淺談微元法在單棒切割中的運用

欒云琦

摘要：在高中階段，學(xué)習(xí)方法至關(guān)重要，是學(xué)生取得高效學(xué)習(xí)的一把鑰匙，特別是在高中理科的各學(xué)科中，物理學(xué)科是相對較難學(xué)習(xí)的學(xué)科，很多學(xué)過高中物理的同學(xué)，總有這樣的疑問：“上課聽得懂，聽得清，就是在課下做題時不會。”這是個普遍的問題，特別值得同學(xué)們認(rèn)真研究。本文對高中物理的學(xué)習(xí)方法，特別是對微元法進(jìn)行了有益的探索。

關(guān)鍵詞：高中物理；學(xué)習(xí)方法；微元法

微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，使用微元法可以將復(fù)雜的物理過程簡單化。在單棒切割這種集磁場學(xué)、力學(xué)、運動學(xué)等為一體的模型中，更能體現(xiàn)它的微妙作用。接下來以兩例題來說明。

[例1]如圖所示，兩平行且無限長光滑金屬導(dǎo)軌MN、PQ與水平面的夾角θ=30°，兩導(dǎo)軌之間的距離為L=1m，兩導(dǎo)軌M、P之間接入電阻R=0.2Ω的定值電阻，導(dǎo)軌電阻不計，在abcd區(qū)域內(nèi)有一個方向垂直于兩導(dǎo)軌平面向下的磁場Ⅰ，磁感應(yīng)強度B0=1T。磁場的寬度x1=1m，在cd連線以下區(qū)域有一個方向也垂直于導(dǎo)軌平面向下的磁場Ⅱ，磁感應(yīng)強度B1=0.5T。一個質(zhì)量為m=1kg的金屬棒垂直放在金屬導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒的電阻r=0.2Ω，若金屬棒在離ab連線上端x0處自由釋放，則金屬棒進(jìn)入磁場Ⅰ恰好做勻速直線運動。金屬棒進(jìn)入磁場Ⅱ后，經(jīng)過ef時系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，cd與ef之間的距離x2=8m（g取10m/s?）。

（1）求金屬棒從開始靜止到磁場Ⅱ中達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)這段時間中電阻R產(chǎn)生的熱量QR。

（2）求金屬棒從開始靜止到在磁場Ⅱ中達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)所經(jīng)過的時間t。

解析：

本題題干較長，涉及多個運動階段及物理量，必須要有清晰的思路和縝密的推導(dǎo)。針對本題，主要解題思路就是分階段討論，將每一階段金屬棒受力情況、運動狀態(tài)都分析清楚，最后總體把握物體的運動。

本題第⑴問比較簡單，主要考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的靈活運用；第⑵問難度比較大，主要考查學(xué)生對數(shù)學(xué)與物理知識的綜合運用。

（1）區(qū)域Ⅰ中穩(wěn)定狀態(tài)受力分析（如圖區(qū)域Ⅰ）：

mg

區(qū)域Ⅰ 區(qū)域Ⅱ

mgsinθ=B0IL①

②

①②聯(lián)立得

v1=2m/s

區(qū)域Ⅱ中穩(wěn)定狀態(tài)受力分析（如圖區(qū)域Ⅱ）：

mgsinθ=B1IL ③

④

③④聯(lián)立得

v2=8m/s

求解電熱或用電熱公式 或用能量守恒，本題中熱量的產(chǎn)生涉及多個運動狀態(tài)，I、U、t均為待求量，用電熱公式未免舍近求遠(yuǎn)，故運用能量守恒原理運算，用動能定理對電路中產(chǎn)生的總熱量進(jìn)行求解。

