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巧妙變換來解題

2017-06-15 15:02:23陳正亮
初中生世界 2017年23期
關鍵詞:解題利用

陳正亮

巧妙變換來解題

陳正亮

初中圖形變換包含平移、翻折和旋轉,在幾何解題中,要把握變換的本質,在圖形的運動中找到不變量,然后解決問題.變換的本質是使原有圖形的性質得以保持,改變其位置,使其轉化成新的有利于我們論證解答的幾何圖形.下面我們一起來看一下具體問題.

例1 已知:如圖1,在△ABC中,AB=5,AC=3,求中線AD的范圍.

圖1

【分析】采用倍長中線的方法,可以將△ADC繞點D旋轉180°,構造與之全等的三角形,然后利用“三角形兩邊之和大于第三邊”可解.當然也可以考慮在邊AB或AC上取中點,構造中位線,再用三角形三邊的性質解得.(請同學們自行完成,答案:1<AD<4)

變式練習1 如圖2,在△ABC中,D為BC的中點,AB=13,AD=6,AC=5.請猜想AD與AC的位置關系,并給出證明.(可以用兩種思路去考慮一下)

圖2

【小結】條件里面有中線,即可聯想到利用中位線來轉化相應的已知條件,或者倍長中線,將它們集中在一個三角形中,從而找出三條邊長之間的聯系.

例2 已知:如圖3,在正方形ABCD中,E為BC上的一點,F為CD上一點,且BE+DF= EF.求∠EAF的度數.

圖3

【分析】將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABG,然后再利用“SSS”證明△AEG≌△AEF.

變式練習2 如圖3,在正方形ABCD中,∠EAF=45°,E、F分別在BC與CD上.求證:EF= BE+DF.

【小結】利用正方形的邊長相等,通過旋轉一定的度數,把兩條線段集中到同一條線段上(補短法),再由相應的三角形全等證得結論.變式實際上與例題2屬于互逆命題,請同學們注意認真體會,今后解題往往能事半功倍,舉一反三.

例3 如圖4,△ABC是邊長為3的等邊三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,以D為頂點作一個60°角,使其兩邊分別交AB于點M,交AC于點N,連接MN,則△AMN的周長為______.

圖4

解:在AC的延長線上截取CE=BM,連接DE.

∵△ABC為等邊三角形,△BCD為等腰三角形,且∠BDC=120°,

∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°,

∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°,

在△CDE和△BDM中,

∴△CDE≌△BDM(SAS),

∴∠CDE=∠BDM,DE=DM,

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°,在△DMN和△DEN中,

∴△DMN≌△DEN(SAS),

∴MN=NE=NC+CE=NC+BM,

△AMN的周長=AN+MN+AM=AN+NC+ BM+AM=AB+AC=6.

【小結】通過圖形補全構造全等三角形,利用的思維模式是全等的“平移”和“翻轉折疊”.

例題4 如圖5,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于點D,且AD=6,CD=3.求BD的長.

圖5

【分析】本題的已知條件中有個45°的角,我們可以考慮把45°的角轉化到等腰直角三角形或者正方形中去.解題方案中有多種利用相似形或者解直角三角形來處理的方法.在這里介紹一種比較巧妙的方法.通過將Rt△ABD和Rt△ACD分別向外作軸對稱圖形,可以自然構造出正方形AEFG,而正方形的邊長就是高AD=AE=EF=AG=FG=6.設BD=x,則BF=6-x.由對稱變換可以得到BE=BD,CG=CD,在Rt△BCF中,由勾股定理得(6-3)2+(6-x)2=(3+x)2,解得:x=2,即BD=2.(解答過程略)

變式練習3 如圖6,在平面直角坐標系xOy中,已知點A(4,0),B(-6,0),點C是y軸上的一個動點,當∠BCA=45°時,點C的坐標為______.友情提醒:坐標點C有兩個位置(0,12)和(0,-12).

圖6

【小結】重點考查了45°角與90°角之間的關系,利用構造正方形這個特殊的基本圖形來解決,類似的一些問題還有對30°角與60°角的考查,半角或倍角關系等.

總之,幾何學研究圖形的形狀、大小及位置,而在初中階段對圖形位置問題的研究中,常見的變換問題占了很重要的一塊,希望同學們多加體會.

(作者單位:江蘇省常州市金壇區華羅庚實驗學校)

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