基于混沌模擬退火PSO算法的威布爾分布參數(shù)估計(jì)應(yīng)用研究

許 偉, 程 剛, 黃 林, 位秀雷, 甕 雷

(海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430033)

基于混沌模擬退火PSO算法的威布爾分布參數(shù)估計(jì)應(yīng)用研究

許 偉, 程 剛, 黃 林, 位秀雷, 甕 雷

(海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430033)

針對(duì)三參數(shù)威布爾分布模型采用精確解法直接求解的不足，提出基于混沌模擬退火粒子群優(yōu)化方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。引入Logistic混沌因子調(diào)整粒子群優(yōu)化算法的更新策略以充分釋放其遍歷搜索能力，并采用模擬退火方法依據(jù)Tsallis接受準(zhǔn)則以一定概率接受新狀態(tài)，使算法避免陷入“早熟”進(jìn)而實(shí)現(xiàn)全局最優(yōu)搜索；同時(shí)為降低算法在迭代計(jì)算上的時(shí)間開銷，運(yùn)用圖解法獲得的初始解為其提供搜索范圍。將該方法運(yùn)用到軸承轉(zhuǎn)子可靠度威布爾分布參數(shù)估計(jì)中，實(shí)驗(yàn)分析表明該方法具有可行性和有效性，與遺傳算法、模擬退火粒子群優(yōu)化算法相比具有更好的尋優(yōu)能力。

混沌；模擬退火；粒子群算法；威布爾分布；參數(shù)估計(jì)

可靠性分析是產(chǎn)品使用過程中的一項(xiàng)重要工作，發(fā)揮著越來越重要的作用，威布爾分布作為一種描述機(jī)械壽命分布的概率統(tǒng)計(jì)模型以其強(qiáng)大的適應(yīng)性和魯棒性正被廣泛應(yīng)用。兩參數(shù)威布爾分布在描述設(shè)備初期可靠性時(shí)誤差較大，而三參數(shù)威布爾分布能夠準(zhǔn)確描述產(chǎn)品全壽命周期可靠性分布規(guī)律，但相應(yīng)的復(fù)雜性也更高[1-2]。針對(duì)三參數(shù)威布爾分布的參數(shù)估計(jì)求解目前主要的方法有圖解法、線性回歸估計(jì)法、極大似然估計(jì)法、Bayes估計(jì)法、距估計(jì)法、最速下降法[3-5]等。圖解法根據(jù)已知數(shù)據(jù)結(jié)果通過繪制概率圖計(jì)算三個(gè)參數(shù)，優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算簡(jiǎn)單，使用方便，但參數(shù)估計(jì)結(jié)果誤差較大；楊志忠等[6]采用最小二乘法進(jìn)行線性回歸求得形狀參數(shù)，再結(jié)合插值法得出尺度參數(shù)和位置參數(shù)，求解過程相當(dāng)復(fù)雜；楊謀存等[7]將降階法和二分法結(jié)合起來去解極大似然法的三個(gè)非線性的超越方程組，計(jì)算復(fù)雜繁瑣，對(duì)初值要求較高；潘曉春[8]用概率權(quán)重距法以含冪次的概率作為權(quán)重乘以隨機(jī)變量來計(jì)算分布參數(shù)，該方法對(duì)于子樣較少的分布計(jì)算精度不足，且依賴經(jīng)驗(yàn)擬合。

粒子群算法(Particle Swarm Optimization, PSO)是由Kennedy等于1995年提出的一種模擬鳥群覓食行為的智能計(jì)算方法[9-10]，以其模型簡(jiǎn)單、算法易于實(shí)現(xiàn)、收斂速度快的優(yōu)勢(shì)引起許多學(xué)者的關(guān)注，并廣泛運(yùn)用于威布爾分布參數(shù)估計(jì)中。羅航等[11]將雙線性回歸估計(jì)法和極大似然估計(jì)法結(jié)合起來求出初值，再運(yùn)用PSO算法進(jìn)行優(yōu)化得出最優(yōu)解。王瓊等[12]將模擬退火方法融入到粒子群優(yōu)化算法中進(jìn)行威布爾分布參數(shù)估計(jì)。劉愛軍等[13]通過理論研究分析得出混沌模擬退火粒子優(yōu)化算法是一種優(yōu)化能力、效率和可靠性均較高的全局優(yōu)化方法。

本文將PSO算法應(yīng)用于三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計(jì)中，針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)PSO算法優(yōu)化結(jié)果容易造成局部最優(yōu)產(chǎn)生“早熟”現(xiàn)象的缺點(diǎn)，引入Logistic混沌因子調(diào)整粒子群優(yōu)化算法的更新策略和模擬退火的降溫策略形成混沌模擬退火PSO算法，同時(shí)為減少算法計(jì)算時(shí)長(zhǎng)采用圖解法得出的參數(shù)估計(jì)的粗略結(jié)果為混沌模擬退火PSO算法提供搜索范圍以得到更精確的參數(shù)估計(jì)值。實(shí)驗(yàn)采用多功能轉(zhuǎn)子模塊實(shí)驗(yàn)臺(tái)為研究對(duì)象進(jìn)行應(yīng)用研究，結(jié)果表明該方法具有可行性和有效性,在對(duì)其它方法進(jìn)行的比較分析得出該方法具有更好的優(yōu)化能力。

