讓拋物線的準線解題“給力”

摘要：本文通過舉例說明了如何利用拋物線的準線來解決焦點弦的相關問題，闡明了如何進行拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的等價轉化

關鍵詞：拋物線；準線；等價轉化

作者簡介：邢懷勇 （1975-）， 男，本科，中學一級教師，主要從事數學解題方法的研究.

我們先看拋物線的概念：平面內與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線（定點F不在定直線l上）.定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線.若能重視定義在解題中的應用，靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的等價轉化做到“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，那么 解決拋物線焦點弦有關問題時就可避免繁瑣的推理與運算，使解題變得輕松簡單.下面試舉幾例加以說明.

例1（2008·遼寧）已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為 （）

A172B3C5 D92

解析如圖1所示，由拋物線的定義知，點P到準線x=-12的距離d 等于點P到焦點的距離|PF|因此點P到點（0，2）的距離與點P到準線的距離之和可轉化為點P到點（0，2）的距離與點P到點F的距離之和，其最小值為點M（0，2）到點F12，0的距離，則距離之和的最小值為4+14=172

點評此處利用拋物線的定義，把點P到準線x=-12的距離d 等價轉化為點P到焦點的距離|PF|，從而構造出M、P、F三點共線時出現距離和的最小值，充分體現出“看到準線想焦點，看到焦點想準線”的妙處.

例2如圖2所示，過拋物線y=14x2焦點F的直線交拋物線與圓x2+（y-1）2=1于A、B、C、D四點，則|AB|·|CD|=

解析設A（x1，y1），B（x2，y2），∵y=14x2的準線方程為y=-1

由拋物線的定義知|AF|= y1+1， |DF|= y2+1

則|AB|·|CD|=（|AF|-1）（|DF|-1）=（y1+1-1）（y2+1-1）=y1y2

又由y=kx+1x2=4yy2-（2+4k2）y+1=0y1y2=1

點評本題若用直線方程的點斜式與拋物線方程聯立求出A、D兩點的坐標，再由直線方程和圓的方程聯立，求出B、C的坐標實施運算，不僅繁瑣而且容易迷失解題方向.此處巧用拋物線的準線，將|AF|的長度表示為 y1+1，|DF|的長度表示為 y2+1，使問題輕松獲解.當然，做為一個填空題，我們也可以小題小做，取過點F的直線y=1，分別求出A、B、C、D各點的坐標代入計算即可.

例3已知直線y=k（x+2）（k>0）與拋物線C∶y2=8x相交于A、B兩點，F為C的焦點，若|FA|=2|FB|，則k=（）

A13B23C23D223

解法一將y=k（x+2）代入y2=8x得k2x2+（4k2-8）x+4k2=0

設交點的橫坐標分別為xA，xB，則xA+xB=8k2-4，① xA·xB=4

又∵|FA|=xA+2，|FB|=xB+2， |FA|=2|FB|，

∴2xB+4=xA+2∴xA=2xB+2②

將②代入①得xB=83k2-2，

xA=163k2-4+2=163k2-2

故xA·xB==4

解得k2=89，而k>0，∴k=223，則滿足Δ>0故選D

解法二設拋物線C∶y2=8x的準線為l∶x=-2直線 y=k（x+2）（k>0）恒過定點P（-2，0） 如圖3過A、B分別AM⊥l于M，BN⊥l于N， 由|FA|=2|FB|，則|AM|=2|BN|，點B為AP的中點連結OB，則|OB|=12|AF|， ∴|OB|=|BF|點B的橫坐標為1， 故點B的坐標為（1，22）∴k=22-01-（-2）=223， 故答案選D

點評顯然第二種解法的運算量要小的多，關鍵還是拋物線的準線解題“給力”，通過拋物線的定義，

借助準線把|FA|=2|FB|過渡到|OB|=12|AF|，進而求出點B的坐標，利用兩點求出k值，可謂巧矣.

嘗試練習

已知點C為y2=2px（p>0）的準線與x軸的交點，點F為焦點，點A，B為拋物線上兩個點，若FA+FB+2FC=0，則向量FA與FB的夾角為

解答提示∵FA+FB+2FC=0，

∴FA+FB=2CF

∵點C為y2=2px（p>0）的準線與x軸的交點，由向量的加法法則及拋物線的對稱性可知，點A，B為拋物線上關于x軸對稱的兩點且作出圖形如圖4所示，其中AD為點A到準線的距離，四邊形AFBG為菱形，

∴|FE|=|FC|=p

∴|AF|=|AD|=2p

∴∠AFE=π3

∴∠AFB=2π3

∴向量FA與FB的夾角為2π3