非對稱夾持的裂紋懸臂梁振動響應分析

馬 輝， 張文勝, 曾 勁, 武 爽

(1. 東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819； 2. 西安交通大學 機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安 710049)

非對稱夾持的裂紋懸臂梁振動響應分析

馬 輝1,2， 張文勝1, 曾 勁1, 武 爽1

(1. 東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819； 2. 西安交通大學 機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安 710049)

以懸臂梁為研究對象?；贏NSYS軟件建立了帶有單邊裂紋和非對稱夾持的懸臂梁有限元模型，分析了懸臂梁在偏移邊界與裂紋耦合作用下的振動響應，揭示了系統振動與懸臂梁邊界偏移量和單邊裂紋之間的對應關系。研究結果表明：在給定裂紋深度、位置以及偏移邊界的前提下，當裂紋位于下方時，隨著邊界偏移量的增加，振動響應中的二倍頻幅值出現先減小后增大的趨勢，由于偏移邊界會改變梁的剛度，其振動響應結果類似于單邊上裂紋，當偏移邊界處于特定點時，其導致的類上裂紋效果和下裂紋在結構上達到對稱，此時系統二倍頻消失，且偏移邊界離此特定點越遠，系統的非線性越強；當裂紋位于上方時，隨著邊界偏移量的增加，振動響應中的二倍頻幅值出現不斷增大的趨勢，這也是由于偏移邊界導致的類上裂紋效果和上裂紋處于同側增強了系統非線性造成的。

裂紋懸臂梁；非對稱夾持；有限元；邊界偏移量；振動響應

工程實踐中，為了分析方便，很多構件都通過簡化為懸臂梁的形式來進行定性分析，如汽輪機和風機的葉片等[1]。裂紋作為結構損傷的主要形式之一，很多學者針對懸臂梁的裂紋損傷機理開展了大量的研究工作。彈性體(梁、板、殼)內產生的裂紋[2]不僅會引起結構中局部剛度的變化，還會影響整個結構的機械特性。因此，理解裂紋結構的相關動力學特性是十分必要的。在不損壞整體結構的前提下，可以通過裂紋結構的振動特性對裂紋進行診斷[3-4]。很多學者也分析了由裂紋導致的復雜非線性振動響應[5-6]。Chati等[7]采用一種分段線性二自由度模型，研究了裂紋梁的非線性動力學特性。胡家順等[8]建立了一個非對稱疲勞裂紋梁的非線性數值模型,研究了結構在簡諧荷載激勵下的非線性動力特性。Ma等[9]通過改變裂紋的深度、位置、角度等參數，分析了裂紋對系統非線性特性的影響。李曉韜等[10]通過采用對稱電壓信號驅動壓電振子，設計了一種非對稱夾持式壓電旋轉驅動器。Natsiavas等[11]基于線性振蕩器的非對稱特性研究了非對稱約束對振蕩器諧波振動的影響。Nandi等[12]通過偏移邊界來模擬非對稱夾持，研究了在不同的邊界偏移量下，非對稱夾持懸臂梁在正弦激勵下的非線性振動響應，如圖1所示。并和單邊裂紋梁的振動響應進行了對比分析。結果表明，二者振動響應具有很好的吻合度，從而說明單邊裂紋是可以通過邊界偏移的方式來進行等效的。

(a)非對稱夾持模型

(b)帶有邊界偏移的簡化模型圖1 非對稱夾持懸臂梁Fig.1 Cantilever beam with asymmetric gripper

由上述文獻可知，國內外學者對于懸臂梁的研究多局限于單邊裂紋或者非對稱夾持，而對同時考慮單邊裂紋和非對稱夾持的懸臂梁研究還很少?；谶@一點，本文研究了單邊裂紋和非對稱夾持間的耦合對懸臂梁振動響應的影響。

1 有限元模型及模型驗證

本節的主要內容是有限元模型的建立和驗證，以確保仿真計算結果的準確性和可靠性。首先選用模型參數建立有限元模型并進行對比驗證，得出本文建立的裂紋梁模型的有效性；其次在此裂紋梁模型的基礎上，利用Conta178接觸單元模擬非對稱夾持，驗證非對稱夾持單邊裂紋懸臂梁系統模型的有效性。

