B，并且C1的離心率

（1）求a和b的值；

（2）經過點B的直線l和C1、C2分別相交于P和Q（他們均異于點A和B），如果存在AP⊥AQ，求直線l的方程.

考題4（2016年杭州市三模）如圖3所示，已知拋物線E：y2=x，圓M：（x-4）2+y2=r2（r>0），拋物線和圓相交于A、B、C、D四個點.

圖3

（1）求r的取值范圍；

（2）當四邊形ABCD的面積達到最大值時，求兩條對角線AC和BD的交點P的坐標.

3.對比揭示

上述四題都是對圓錐曲線的考查，曲線組合多種多樣，有考查圓和拋物線的，也有橢圓和拋物線的，位置關系有相交也有相切的.解題時都需要通過曲線間的位置關系表示出直線方程，對方程施加限制條件來推理求解，所不同的是考題中的條件有垂直關系，也有共線，面積最大等情況.總體的求解思路都是不變的，結合點線的相互關系列方程，根據條件解未知.

二、教學思考

1.解析高考，活學活用

從高考試題的知識點來看，高考考查內容一般都是高中知識的重點，不會偏離，題型新但不會怪.高考難題的設問也考慮大多數考生，采用一題多問的形式，尤其是綜合型很強的題型.在對圓錐曲線的考查中既有針對基礎知識的考查，又有綜合活用的考核，一般第一問突出考查學生對數學主干知識的掌握，較為簡單，第二問則注重學生靈活使用方法，綜合知識求解的能力.高考對圓錐曲線考查題型主體不變，通常將直線、三角形、曲線等幾何對象進行綜合，在結合相關的知識進行考核，求解方法靈活多樣，大同小異，需要學生自身多加總結思考，靈活解題.教學中則需要老師注重基礎，努力引導，力求避免灌輸式教學，多進行新情境下靈活轉化，活用方法的指導.

2.扎實基礎，提高能力

解題能力的提高是教學的重點，只有基礎扎實、解題步驟扎實、運算準確才可以取得高分，運算能力是中學的重點，例如對公式的使用、變形、推理是高中的基礎，需要學生在大量的、反復的練習中提高.老師則要努力引導學生進行針對性學習，優化解題方法，例題第二問的解法思路有很多，但是在具體的實施過程中最優解只有一種.在教學中需要引導學生進行反思、體驗、總結，掌握常用的解題方法，例如設而不求、整體代換、數形結合等思想方法.解題不在于量，在于精華的汲取，要讓學生在熟練基本解題方法的基礎上，努力尋求最合理、最簡便的方法，不滿足于“能解題”，而要追求“會解題”，逐步地提升解決綜合性強、難度大的題型的能力.

3.回顧反思，突破陳規

每一道經典題目都有其精華之處，每一次的復習都需要學生進行歸納總結，高考之路其實就是一次次的反思總結的過程.在教學中非常有必要對教授過的題目進行重新的分析思考，多設問多引導，讓學生在一次次的思考中加深印象，對比分析中感悟數學思想，進行重新的知識構架的調整，獲得思想上的融會貫通，摒棄陳舊的不適合的解題陋習，去突破常規.學會對具體問題具體分析，尋求適合自己的解題方法，積累自己的解題經驗，而老師在這個過程中要作為一個引導者，適時的放手，讓學生自己完成這個升華的過程.突破常規不是一個簡單的過程，需要學生親自去總結、去積累、去感悟.

三、結束語

圓錐曲線是高考重點考查的一類綜合題型，解題方法和思路也是多種多樣的，我們應該引導學生去扎實基礎，感悟其中的數學思想，通過自我意識的強化達到觸類旁通的境界，鼓勵學生回顧反思，尋求優解，活學活用，提高解題能力.

1.張進華.既要夯實“通性通法”，又要學會“靈活變通”——從兩道高考試題的解法談起［J］.中學數學（上），2016（9）.

2.董義.優化解題方法提升運算能力——談圓錐曲線中橢圓問題的求解方法［J］.中學數學（上），2016（9）.

3.鐘順榮.利用伸縮變換求解直線與橢圓相切問題初探［J］.中學數學（上），2015（3）.

4.劉志有.高中數學圓錐曲線教學的有效性策略分析［J］.數學教學通訊，2014（15）.

5.洪平鋒.圓錐曲線互相垂直切交點的一個性質——一道2014年廣東高考試題的推廣［J］.數學教學通訊，2014（6）.F