1 改進(jìn)混沌模擬退火粒子群優(yōu)化算法

1.1 標(biāo)準(zhǔn)PSO算法的描述

PSO算法是通過初始值的不斷更新迭代搜尋局部最優(yōu)解pbest和全局最優(yōu)解gbest來實(shí)時(shí)調(diào)整自己的下一時(shí)刻位置和速度最終完成尋優(yōu)。

(1)

式中：ω為慣性權(quán)重系數(shù)；控制粒子速度更新，使粒子具有擴(kuò)展搜索空間的趨勢(shì)，當(dāng)ω較大時(shí)全局搜索能力較強(qiáng)，當(dāng)ω較小時(shí)局部搜索能力較強(qiáng)；c1為局部學(xué)習(xí)因子；c2為全局學(xué)習(xí)因子；r1和r2為[0,1]之間的獨(dú)立隨機(jī)數(shù)。

1.2 基于混沌序列的粒子群參數(shù)更新策略

為充分釋放粒子群算法的遍歷搜索能力，利用混沌序列的遍歷性與對(duì)初值的敏感性，引入Logistic混沌因子

(2)

1.2.1 混沌局部加速因子更新

(3)

式中：δ為步長(zhǎng)因子；Nt為t時(shí)刻粒子數(shù)。

1.2.2 混沌全局加速因子更新

(4)

1.2.3 混沌慣性權(quán)重因子更新

慣性權(quán)重系數(shù)具有平衡局部最優(yōu)值和全局最優(yōu)值的能力，較大時(shí)粒子具有較強(qiáng)的全局搜索能力；較小時(shí)具有較強(qiáng)的局部搜索能力，更新公式如下：

(5)

1.3 混沌模擬退火粒子群優(yōu)化算法過程

模擬退火算法的思想是模擬固體由高溫逐漸冷卻到低溫最終實(shí)現(xiàn)熱平衡的過程，采用一定的接受準(zhǔn)則不斷反復(fù)迭代尋找能量達(dá)到最小點(diǎn)的狀態(tài)值。

1.3.1 Tsallis接受準(zhǔn)則

王瓊等采用Metroplis接受準(zhǔn)則，缺點(diǎn)在于局部退火速度慢，本文使用Canchy-Lorentz遷移分布和Tsallis接受準(zhǔn)則，局部退火速度快、效率高。

Canchy-Lorentz遷移分布：

(6)

式中：Δx是變量x的試探遷移距離；D是常數(shù)。

Tsallis接受準(zhǔn)則[15]：

(7)

1.3.2 模擬退火算法降溫策略

(8)

(9)

(10)

式中：α為顯著性水平；Uα由正態(tài)分布數(shù)值表得到

(11)

由式(11)得出的限定區(qū)域大大縮小了搜索區(qū)域，同時(shí)在縮小的區(qū)域上不斷反復(fù)迭代，降溫速率顯著加快，尋優(yōu)效率得到提高。

1.3.3 混沌模擬退火粒子群優(yōu)化算法

混沌模擬退火粒子群優(yōu)化算法過程，如圖1所示。

圖1 混沌模擬退火粒子群優(yōu)化算法流程Fig.1 Chaotic simulated annealing particle swarm optimization algorithm process

2 三參數(shù)威布爾分布及參數(shù)估計(jì)方法

2.1 三參數(shù)威布爾分布

若機(jī)械零部件壽命t服從三參數(shù)威布爾分布，則其概率密度函數(shù)為：

(12)

累積失效概率函數(shù)為：

(13)

可靠度函數(shù)為：

(14)

式中：β>0為形狀參數(shù)；η>0為尺度參數(shù)；γ≥0為位置參數(shù)[16]。

2.2 圖解法參數(shù)估計(jì)

圖解法參數(shù)估計(jì)是通過威布爾概率圖(Weibull Probability Plot，WPP)計(jì)算得到。對(duì)式(14)左右兩邊取兩次自然對(duì)數(shù)，則有：

ln{-ln[R(t)]}=βln(t-γ)-βln(η)

(15)

對(duì)式(15)作威布爾變換，令

(16)

根據(jù)式(15)的性質(zhì)，當(dāng)t-γ=0，即x=lnγ時(shí)，y趨向于-∞，當(dāng)t趨向于+∞時(shí)，y=βx-βln(η)。因此x=lnγ和y=βx-βln(η)是式(15)經(jīng)過威布爾變換后得到的兩條漸近線。通過作WPP圖可計(jì)算出β,η,γ的估計(jì)值。WPP圖解法的一般步驟如下：

步驟1 將ti=(i=1,2,…,n)的觀測(cè)值按由小到大的順序進(jìn)行排列。

(17)

