大膽判斷 小心說理

許 琴

大膽判斷 小心說理

許 琴

近幾年的中考試題中，判斷說理型問題頻頻“亮相”，引起了大家的高度重視.談起解決這一類問題，相信大家腦海里都會浮現出“大膽判斷，小心說理”這八個字.“判斷”——即根據學過的數學定義、定理等知識，經過合情合理的猜想，從而作出正確的判斷；“說理”——即根據題目的要求，對自己作出的判斷進行嚴謹的計算或推理說明.下面就結合例題講講這類問題的解題方法.

一、統計型判斷說理題

統計型判斷說理題不但考查概念的理解，還考查讀圖的能力.利用統計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統計圖，才能作出正確的判斷，從而正確地解決問題.

例1 九年級（1）班開展了為期一周的“敬老愛親”社會活動，并根據學生做家務的時間來評價他們在活動中的表現.老師調查了全班50名學生在這次活動中做家務的時間，并將統計的時間（單位：小時）分成5組：A：0.5≤x＜1；B：1≤x＜1.5；C：1.5≤x＜2；D：2≤x＜2.5；E：2.5≤x＜3.

制作成兩幅不完整的統計圖（如圖）：

請根據圖中提供的信息，解答下列問題：

（1）這次活動中學生做家務時間的中位數所在的組是______；

（2）補全頻數分布直方圖；

（3）該班的小明同學這一周做家務2小時，他認為自己做家務的時間比班里一半以上的同學多，你認為小明的判斷符合實際嗎？請用適當的統計知識說明理由.

解：（1）C組的人數是：50×40%=20（人），

B組的人數是：50-3-20-10-2=15（人），

把這組數據按從小到大的順序排列，由于共有50個數，第25、26個數都落在1.5≤x＜2范圍內，則中位數落在C組.故答案為：C.

（2）根據（1）得出的數據補圖即可.

（3）符合實際.設中位數為m，根據題意，m的取值范圍是：1.5≤m＜2，

∵小明做家務的時間大于中位數，

∴他做家務的時間比班級中一半以上的同學多.

二、概率型判斷說理題

概率型判斷說理題主要是對游戲公平性的判斷.判斷游戲是否公平就是要計算每個事件發生的概率，概率相等就公平，否則就不公平.

例2 如圖所示，可以自由轉動的轉盤被3等分，指針落在每個扇形內的機會均等.

（1）現隨機轉動轉盤一次，停止后，指針指向1的概率為______；

（2）小明和小華利用這個轉盤做游戲，若采用下列游戲規則，你認為對雙方公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明理由.

解：（1）根據題意得：隨機轉動轉盤一次，停止后，指針指向1的概率為.故答案為：.

（2）不公平.列表得：

所有等可能的情況有9種，其中兩數之積為偶數的情況有5種，積為奇數的情況有4種，

三、函數型判斷說理題

函數型判斷說理題主要是決策性問題，一般需要運用分類討論的數學思想，結合函數、方程、不等式的知識來解決.

例3 甲、乙兩家超市以相同的價格出售同樣的商品，為了吸引顧客，各自推出不同的優惠方案：在甲超市累計購買商品超出300元之后，超出部分按原價8折優惠；在乙超市累計購買商品超出200元之后，超出部分按原價8.5折優惠.假設顧客預計累計購物x元（x＞300），那么顧客到哪家超市購物更優惠？說明你的理由.

解：設在甲超市購物所付的費用為y1元，

在乙超市購物所付的費用為y2元.

y1=300+0.8（x-300）=0.8x+60，

y2=200+0.85（x-200）=0.85x+30.

①當y1=y2時，即0.8x+60=0.85x+30，解得x=600，即當顧客購物600元時，到兩家超市購物所付費用相同；

②當y1＞y2時，即0.8x+60＞0.85x+30，解得x＜600，而x＞300，∴300＜x＜600，即顧客購物超過300元且不滿600元時，到乙超市購物更優惠；

③當y1＜y2時，即0.8x+60＜0.85x+30，解得x＞600，即當顧客購物超過600元時，到甲超市購物更優惠.

四、幾何型判斷說理題

幾何型判斷說理題綜合性較強，不但要求同學們會判斷圖形的數量關系或位置關系，還要求大家有一定的作圖能力和分析問題的能力.

例4 如圖1所示，一幢樓房AB背后有一臺階CD，臺階每層高0.2米，且AC=17.2米，設太陽光線與水平地面的夾角為α，當α=60°時，測得樓房在地面上的影長AE=10米，現有一只小貓睡在臺階的MN這層上曬太陽.（ 3取1.73）

（1）求樓房的高度約為多少米？

（2）過了一會兒，當α=45°時，問小貓還能否曬到太陽？請說明理由.

圖1

解：（1）當α=60°時，在Rt△ABE中，

答：樓房的高度約為17.3米.

（2）當α=45°時，小貓仍可以曬到太陽.

如圖2所示，假設沒有臺階，當α=45°時，從點B射下的光線與地面AD的交點為點F，與MC的交點為點H.

圖2

此時的影長AF=AB=17.3（米），

∴CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1（米），

∴CH=CF=0.1（米），

∴大樓的影子落在臺階MC這個側面上，

∴小貓仍可以曬到太陽.

為了更好地解決判斷說理題，希望同學們能勇于對數學問題進行猜想，敢于求證自己的猜想，努力鍛煉自己的數學思維，能夠創新愉快地學習數學.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區洮西中學）