許 琴
大膽判斷 小心說理
許 琴

近幾年的中考試題中,判斷說理型問題頻頻“亮相”,引起了大家的高度重視.談起解決這一類問題,相信大家腦海里都會浮現出“大膽判斷,小心說理”這八個字.“判斷”——即根據學過的數學定義、定理等知識,經過合情合理的猜想,從而作出正確的判斷;“說理”——即根據題目的要求,對自己作出的判斷進行嚴謹的計算或推理說明.下面就結合例題講講這類問題的解題方法.
統計型判斷說理題不但考查概念的理解,還考查讀圖的能力.利用統計圖獲取信息時,必須認真觀察、分析、研究統計圖,才能作出正確的判斷,從而正確地解決問題.
例1 九年級(1)班開展了為期一周的“敬老愛親”社會活動,并根據學生做家務的時間來評價他們在活動中的表現.老師調查了全班50名學生在這次活動中做家務的時間,并將統計的時間(單位:小時)分成5組:A:0.5≤x<1;B:1≤x<1.5;C:1.5≤x<2;D:2≤x<2.5;E:2.5≤x<3.
制作成兩幅不完整的統計圖(如圖):


請根據圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)這次活動中學生做家務時間的中位數所在的組是______;
(2)補全頻數分布直方圖;
(3)該班的小明同學這一周做家務2小時,他認為自己做家務的時間比班里一半以上的同學多,你認為小明的判斷符合實際嗎?請用適當的統計知識說明理由.
解:(1)C組的人數是:50×40%=20(人),
B組的人數是:50-3-20-10-2=15(人),
把這組數據按從小到大的順序排列,由于共有50個數,第25、26個數都落在1.5≤x<2范圍內,則中位數落在C組.故答案為:C.
(2)根據(1)得出的數據補圖即可.

(3)符合實際.設中位數為m,根據題意,m的取值范圍是:1.5≤m<2,
∵小明做家務的時間大于中位數,
∴他做家務的時間比班級中一半以上的同學多.
概率型判斷說理題主要是對游戲公平性的判斷.判斷游戲是否公平就是要計算每個事件發生的概率,概率相等就公平,否則就不公平.
例2 如圖所示,可以自由轉動的轉盤被3等分,指針落在每個扇形內的機會均等.
(1)現隨機轉動轉盤一次,停止后,指針指向1的概率為______;
(2)小明和小華利用這個轉盤做游戲,若采用下列游戲規則,你認為對雙方公平嗎?請用列表或畫樹狀圖的方法說明理由.

解:(1)根據題意得:隨機轉動轉盤一次,停止后,指針指向1的概率為.故答案為:.
(2)不公平.列表得:

所有等可能的情況有9種,其中兩數之積為偶數的情況有5種,積為奇數的情況有4種,
函數型判斷說理題主要是決策性問題,一般需要運用分類討論的數學思想,結合函數、方程、不等式的知識來解決.
例3 甲、乙兩家超市以相同的價格出售同樣的商品,為了吸引顧客,各自推出不同的優惠方案:在甲超市累計購買商品超出300元之后,超出部分按原價8折優惠;在乙超市累計購買商品超出200元之后,超出部分按原價8.5折優惠.假設顧客預計累計購物x元(x>300),那么顧客到哪家超市購物更優惠?說明你的理由.
解:設在甲超市購物所付的費用為y1元,
在乙超市購物所付的費用為y2元.
y1=300+0.8(x-300)=0.8x+60,
y2=200+0.85(x-200)=0.85x+30.
①當y1=y2時,即0.8x+60=0.85x+30,解得x=600,即當顧客購物600元時,到兩家超市購物所付費用相同;
②當y1>y2時,即0.8x+60>0.85x+30,解得x<600,而x>300,∴300<x<600,即顧客購物超過300元且不滿600元時,到乙超市購物更優惠;
③當y1<y2時,即0.8x+60<0.85x+30,解得x>600,即當顧客購物超過600元時,到甲超市購物更優惠.
幾何型判斷說理題綜合性較強,不但要求同學們會判斷圖形的數量關系或位置關系,還要求大家有一定的作圖能力和分析問題的能力.
例4 如圖1所示,一幢樓房AB背后有一臺階CD,臺階每層高0.2米,且AC=17.2米,設太陽光線與水平地面的夾角為α,當α=60°時,測得樓房在地面上的影長AE=10米,現有一只小貓睡在臺階的MN這層上曬太陽.( 3取1.73)
(1)求樓房的高度約為多少米?
(2)過了一會兒,當α=45°時,問小貓還能否曬到太陽?請說明理由.

圖1
解:(1)當α=60°時,在Rt△ABE中,
答:樓房的高度約為17.3米.
(2)當α=45°時,小貓仍可以曬到太陽.
如圖2所示,假設沒有臺階,當α=45°時,從點B射下的光線與地面AD的交點為點F,與MC的交點為點H.

圖2
此時的影長AF=AB=17.3(米),
∴CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1(米),
∴CH=CF=0.1(米),
∴大樓的影子落在臺階MC這個側面上,
∴小貓仍可以曬到太陽.
為了更好地解決判斷說理題,希望同學們能勇于對數學問題進行猜想,敢于求證自己的猜想,努力鍛煉自己的數學思維,能夠創新愉快地學習數學.

(作者單位:江蘇省常州市金壇區洮西中學)