構造平面幾何圖形證明代數(shù)不等式

江蘇省泰州市森南新村15棟103室(225300)

于志洪●

構造平面幾何圖形證明代數(shù)不等式

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于志洪●

本文通過舉例，談談如何構造平面幾何圖形證明代數(shù)不等式，供初中師生教學時參考.

一、構造等邊三角形證明不等式

例1 設x、y、z是介于0與1之間的實數(shù).求證：x(1-z)+y(1-x)+z(1-y)<1.

分析 本題直接證明非常困難，考慮到左邊是兩個因式乘積之和的形式，而兩因式乘積通常與幾何中求圖形面積的問題有關，因此考慮構造等邊三角形或矩形來解.

二、構造圓形證明不等式

三、構造長方形證明不等式

例3 已知a、b、c、d都是正有理數(shù)，求證：

分析 此題初看，似乎無從下手，但仔細觀察其整體結構與三角形中三邊間關系相似，再觀察被開方數(shù)結構，容易聯(lián)想到勾股定理，它們都是直角三角形的斜邊，湊在一起就構造出矩形.

四、構造正方形證明不等式

五、構造梯形證明不等式

例5 已知a、b、c、d均為正數(shù)，求證：ad+bc.

綜上所述可知：注意構造幾何圖形證明代數(shù)不等式的專題研究，符合新課程改革關于“讓學生的思維活躍起來”的理念要求，有利于提高學生的專題總結水平，有利于學生在研究總結的過程中，拓展視野，啟迪思維，有利于學生系統(tǒng)靈活地掌握所學的知識內容，對于幫助學生理解課本內容，培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新意識，提高解題水平和發(fā)展思維能力，均頗有益處.

練習 1.已知a，b，x，y均為正實數(shù)，且a2+b2=1,x2+y2=1,求證：ax+by≤1.

(提示：構造如圖6所示的圓，在直徑AB=1的兩側任作Rt△ABC和Rt△ADB,使AC=a,BC=b，BD=x，AD=y.由勾股定理，知a，b，x，y滿足題設條件，根據(jù)托勒密定理，得AC·BD+BC·AD=AB·CD.因為CD≤AB=1,所以ax+by≤1.)

[1]于志洪，吳春勝.構造長方體證明三角不等式[J].數(shù)學教學研究，2011(6)

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