分解剖析 溯源歸一

黃志琴

分解剖析 溯源歸一

黃志琴

分類是初中數學第一個運用頻繁并“隆重”介紹的數學思想方法.分類討論題讓同學們“愛恨交錯”——具有挑戰性而很難攻克.其實分類是有章可循，標準是它的基礎，順序是分類全面的保障.

問題一 怎樣把 ||a的絕對值去掉？在數學問題中當我們不能確定時就需要分類.分類是需要標準的，想一想，它的分類標準是什么？正數、負數和零.與數的組成相關的分類討論：比較數的大小，有理數的加法、乘法法則，化簡二次根式等等.我們需要逐個依次考慮：負數、0、正數.

例1 化簡代數式 ||x+1+ ||x-2及求它的最小值.

例2 已知二次函數y=x2+bx+c中，函數y與自變量x的部分對應值如下表：

（1）求該二次函數的關系式；

（2）當x為何值時，y有最小值，最小值是多少？

（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）兩點都在該函數的圖像上，試比較y1與y2的大小.

【點撥】例1中我們需要找到兩個“0”點，并且組合分成“三段”（結合數軸更清晰）.

例2中的第（3）問，思路一，可轉化為y1-y2的差與0的比較（“0”點），根據m的取值范圍比較y1、y2的大小，這是函數應用中的常見問題.思路二，函數圖像關于直線x=2對稱，先確定相等時m的值為（“0”點值），在此基礎上分類.親愛的同學，解這一類題的關鍵是什么？

問題二 有一條道路和兩個養雞場.把這條道路看成一條直線l，兩個養雞場分別看成點A與點B，點A、B與直線l有多少種不同的位置關系？畫出各種可能位置的圖形.不同的位置，需逐個考慮.

例3（點在線上）已知一條直線上有A、B、C三點，線段AB的中點為P，AB=10，線段BC的中點為Q，BC=6，則線段PQ的長為___.

例4（點在線外）如圖1，已知∠AOB.

（1）用直尺和圓規作射線OP，使OP⊥OB，

并分別作∠POA、∠AOB的平分線OM、ON；（2）求∠MON的度數.

圖1

【點撥】例3中直線被點A、B分成三部分，點C相對于點B的位置可以在左側或右側，需要分類.

例4因為點P位置可以在直線OB的兩側，射線有2條，圖形有2種.

問題三 當圖形特殊化，放在平面直角坐標系或圓的背景中時，題目就變得復雜，需要分解剖析.

（1）求點A、B的坐標；

（2）點P是x軸上一點，問平面上是否存在點Q，使得以A、B、P、Q為頂點的四邊形為菱形，若存在，寫出Q的坐標；若不存在請說明理由.

圖2

【點撥】已知兩個點確定一條線段，線段AB可以是未知菱形的邊或對角線，需要分類.點P的位置是在x軸上，即第二條邊的所在直線確定，存在4個菱形，點Q的位置如下：Q1（5，3）、Q2（-9，3）、Q3（0，-3）、Q4（-，3）.

特殊圖形形狀特殊，其中存在構成元素的特殊關系，定義和性質是我們考慮的分類標準.又如等腰三角形的邊、角之間的特殊關系是我們分類的標準.確定能確定的，縮小范圍，有條理地簡化復雜問題.

小試身手

1.如圖3，A（-5，0），B（-3，0），點C在y軸的正半軸上，∠CBO=45°，CD∥AB.∠CDA=90°.點P從點Q（4，0）出發，沿x軸向左以每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為t秒.

（1）求點C的坐標；

（2）當∠BCP=15°時，求t的值；

（3）以點P為圓心，PC為半徑的⊙P隨點P的運動而變化，當⊙P與四邊形ABCD的邊（或邊所在的直線）相切時，求t的值.

圖3

2.直線y=x+3與x軸、y軸分別交于點A、C，經過A、C兩點的拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一交點為B，頂點P的橫坐標為-2.

（1）求該拋物線的表達式；

（2）連接BC，得△ABC.若點D在x軸上，且以點P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似，求出點D的坐標.

圖4

（作者單位：江蘇省常州市金壇區白塔中學）

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