論數形結合在中學數學中的應用

房爽

摘要：數形結合是中學數學教學中一種重要的思想方法，在中、高考中有著廣泛應用。數形結合思想囊括了數量的分析與圖形的直觀，并且結合二者各自的優勢，幫助學生盡快地找到解題的途徑，給學生解題帶來極大的方便。

關鍵詞：數形結合；中學數學；不等式；解析幾何

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）23-0201-02

一、引言

自笛卡爾創造了平面直角坐標系，數形結合的思想就得到了突飛猛進的發展。數學家華羅庚曾就說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔家分家萬事休。”數形結合是重要的數學思想，有極大的探索研究空間。本文將通過實際的案例分析，展示出數形結合這一思想在中學數學中的廣泛應用。

二、數形結合思想在中學數學解題中的應用

數形結合本質上是通過將符號語言“數”，圖形語言“形”進行結合轉化，使問題得到解決。“形”主要提供研究的對象和輔助思考的工具，而“數”則是為研究提供必要的工具、方法、視角。兩者之間的結合具有雙重含義。可廣泛應用于函數、解析幾何、不等式等多個方面。

1.由“數”轉化為“形”的應用。“數”和“形”是一種對應。有些數量比較抽象，難以把握，而“形”具有形象直觀的優點，對解決問題的重要作用。

例1.不等式■≥x的解為m≤x≤n，|m-n|=2a，a>0，求a.

問題分析：本題看似是一道以“數”表現出的求解不等式的問題，即求解得■-x=0的根，而解題誤區在于m，n的值和方程的根的關系。若不應用數形結合思想，便極易出錯，而解題者卻難以察覺。

解：作曲線C：y=■，直線l：y=x，如圖1所示，顯然有m=-a，由y=xy■=x+a可得大根x=■，

即n=■.根據|m-n|=2a.

得■+a=2a，解得a=2.

例2.實數x，y滿足等式（x-3）■+y■=3，求y/x的最大值。

問題分析：通過觀察y/x的幾何意義，發現y/x即為點（x，y）與點（0，0）連線的斜率k，應用數形結合的思想方法，題目就比較簡單明了。

解：繪制圖2可觀察到，直線m與圖中圓相離，直線l與圓相切，直線n與圓相交，α為直線l與x軸的夾角。觀察圖形可知，當過原點（0，0）的直線與圓相切，且直線只在一三象限時，斜率k的值最大。設直線方程y=kx，則圓心（3，0）到直線l的距離為d=■=■，解得斜率k=■，所以y/x的最大值為■.

除了通過距離公式求斜率，學生還可以應用直角三角形性質，構造下式：

k=tanα=■=■.

問題小結：在數學解題中，方法至關重要，同一道題目可能有多種解決辦法，學生需要不斷地思考探索，發揮主觀能動性，提高自身的學習素質。

2.由“形”轉化為“數”的應用。雖然“形”有形象、直觀的優點，但在定量計算問題方面還必須借助代數方法，尤其是對于較抽象的“形”。在解題過程中，不但要把圖形數字化，而且還要注意觀察圖形的特點，發掘題目中隱含的條件，充分利用圖形的性質與幾何意義，把“形”正確表示成“數”的形式，并對其進行分析計算。

例3：在平面直角坐標系xOy中，點P（x，y）是橢圓■+y■=1上的一個動點，求S=x+y的最大值。

問題分析：拿到此類題目，初始想法與本文中例2類似，一是對橢圓的方程進行代數運算，配出x+y；二是作橢圓的圖形，觀察圖形性質。實際操作可發現，兩種思路的可操作性低，應當另辟思路。在高中數學學習中，圓錐曲線占有重要地位。題中■+y■=1為橢圓一般式，而橢圓的另一種表現形式圓錐曲線參數方程，在中學數學解題中的應用體現了數形結合思想，可以作為一種思路。

解：因橢圓■+y■=1的參數方程為x=■cosφy=sinφ，（φ為參數）。故可設動點P的坐標為（■cosφ，sinφ），其中0≤φ<2π.

因此S=x+y=■cosφ+sinφ=2（■cosφ+■sinφ）=2sin（φ+■），故φ=■時，S取最大值2。

問題小結：對于某些問題，采用單純的幾何和代數方法，都無法使問題得到妥善的解決。但根據圓錐曲線參數方程，將平面上的點代數化，再由三角函數的性質，能更好地解決問題。此過程展現了“數”與“形”的互相轉化。

三、結論

從以上幾個方面可以看出，數形結合是學生學好數學的一把“金鑰匙”。在運用數形結合思想的過程中，學生需要進行聯想，從而激發學生的想象力。學生還需要進行一定的創造活動。創造的成功能喚醒學生的求新意識，激發他們創新的激情，提高學生的創造力，從而增強學生綜合素質。由此可見，中學數學中數形結合的思想方法，充分地把握了數學的精髓和靈魂，值得學生深入探索研究。

參考文獻：

[1]林龍軍.數形結合在中學數學中的應用[C]//第三屆世紀之星創新教育論壇論文集，2016.

[2]孫東耀.淺談數形結合方法在高中數學解題中的應用[J].數學教學通訊，2011，（08）.

[3]錢珮玲，邵華.數學思想方法與中學數學[M].北京師范大學出版社.

[4]徐文龍.“數形結合”的認知心理研究[D].廣西師范大學碩士學位論文，2005.

[5]顧亞萍.數形結合思想方法之教學研究[D].南京師范大學碩士學位論文，2004.

[6]高中數學教學與測試.理科總復習[M].蘇州大學出版社，2007.

[7]竺仕芳.把金鑰匙交給學生——談強化數形結合的思想方法的教學[J].科學教育，2004，（08）.

On the Application of Combination of Numbers and Shapes in Middle School Mathematics

FANG Shuang

（School of Mathematics Science and Application，Nanjing Normal University Taizhou College，

Taizhou，Jiangsu 225300，China）

Abstract：The combination of number and shape is an important thinking method in mathematics teaching in middle school，has been widely used in the college entrance examination.The combination of ideas include a number of intuitive analysis and graphics，and the combination of two respective superiority，help students to find the way of solving problems，bring great convenience to the students' problem solving.

Key words：combination of numbers and forms；middle school mathematics；inequality；analytic geometry