淺談數學分析習題課教學

程明松+李正學

摘要：數學分析習題課是教學過程中必不可少的一個重要環節，本文從邏輯性教學、指導性教學、問題驅動的教學三個方面討論了數學分析習題課教學中應注意的一些問題，對數學分析習題課的教學方法進行了有益的探索。

關鍵詞：數學分析；習題課；問題驅動的教學方法

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）23-0177-02

《數學分析》是高等院校數學系學生必修的一門數學專業基礎課，一般也是大一學生上大學后開始接觸的最基礎的高等數學。通過本門課程的教學，要使學生獲得數學思想、數學的邏輯性、嚴密性方面的嚴格訓練；掌握近代數學的方法、技巧，特別是通過大量的訓練，具體掌握微分、積分的思想和方法，使學生獲得數學基礎知識和基本能力的強化訓練，為后續課程的學習乃至今后畢生的工作奠定堅實的基礎。但由于一上來學生就開始學習語言，學生普遍反映比較難。而數學分析習題課既是課堂教學的延伸和應用，又為學習新知識打下基礎，起著承上啟下、融會貫通的橋梁作用。因而數學分析習題課的教學就是這門課不可或缺的重要環節，它是理論與實踐、知識與能力、教與學的結合部，可以幫助學生掌握證明問題的技巧，培養從分析問題到解決問題的邏輯思維能力和推理論證能力，提高分析問題和解決問題的能力。

盡管數學分析習題課有著十分重要的地位和作用，但在教學過程中還是存在著某些偏頗，如習題課上某些老師只是講解例題，呈現出“老師講，學生記”的情境；也有的老師教學方法、教學手段單一，沒有從學生的角度思考，只是一味地演算習題，對學生的思維能力、創新能力培養不夠。筆者在此不做過多的討論，僅僅從以下面三個方面來淺談一下數學分析習題課中應該注意的地方。

一是關于數學分析的邏輯性教學。數學分析這門課有著嚴密的邏輯體系，邏輯也是這門課最大的一個特點。因此上習題課時，不管是理論證明題還是計算題，都要提供嚴格的邏輯推理過程。這一特點尤其體現在剛入學時學習的證明極限的ε-N語言。由于極限的定義本身是有四句話組成，不像學生以前學過的其他定義那么淺顯，因而學生初學時往往不容易理解透徹，用定義證明極限時也容易丟三落四。習題課上就要詳細解說這種邏輯語言的妙處，它與通常說的當n充分大時，a■會充分靠近極限a有什么區別。有了極限ε-N的語言，我們才能描述清楚a■與a靠近到什么程度，才能在以后的證明過程中有效地進行邏輯推理。如講解例題：設■a■=0，證明■■=0。如果不用ε-N語言，那怎么來描述■很靠近0呢？正是因為有了ε-N語言，我們才可以分段進行估計，先是找到正整數K使得n>K時，有|a■|<ε。在這樣的條件下我們才能繼續進行估計，從而可以找到滿足極限定義的N。如果沒有了ε-N語言，是很難從邏輯上讓人信服的說明結論成立。

二是關于數學分析的指導性教學。在習題課上如果老師只是簡單地講解一些習題，羅列一些結果，對學生而言，學到的技巧就很少，收獲不大。“授人以魚不如授人以漁”，只有把學生的積極性調動起來，把學生的興趣培養起來，把對這門課的宏觀認識建立起來，才有可能實現我們想要的教學目標。這需要我們平時多指導學生培養這方面的一些技巧、方法以及思想。數學分析的習題往往不是一種解法，我們可以從不同的角度展示這些證明或計算的技巧，指導他們從這樣的證明過程中真正掌握屬于自己的證明手段。在講解習題：證明函數項級數■■在（0，π）上不一致收斂。我們首先要引導學生思考有那些證明不一致收斂的手段，哪些或哪一個可能在這兒會起到關鍵的作用。經過引導，學生可能會想到用Cauchy收斂原理來證明不一致收斂，但怎么證明呢？我們首先將不一致收斂的Cauchy收斂原理寫在黑板上：存在ε■=？，對任意的正整數N，存在正整數n=？（n>N），存在正整數p=？，以及區間（0，π）中的點x■=？能使得■■≥ε■。這里帶問號的都是需要我們去找的，因此我們要進行不等式的放縮以期達到我們的目的。然后指導學生取x■要很小使得相加的每一項都是正數，這樣放縮時不需要帶著絕對值符號；當然這需要取適當的n，p以及x■，使得相加之后的和不會很小。這樣的不等式放縮技巧有很多，答案也不是唯一的，因而通過這樣的推理指導過程，可以使得學生迅速掌握Cauchy收斂原理以及用Cauchy收斂原理證明的思路。

三是數學分析中關于問題驅動的教學方式。傳統的數學分析教學過于注重形式表達，學生經常“知其然而不知所以然”，如果用重大的、有廣泛應用的、引人入勝的數學問題，把冷漠的、機械的、枯燥的數學分析理論，能轉變為生動的、易懂的、豐富多彩的科學思想和應用實踐，這樣使學生既能了解這門科學從哪里來，也能知曉它往哪里去，從內心深處產生學習的興趣、學好的愿望和勤學的動力。實際上，數學分析這門課中很多定理或者結論都具有很強的物理背景或者幾何含義，很多情況下也有著很現實的應用。比如物理中的速度位移問題，就與導數以及積分有著密切的聯系；光在不同的介質中傳播會出現折射現象就與函數的最值問題有關；還有物理中的力的做功問題，流體力學中的各種問題等，都與微積分有著割舍不斷的關系。比如在講解習題：f（x）在[a，b]上連續遞增，證明：■xf（x）dx≥■■xf（x）dx。一種證明思路是考慮變上限積分：F（x）=■tf（t）dt-■■f（t）dt，通過對F（x）的單調性進行研究得到結果。我們可以引導學生考慮速度與位移之間的關系，進而思考積分與導數之間的關系，從而可以完成證明。

數學分析習題課教學中其實有很多值得注意的地方，如怎樣能提高學生的興趣，引導學生積極參與課堂討論或研究環節；怎樣培養學生的創新能力，提高學生的思維訓練能力等。如何充分的發揮習題課環節的積極作用，并與課堂教學環節環環相扣，不斷提高數學分析課程的教學質量，是值得老師在今后的教學實踐中不斷探索和思考的一個課題。

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A Brief Probe on "Mathematical Analysis" with Its Exercise Class

CHENG Ming-song，LI Zheng-xue

（School of Mathematical Sciences，Dalian University of Technology，Dalian， Liaoning 116023，China）

Abstract：The exercise class of mathematical analysis plays an important role in teaching process.In this paper，we discuss three facts about mathematical analysis exercise class，which are logical teaching，instructional teaching and teaching with stimulated problems，hence we give a good search for the exercise class of mathematical analysis.

Key words：mathematical analysis；exercise class；teaching with stimulated problems