基于微課的學生說題案例探析

謝春華+陳海烽

[摘 要] 本文通過分析，界定學生說題的定義，接著展示一個學生利用微課說題的案例和學生制作微課的體會，從而提出可以開展讓學生通過一道題制作微課的學生說題活動，提出學生制作微課，可以提高他們的學習效益，提高他們的思維能力，提高他們的自我效能的觀點.

[關鍵詞] 微課；學生說題；案例

所謂微課，一般是指時間小于15分鐘的微視頻講解. 說題，就是將題目的解答思路、方法和解題過程展示出來，達到給予聽眾啟發或共鳴的目的. 學生說題微課是指學生自己制作微視頻，將自己對一道題的解答過程分析出來，展示給其他同學. 微課具有可重復使用的優越性，可以迅速在全國傳播開來，但是讓學生特別是初中生自己制作微課，展示自己對一道題的解題分析，案例尚不多見. 由于筆者承擔了一個省級課題的緣故，筆者將之付諸實踐.

正巧，筆者參加了一個區級的說題教研活動，說題的題目選自2016年福建三明市中考第25題，在說題過程中，筆者展示了筆者所在學校一位學生獨立制作的微課，微課的內容就是解題過程，受到在場所有老師的稱贊，都說“學生的能量不可估量”！在贊嘆學生能力的同時，教師紛紛對我們的課題表現出了濃厚的興趣. 現將該生的微課說題過程整理如下.

學生的微課說題過程

1. 題目呈現

如圖1，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點P為射線BD，CE的交點.

（1）求證：BD=CE；

（2）若AB=2，AD=1，把△ADE繞點A旋轉，

①當∠EAC=90°時，求PB的長；

②直接寫出旋轉過程中線段PB長的最小值與最大值.

2. 微課說題過程

作為2016年福建三明市的中考壓軸題，題目表達的是兩個等腰直角三角形旋轉. 第（1）問要證明BD=CE，已知條件是兩個等腰直角三角形（配上PPT動畫演示，把已知條件中的兩等腰直角三角形的兩條直角邊加粗、上色，直角標出，要證明的兩條邊BD，CE用與已知條件不同的顏色加粗，著重顯示）. 很明顯，條件和目標在兩個相同的三角形中（PPT顯示△ADB和△AEC），所以只要證明這兩個三角形全等就可以證得BD=CE. （下面是PPT顯示的詳細解題過程以及相應的圖形，即圖2）

對于第二種情況，即點E在BA的延長線上時，方法與第一種情況相同（PPT展示具體的解題過程，重要結論打紅色“√”，配圖如圖5），具體的解題過程如下：

第（2）②問是求在△ADE旋轉的過程中BP的最大值和最小值. 因為B為定點，P為動點，所以要求BP的最大值與最小值，要清楚點P的運動規律. 注意到在△ADE旋轉的過程中△ADB≌△AEC是確定的，所以∠DBA=∠ECA. 因為∠ABC+∠ACB=90°，所以∠PBC+∠PCB=90°. 所以∠BPC=90°. 所以點P在以BC為直徑的圓上運動（PPT演示點P的運動軌跡，即以BC為直徑的圓，配圖如圖6）.

顯然，當BP所對的圓周角越小時，BP越小；當BP所對的圓周角越大時，BP越大. 但是，對于這個圓周上的任何一點，點P都能到達嗎？這要回到點P的定義中去看. 題干中給出點P為射線BD，CE的交點，那么射線BD，CE到不了的地方，點P就到不了. 在點B，D，C，E中，B，C兩點為定點，D，E兩點為動點. D，E在以A為圓心、1為半徑的圓（⊙A）上運動（PPT動畫顯示以A為圓心，AD長為半徑的圓，并用紫色凸顯），所以CE與⊙A要有交點，點P才能存在. 要求CE與圓有交點，又要求∠BCP的最小值，所以BP取得最小值時，就是CE與⊙A在下面相切（圖7）時；當取得最大值時，就是CE與⊙A相切在上面（圖8）時（PPT演示CE與⊙A相切的兩種情況）. 思路理清了，解題過程就很簡單了. 下面是詳細的解題過程：

（2）②因為在△ADE旋轉的過程中，

始終有△ADB≌△AEC，

所以∠DBA=∠ECA.

因為∠ABC+∠ACB=90°，

所以∠PBC+∠PCB=90°.

所以∠BPC=90°.

所以點P在以BC為直徑的圓上運動.

因為AD=AE=1，所以在△ADE旋轉的過程中，點D，E始終在以點A為圓心、1為半徑的圓上運動（記作⊙A）.

因為點P為射線BD，CE的交點，

所以當CE與⊙A相切時，BP取得最小值（圖7）和最大值（圖8）.

總結 求幾何動點最值問題的方法：（1）尋找動點的運動規律，有時動點在一次函數上運動，有時在圓上運動，有時在拋物線上運動. （2）尋找動點運動的范圍，這要回到動點的定義中去求. （學生邊說，邊PPT演示總結過程，PPT如圖9）

學生感悟

因為這個微課是我們課題組布置給學生的任務，我們只提供題目，其他PPT和微視頻的錄入都是學生自己一手完成，因此課題組對學生如何完成這個過程很感興趣. 為此，筆者讓學生寫出其微課制作過程的心得體會.

感 悟

九年五班 陳姝妍

本次做的解題視頻是2016年福建三明市最后一道題，這道題涉及等腰直角三角形的旋轉. 這類題我們從初一做到初三，但每次遇到只有似曾相識的熟悉感，卻沒能一針見血地解答.