= mgsinθ（x1+x2）-Q ⑤

Q=15J

本題需要求解的是定值電阻產(chǎn)生的熱量而不是總電路產(chǎn)生的熱量，根據(jù)定值電阻與總電阻之間關(guān)系易得

QR= Q=7.5J

（2）求動力時間，要把運動分成三部分：第一部分是勻加速直線運動，根據(jù)運動學(xué)公式和受力分析易得：

v1=at1 ⑥

ma=mgsinθ⑦

⑥⑦聯(lián)立得

t1=0.4s

第二部分是勻速運動，由第（1）問，得

v1=2m/s

第一、二部分的時間都容易求得，考查學(xué)生能力的就是第三部分時間求解。

一般來說，單棒切割中求解時間與速度的關(guān)系，電學(xué)中很少有涉及時間的公式（W=Pt Q=Pt=I2Rt= t），此情境中均不適用，所以我們要另尋它路。分析題中的已知量及其特點，重力為恒力，棘手的是與速度變化有關(guān)的安培力，此力的時刻變化往往使學(xué)生思路盡失。然而正是與速度有關(guān)、時刻變化這兩個特點，再加之與題中所求量時間的聯(lián)想推理使思路豁然開朗。

運用動量定理

（mgsinθ-

⑨⑩兩式聯(lián)立化簡得

mgsinθt3 - = mv2-mv1

公式中有v與t3兩個未知量，且v是一個時刻發(fā)生變化的量，我們很難通過運動學(xué)規(guī)律求出變化公式，這時就要通過微元法來求解。我們可以聯(lián)想到在v-t圖象中，物體通過的位移是圖象與x軸所圍成圖形的面積，所以盡管v是一個變量，vt3=x2總是成立的。

將vt3=x2代入，有

解得t3=2.2s

t總=t1+t2+t3=3.1s

[例2]如圖（甲）所示，左側(cè)接有定值電阻R=2Ω的水平粗糙導(dǎo)軌處于垂直紙面向外的勻強磁場中，磁感應(yīng)強度B=1T，導(dǎo)軌間距為L=1m。一質(zhì)量m=2kg，阻值r=2Ω的金屬棒在拉力F作用下由靜止開始從CD處沿導(dǎo)軌向右加速運動，金屬棒的v—x圖象如圖乙所示，若金屬棒與導(dǎo)軌間動摩擦因數(shù)μ=0.25，則從起點發(fā)生s=1m位移的過程中（g=10m/s2）。

A.金屬棒克服安培力做的功W1=0.25

B.金屬棒克服摩擦力做的功W2=5J

C.整個系統(tǒng)產(chǎn)生的總熱量Q=5.5J

D.拉力做的功W=9.25J

A項

微元法：通過

F1=BIL②

W1= F1x③

①②③聯(lián)立得

待解式中有2個未知量，根據(jù)解題思路中“化多變?yōu)椴蛔儭钡脑瓌t，再根據(jù)已給的v—x圖象，容易得出從起點發(fā)生x=1m的過程中v與x的乘積即為圖象與x軸圍成的面積。

B項

考查的問題比較基礎(chǔ)，摩擦力為恒力，根據(jù)W=Fx易得

W2=μmgx=5J

C項

整個系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量即為金屬棒克服摩擦力做的功與克服安培力做的功之和

Q= W1+ W2=5.25J

D項

由于只知道拉力F的方向，根據(jù)受力分析等方法都不易得出拉力F的變化情況，所以用動能定理進(jìn)行求解：

mv?-0=- W2- W1+W

得 W=9.25J

由以上兩道例題我們得到啟示：在單棒切割的題目中，如出現(xiàn)多個未知量難以求解的情況，可嘗試使用微元法，化多變?yōu)椴蛔?，化未知為已知，使解答簡便順暢。高中物理題型題容量大，通常涉及幾大版面的知識，如例1題設(shè)即涵蓋運動學(xué)、力學(xué)、電學(xué)、磁場學(xué)的知識，所以掌握必要的解題手段是十分有意義的，微元法就是十分有效的手段之一。通過借鑒數(shù)學(xué)中的積分思想，并將其運用到解決物理問題上，從而形成在實際物理問題中有極大意義的微元法，不僅能夠令各種物理量之間繁雜的相互關(guān)系變得一目了然，還可使運用最基本的公式來解決復(fù)雜繁瑣的物理題，是中學(xué)生必備的解題技能之一。