帶有單邊裂紋和偏移邊界的懸臂梁示意圖，如圖2所示。懸臂梁長度L=300 mm，橫向裂紋位置離固定端距離為d1，非對稱夾持離固定端距離(邊界偏移量)為d2，裂紋深度為a，梁的截面尺寸為b×h=20 mm×20 mm。材料參數設置如下：彈性模量E=206.6 GPa，泊松比為μ=0.3，密度ρ=7 850 kg/m3，比例阻尼系數α=50，β=0[13]。載荷加載位置，如圖2所示。本文采用無摩擦的接觸有限元模型來模擬裂紋梁的呼吸行為。

1.1 裂紋懸臂梁模型驗證

本文對裂紋梁的建模方式作如下處理：① 裂紋尖端處采用非奇異單元建模；②裂紋區采用8節點平面單元Plane183(平面應力帶厚度)建模，非裂紋區采用梁單元Beam188模擬，如圖3所示。在邊界偏移量d2=0(忽略非對稱夾持)的前提條件下，圖4給出了開裂紋梁1階彎曲固有頻率f1隨平面單元區寬度w的變化曲線。從圖4可知，對于本文所研究的單邊直裂紋，w的選取對1階彎曲固有頻率存在一定的影響但誤差不大。本文選擇w=20 mm作為平面單元區的寬度，且與文獻[9]中采用奇異單元建立的裂紋梁模型進行了對比驗證。圖5(a)和圖5(b)分別表示文獻[9]和本文中的裂紋梁模型。從圖5可知，兩種裂紋梁模型的前3階固有頻率和振型誤差均很小，其中二階固有頻率的誤差稍大，約為0.16%，從而證明了本文建立的裂紋梁模型的有效性。

圖2 裂紋懸臂梁模型示意圖Fig.2 Schematic of cracked cantilever beam

圖3 裂紋懸臂梁有限元模型Fig.3 Finite element model of cracked cantilever beam

圖4 平面單元區寬度對1階彎曲固有頻率f1的影響Fig. 4 Effect of width of plane element region on the first bending natural frequency f1

1.2 非對稱夾持單邊裂紋懸臂梁的模型驗證

本小節主要分析了非對稱夾持和單邊裂紋對懸臂梁振動響應的影響規律。圖6給出了帶有邊界偏移的單邊下裂紋懸臂梁模型。該模型采用三維點點接觸單元Conta178來模擬非對稱夾持，同時對接觸單元Conta178作以下兩點說明：①初始間隙的設置；②接觸剛度的設置。由于非對稱夾持的作用是使節點1處的y軸正向位移為0，而對y軸負向位移不起任何作用。因此，接觸單元Conta178的設置必須以此為前提條件。本文將初始間隙設置為0，即節點4和節點1在空間位置上是重合的；接觸剛度的設置以節點1處的振動響應為依據進行選擇，其中激振力設置為正弦函數加載F=F0sin(2πfet)，式中F0為激振力的幅值，fe為激振力的頻率，t為求解時間。各參數取值如下：F0=100N，fe=80Hz，t=100×1/fe。

(a) 奇異單元(w =50 mm)

(b) 非奇異單元(w=20 mm)圖5 兩種有限元模型下的前3階模態對比Fig.5 The first three modal comparison between two models

圖6 帶有邊界偏移的單邊下裂紋懸臂梁Fig.6 Single-sided crack at the bottom of cantilever beam with offset boundary

圖7給出了在不同接觸剛度下，節點1處的y向振動響應曲線。由圖可知，隨著接觸剛度的不斷增大，節點1處的y軸正向振動位移不斷減小，當接觸剛度達到1011數量級時，節點1處的y軸正向振動位移幾乎為0，而在此過程中，接觸剛度的變化對于y軸負向振動位移沒有影響。這說明了采用三維點點接觸單元Conta178來模擬非對稱夾持的合理性。因此，本文研究中，接觸單元Conta178的接觸剛度取值設置為k=1×1011N/mm。

