潘 霞
利用方程思想解決幾何問題
潘 霞
著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾在《思維的法則》中提出過一個(gè)解決各種問題的“萬能方法”:任何問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程求解.方程思想被廣泛應(yīng)用,內(nèi)涵豐富,是研究數(shù)量關(guān)系的重要工具.用方程思想解決幾何問題,我們要先設(shè)未知數(shù),用未知數(shù)表示已知量,再通過分析題目中蘊(yùn)含的等量關(guān)系,利用所學(xué)的定理、性質(zhì)等找出等量關(guān)系,用方程的形式將其表示出來,從而實(shí)現(xiàn)用方程有效地解決幾何問題的目的.
例1(母子等腰三角形)如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上,AD=BD=BC,求∠A的度數(shù).

圖1
【分析】求角的度數(shù),但題目條件中沒有出現(xiàn)任何一個(gè)角的度數(shù),那么就需要根據(jù)邊相等得到角之間的關(guān)系,如果我們設(shè)∠A的度數(shù)為x,則圖中其余各角用含x的代數(shù)式在圖中標(biāo)出,根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°列出方程,從而求得∠A的度數(shù).
解:如圖1,設(shè)∠A的度數(shù)為x,
∵AD=BD,∴∠ABD=x,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x.
∵BD=BC,∴∠C=2x.
∵AB=AC,∴∠ABC=2x.
∵在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴x+2x+2x=180°,∴x=36°,即∠A=36°.
【點(diǎn)評】等腰三角形中求某個(gè)角的度數(shù)時(shí),通常都可以根據(jù)“三角形內(nèi)角和公式、外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)”等找到等量關(guān)系,列出方程解決.
例2(母子直角三角形)如圖2,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4,求CD的長.

圖2
【分析】母子直角三角形,大家非常熟悉,首先利用勾股定理求出AB的長為5.
方法一:等面積法列方程,利用不同方法表示Rt△ABC的面積,建立方程:5×CD=×3×4,求出CD的長.
方法二:勾股定理列方程,將Rt△ACD和Rt△BCD的公共線段CD分別放在兩個(gè)直角三角形中,設(shè)AD=x,則BD=5-x,利用勾股定理表示CD2,建立方程:32-x2=42-(5-x)2,求出CD的長.
方法三:根據(jù)相似圖形對應(yīng)線段成比例列方程,由△ACD∽△ABC,得到,建立方程:,求出CD的長.
方法四:根據(jù)相等角的三角函數(shù)相等,也可以建立方程,將∠A分別放在△ACD、△ABC中,其正弦值相等,得到,建立方程:,求出CD的長.
【思考】你會(huì)幾種方法解這道題?你覺得哪種方法比較簡便?嘗試從不同角度去認(rèn)識(shí)這個(gè)基本圖形,當(dāng)然方法優(yōu)化很重要.
例3(2014·郴州)如圖3,在矩形ABCD中,AB=8,BC=10,E是AB上一點(diǎn),將矩形ABCD沿CE折疊后,點(diǎn)B落在AD邊的點(diǎn)F上,則BE的長為 .

圖3

圖4
【分析】這是折疊問題,根據(jù)折疊性質(zhì),得到一些相等的線段、相等的角,同學(xué)們可以試著在圖上把能表示的線段、角標(biāo)出來.CF=BC= 10,CD=8,易得DF=6,AF=4,如果設(shè)BE=x,則EF=x,AE=8-x,∠EFC=∠B=90°,如圖4.
方法一:在Rt△AEF中,利用勾股定理可建立方程:42+(8-x)2=x2,即可求出BE的長.
【點(diǎn)評】善于找到題目中隱含的等量關(guān)系是關(guān)鍵,通常我們根據(jù)勾股定理、相似三角形對應(yīng)線段成比例、面積、三角函數(shù)等來建立方程.
例4(2015·威海)如圖5,在△ABC中,AB=AC,以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.(1)求證:BE=CE;(2)若BD=2,BE= 3,求AC的長.
【分析】(1)要求BE=CE,題目告訴我們AB=AC,立刻想到等腰三角形三線合一,只要證明AE⊥BC即可.連接AE,直徑AC所對的圓周角為直角.(2)如圖6,若BD=2,BE=3,則CE= 3.連接CD,直徑AC所對的圓周角為直角,在Rt△BCD中,可求得CD的長,在Rt△ACD中,設(shè)AC=x,根據(jù)勾股定理建立方程:(42)2+(x-2)2=x2,即可求出AC的長.

圖5

圖6
【答案】AC=9.
【思考】還有其他方法求解嗎?面積法能解嗎?這道題我們是根據(jù)什么等量關(guān)系列方程的?
例5(2015·泰安模擬)如圖7,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知點(diǎn)A(0,6),點(diǎn)B(8,0),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)O移動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A移動(dòng),設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒.

圖7
(1)求直線AB的解析式;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△APQ與△AOB相似?
【分析】看上去是函數(shù)問題,實(shí)際上只是幾何問題給了一個(gè)函數(shù)背景,實(shí)質(zhì)還是幾何問題.
(1)待定系數(shù)法解決;
(2)△APQ與△AOB相似,沒有明確對應(yīng)關(guān)系,需要分類討論,可以分成△APQ∽△AOB或者△APQ∽△ABO,建立方程求出t;

圖8
【解】(1)直線AB的解析式為:y=-34x+6.
(2)如圖8,∵AO=6,BO=8,∴在Rt△AOB中,根據(jù)勾股定理求得AB=10,∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,∴AP=t,AQ=10-2t.①若△APQ∽△AOB,則即:,解得(秒);②若△APQ∽△ABO,則AP=AQ,ABAO即:,解得(秒).
△AOB相似.
(3)如圖9,過點(diǎn)Q作QE⊥AO于點(diǎn)E.

圖9
∴在Rt△AEQ中,
∵S△APQ=24,5
解得t=2(秒)或t=3(秒).
在用方程解決幾何問題中,我們要注意:1.先把已知條件標(biāo)到圖中,設(shè)未知數(shù),用含未知數(shù)的代數(shù)式表示其余角或線段;2.利用圖形的性質(zhì)或定理,找到圖中蘊(yùn)含的等量關(guān)系,列出方程,解決問題;3.我們平時(shí)要有應(yīng)用方程解決問題的意識(shí),讓方程成為我們解決幾何問題的好幫手.
小試身手
1.如圖10,在等腰△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D,交另一腰AC于點(diǎn)E,若∠EBC=15°,則∠A=______.

圖10
2.如圖11,在△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8.將△ABC沿DE折疊,使點(diǎn)C落在AB邊上的C′處,并且C′D∥AC,則CD的長是多少?

圖11
3.如圖12,已知點(diǎn)E在直角△ABC的斜邊AB上,以AE為直徑的⊙O與直角邊BC相切于點(diǎn)D.(1)求證:AD平分∠BAC;(2)若BE=2,BD=4,求⊙O的半徑.

圖12
(作者單位:江蘇省常州市金壇區(qū)白塔中學(xué))

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