本來因為種種原因，這道題我沒做，課堂上老師有講解，我只把老師說的重點和答案抄了下來. 過了幾天，老師讓我做這道題的視頻，我才把扔在柜子里的卷子找出來，花了幾十分鐘做了一遍，發現我原來連答案都抄錯了. 這是我們普遍存在的問題，好題太多，難題做不完，老師卻只有一個，嗷嗷待哺的學生近百個，加上時間不夠，有時就要與部分數學題錯過.

認真做這個視頻的原因之一是我覺得這個視頻有存在的意義，可以給很多和我一樣的同學一些時間去理解這道題，再給我們一次聽這道題解法的機會.

對我而言，決定要做視頻了，要給同學講題了，那我就會不自覺地轉換角度看試題，不只是解決問題，而是解析試題. 這樣一折騰，對于這道題甚至是這次做視頻，我都有許多感觸.

為了讓更多的人聽懂，自己首先要很懂很懂，所以我把題目重新看了好幾遍，看到第三遍，才發現簡單的第（1）問有更簡單的解法，之前我做了一條輔助線，現在發現只要運用全等三角形，一步就可以完成. 既然是簡單題，就要用最優方法迅速解決，給后面的難題、好題留足時間.

在第（2）②問中，題目只要求寫答案不用寫過程，我原來隱約感覺可能和圓有關，求最值最可能的就是相切的時候，算是半蒙半猜寫出來的. 但是既然是講給別人聽，這樣模模糊糊的觀念不容易表達，也不準確，所以我研究了一會兒，發現這個模型中還隱藏著另外一個圓，之前老師沒有特別強調，所以我當時聽了就省略了，但其實這是問題的關鍵. 之后，我將兩個圓結合起來，通過嚴謹的推理，說明了為什么相切時BP取到最值.

也許此時我依然沒有領悟到動點問題的精髓所在，但開始錄視頻的時候，我嘗試著用通俗的語言來表達出抽象的規律. 語言最奇妙的地方就在于，當你說出你的想法時，腦海中的想法會受到表達方式的微妙影響. 然后我靈光一現，發現動點是動的，但規律卻是固定的！其他題目，哪怕不是在圓上運動，在拋物線或在直線上運動，只要發現規律，找到對應的定義域，再略加分析，就能解決所有此類型的動點最值問題——這一總結才是我最大的收獲.

不管這個視頻對別人而言如何，于我就是一次沉下心思考、總結的過程，我竟意外地在路上撿到許多灑在腳下的珠寶，收獲滿滿.

教學啟示

1. 學生微課說題可以提高他們的學習效益

學習金字塔（圖10）最早是由美國學者、著名的學習專家愛德加·戴爾1946年發現并提出的，主要是考查學生兩周后對于知識還能記住多少. 從中我們發現，塔頂就是我們最常見的第一種學習方式——聽講，學習保持率為5%. 而塔底是最佳的學習方式，就是“教別人”或者“馬上應用”，可以記住90%的學習內容. 學生微課說題，就是讓學生進行信息輸出，他們首先要完成對本試題的理解，在此基礎上才有可能輸出. 從學生做微課的感受我們可以發現，學生本來只抄寫了解題重點和答案，后來卻花了幾十分鐘去解析試題，從解析試題中我們可以發現學生終于理解并達到通透的層次. “然后我靈光一現，發現動點是動的，但規律卻是固定的！”從中可以看出一個學生鳳凰涅槃、破繭成蝶的過程. 這個過程讓學生所獲數學解題經驗比原來做許多類似的題還要多.

2. 學生微課說題可以提高他們的思維能力

學生在解析試題的過程中，通過審題，給試題的條件進行標注，可以發現有兩個全等三角形. 這其實就是我們經常告訴學生的“要怎么做”. 這里學生自己已經體會到如何做，而且通過學生來告訴學生，顯然更具可信度. 換句話說，就是更接地氣. 從學生研題的過程可以看出，學生開始感到本題和圓有關，但這只是她的直覺，后來通過研究最終證實了這一想法的正確性，而且還在此過程中發現了老師在課堂上沒有講的東西. 由此不難看出學生的邏輯推理素養. 最妙的是，學生對動點最值問題規律的發現，這也是本題的奧妙所在，這個規律是今后解決一大類動點問題的基礎. 有個這個思維上的突破，等于提高了自己的數學素養，即數學抽象能力.

3. 學生微課說題可以提高他們的自我效能

學生通過自己呈現微課，做自己同學的老師，能留住自己的東西，同時感受到自己存在的價值. 同學也會對自己有更嚴格的要求，正如學生所說：“我嘗試著用通俗的語言來表達出抽象的規律. 語言最奇妙的地方就在于，當你說出你的想法時，腦海中的想法會受到表達方式的微妙影響. ”同時學生還闡述了自己對找到規律時表現出的興奮，即發現了解決動點最值問題的一般方法，這是學生送給自己最好的禮物. 我們有理由相信，通過微課說題，學生會更加自信地出現在考場，對動點最值問題不再犯愁.

通過課題組成員的共同努力，我們對學生微課說題的生命力充滿了信心. 現在很多學生已加入微課說題制作的大軍，學生由被動聽題到自己主動說題，由原來的無序思維和混沌狀態到邏輯有序，隨著學生微課說題案例的豐富，我們強烈地感受到了學生的成長. 教學相長，這也促使教師在提供試題給學生時要更加重視試題的代表性，使學生成為某道題甚至某類題的專家.