圖7 不同剛度下梁上節點1的y向振動位移Fig.7 Displacement of node 1 in y direction under different stiffness

此外，在給定裂紋參數的條件下，通過對懸臂梁自由端施加沖擊載荷，得到了在不同邊界偏移量d2下，裂紋懸臂梁作自由衰減振動時的三維譜圖(見圖8)，仿真參數設置，見表1。表2對圖8中不同邊界偏移量d2下的裂紋懸臂梁前2階固有頻率進行了統計。

圖8 不同邊界偏移量下懸臂梁作 自由衰減振動時的三維譜圖Fig.8 Spectrum cascades of natural attenuate vibration of cantilever beam under different offsets boundary表1 仿真參數Tab.1 Simulation parameters

定量下裂紋參數沖擊載荷變量邊界偏移量d2/mmd1=150mmF=1000N2,4,6,a=4mmt=3.33×10-5s8,10,12

表2 在不同邊界偏移量d2下的固有頻率Tab. 2 Natural frequencies under different offsets boundary

2 不同邊界偏移量及單邊裂紋對懸臂梁振動響應的影響

本部分討論了邊界偏移量和裂紋位置的耦合對懸臂梁振動響應的影響，同時，根據裂紋所處的位置關系，分兩節進行分析：①非對稱夾持和單邊下裂紋；②非對稱夾持和單邊上裂紋。

2.1 非對稱夾持和單邊下裂紋梁

選取裂紋位置位于梁的下方且裂紋深度a=4 mm，裂紋位置離固定端距離d1=150 mm，以邊界偏移量d2為變量，研究其對懸臂梁振動響應的影響。

圖9給出了6種邊界偏移量和7種激勵頻率下的三維譜圖，而圖10表示二倍頻幅值隨邊界偏移量和激勵頻率的變化規律。

對于單邊下裂紋，邊界偏移量d2和激勵頻率fe對懸臂梁系統的振動影響如下：

(1) 圖9中在頻率值為1 120 Hz左右處出現了明顯的幅值放大現象，這是由于該頻率和系統的二階固

有頻率接近導致的(見表2)。

(2) 邊界偏移量d2相同時，隨激勵頻率fe的增加，二倍頻幅值呈增大趨勢；隨著邊界偏移量d2的增加，三維譜圖中倍頻成分增多，非線性現象越明顯，見圖9、圖10和表3。

(3) 激勵頻率fe相同時，二倍頻幅值隨著邊界偏移量d2的增加，呈現出先減小再增大的趨勢。為了進一步描述這種變化趨勢，選擇邊界偏移量d2變化范圍為[7, 9] mm，步長為0.2 mm，如圖11和表3所示。以圖11(f)為例來進行說明，從圖11(f)可知，隨著邊界偏移量d2的不斷增加，二倍頻的幅值先逐漸減小后逐漸增加，并且在d2=8.2 mm處，二倍頻幅幾乎消失。圖11中的其他圖也體現出了類似的二倍頻抵消現象。二倍頻抵消現象在一定程度上說明了本文中的偏移邊界也可以等效為單邊上裂紋，邊界偏移量的變動可以看做單邊上裂紋位置的變動。當偏移邊界處于特定點時，其導致的類上裂紋效果和下裂紋達到結構上的對稱性會導致二倍頻的消失。

圖9 非對稱夾持的三維譜圖Fig.9 Spectrum cascades with asymmetric gripper

圖10 二倍頻幅值隨邊界偏移量和 激勵頻率的變化趨勢Fig.10 Amplitude of double frequency changing over offsets boundary and excitation frequencies表3 不同激勵頻率下的二倍頻幅值增減區間Tab. 3 The range of amplitude of double frequency under different excitation frequencies

激勵頻率/Hz二倍頻幅值遞減區間遞增區間60[7.0,9.0]65[7.0,8.8][8.8,9.0]70[7.0,8.6][8.6,9.0]75[7.0,8.6][8.6,9.0]80[7.0,8.4][8.4,9.0]85[7.0,8.2][8.2,9.0]90[7.0,8.0][8.0,9.0]

2.2 非對稱夾持和單邊上裂紋梁

選取裂紋位置位于梁的上方且裂紋深度a=4 mm，裂紋位置離固定端距離d1=150 mm，以邊界偏移量d2為變量，研究其對懸臂梁振動響應的影響。

圖12給出了6種邊界偏移量和7種激勵頻率下的三維譜圖，而圖13表示二倍頻幅值隨邊界偏移量和激勵頻率的變化規律。

對于單邊上裂紋，邊界偏移量d2和激勵頻率f對懸臂梁系統的振動影響如下：

(1) 圖12中在頻率值為1 120 Hz左右處出現了明顯的幅值放大現象，這是由于該頻率和懸臂梁的二階固有頻率接近導致的(見表2)。

(2) 邊界偏移量d2相同時，隨激勵頻率fe的增加，二倍頻幅值呈增大趨勢；隨著邊界偏移量d2的增加，三維譜圖中倍頻成分增多，非線性現象越明顯，見圖12和13。

(3) 激勵頻率fe相同時，二倍頻幅值隨著邊界偏移量d2的增加，呈現出增大的趨勢(見圖13)。與“2.1”中分析類似，邊界偏移量d2的變動可以看做等效的單邊上裂紋位置的變動。等效的單邊上裂紋和實際上裂紋處于同側時，二者的耦合會增強系統的非線性，直觀上比單邊裂紋的影響更為嚴重。

圖12 非對稱夾持的三維譜圖Fig.12 Spectrum cascades with asymmetric gripper

圖13 二倍頻幅值隨邊界偏移量和激勵頻率的變化趨勢Fig.13 Amplitude of double frequency changing over offsets boundary and excitation frequencies

3 結 論

(1) 提出了一種模擬非對稱夾持的裂紋懸臂梁模型。

(2) 針對本文研究的非對稱夾持裂紋懸臂梁模型，邊界偏移量d2∈[2, 12] mm，當偏移邊界和裂紋處于異側時，隨著d2的增加，二倍頻幅值會出現先減小后增大的趨勢，當偏移到特定位置時，二倍頻幅值會消失；當偏移邊界和裂紋處于同側時，隨著d2的增加，二倍頻幅值會出現一直增大的趨勢。

(3) 本文中的偏移邊界導致的振動響應結果與單邊上裂紋類似。

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Asymmetric gripper-induced vibration responses analysis for a cracked cantilever beam

MA Hui1,2, ZHANG Wensheng1, ZENG Jin1, WU Shuang1

(1. School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China; 2. State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

In this paper, it mainly took a cantilever beam as a research object. The beam model with single-sided crack and asymmetric gripper was established by ANSYS software, and the boundary offset and crack-induced vibration responses were analyzed. The corresponding relationship between system vibration and the boundary offset of the cantilever beam and crack location were revealed. The results show that the double frequency amplitude of system vibration responses firstly decreases and then increases with the boundary offset when the crack is on the bottom of the beam, and the vibration effects are similar to single-sided up-crack because cantilever beam stiffness can be changed by the boundary offset. At the moment that the double-frequency component of the system disappears due to offset boundary, the up-crack and down-crack have reached to symmetry on the structure. The more distant the offset boundary is, the more intense system nonlinear becomes; double frequency amplitude of system vibration responses increases with boundary offset when the crack is on the top of the beam, it is also because the offset boundary-caused analogous up-crack and up-crack at the same side increase the system nonlinearity under the premise of the given depth, location of a crack and the offset boundary.

cracked cantilever beam; asymmetric gripper; finite element; offset boundary; vibration responses

國家自然科學基金委員會與中國民用航空局聯合資助項目(U1433109)；中央高校基本科研業務費專項資金(N140301001; N150305001)；機械結構強度與振動國家重點實驗室開放基金(SV2015-KF-08)

2016-01-12 修改稿收到日期： 2016-04-29

馬輝 男，博士，教授，1978年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.12.007