式中：n為樣本大小。

步驟4 在WPP圖中擬合兩條漸近線：一條位于所有散點(diǎn)的左側(cè)垂直x于軸，表達(dá)式為x=x0；另一條是在x趨向于+∞時(shí)的漸近線，其圖形近似直線，表達(dá)式為y=ax-b。

因此可求出：

(18)

2.3 混沌模擬退火PSO算法優(yōu)化問題描述

采用PSO優(yōu)化威布爾分布參數(shù)估計(jì)，目標(biāo)函數(shù)為

(19)

以圖解法求得的初始位置作為初始種群根據(jù)本文提出的混沌模擬退火粒子群優(yōu)化算法流程進(jìn)行求解。

3 實(shí)例分析

汽輪機(jī)軸承轉(zhuǎn)子是機(jī)械中常用部件，在運(yùn)行過程中易發(fā)生疲勞損傷和磨損，因此其可靠性對(duì)于設(shè)備的安全運(yùn)行至關(guān)重要。圖2是設(shè)計(jì)的多功能軸承轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。

實(shí)驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為2 700 r/min，采樣頻率為10 kHz，當(dāng)軸承出現(xiàn)橫向裂紋時(shí)，轉(zhuǎn)子會(huì)出現(xiàn)扭振現(xiàn)象，扭振信息以相位調(diào)制的形式存在于軸承的振動(dòng)信號(hào)中形成調(diào)相信號(hào)。相位調(diào)制在時(shí)頻圖上表現(xiàn)為信號(hào)的頻率調(diào)制，并且頻率和轉(zhuǎn)子頻率相同，利用該特征可判斷軸承裂紋故障，進(jìn)而可得出軸承失效時(shí)間。

圖2 多功能軸承轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.2 Multi-function rotor experiment platform

表1 軸子失效數(shù)據(jù)Tab.1 Rotor failure data

假設(shè)汽輪機(jī)軸承轉(zhuǎn)子壽命服從三參數(shù)威布爾分布，按照?qǐng)D解法的計(jì)算步驟在WPP上標(biāo)記出20組樣本的位置，如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)子失效數(shù)據(jù)WPP圖Fig.3 The WPP graph of rotor failure data

通過擬合計(jì)算，得出兩條漸近線方程：

(20)

由此得出威布爾分布三參數(shù)的值：β=1.08,η=485.5,γ=80。將此計(jì)算結(jié)果作為混沌模擬退火粒子群優(yōu)化算法的初始解，設(shè)置初始參數(shù)為：c1=c2=2.25，ω=0.35，ε=3.85，δ=0.5。初溫T0=160，q=2.3。通過MATLAB程序運(yùn)算后得出γ,η,β在每一步的運(yùn)算值如表2所示。在迭代的第38步得出最優(yōu)值：β=0.998,η=430.15,γ=73.56

表2 計(jì)算值Tab.2 Operation value

為了比較混沌模擬退火PSO算法同其它優(yōu)化算法的差異和優(yōu)缺點(diǎn)，在研究過程中也采用了模擬退火PSO算法和遺傳算法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，圖4是三種算法的優(yōu)化過程對(duì)比圖。

圖4 優(yōu)化過程對(duì)比圖Fig.4 Contrast figure of optimization process

從圖4可知，三種算法均能收斂找到全局最優(yōu)值。混沌模擬退火PSO算法在第38步找到最佳位置，最優(yōu)值Δ1(x,t)=0.736 032；模擬退火PSO算法的最佳位置在第35步，Δ2=(x,t)=0.748 29；遺傳算法的最佳位置在第33步產(chǎn)生，Δ3(x,t)=0.752 35。收斂速度：遺傳算法>模擬退火PSO算法>混沌模擬退火PSO算法，精度：混沌模擬退火PSO算法>模擬退火PSO算法>遺傳算法。由于混沌模擬退火PSO算法采用的是用混沌因子來調(diào)整粒子群的更新同避免粒子因“早熟”產(chǎn)生聚集的模擬退火方法相結(jié)合的策略，因此導(dǎo)致算法在迭代時(shí)間上增加了額外的開銷，但從圖4可知，迭代過程較另外兩種方法更加平穩(wěn)且尋優(yōu)能力更強(qiáng)?；煦缒M退火PSO算法只比模擬退火PSO算法和遺傳算法分別多了3和5步，但精度提高了1.665%和2.217%。

圖5是采用三種算法進(jìn)行優(yōu)化的最終結(jié)果，從圖5的對(duì)比可知，混沌模擬退火PSO算法的優(yōu)化最合理，均勻的分布在所有散點(diǎn)的兩側(cè)。計(jì)算所有散點(diǎn)到各曲線的方差，得出混沌模擬退火粒子群優(yōu)化算法的方差為0.025 1；模擬退火粒子群優(yōu)化算法的方差為0.055 9；遺傳算法的方差為0.089 7。方差的計(jì)算結(jié)果也反映出混沌模擬退火粒子群算法優(yōu)化效果較其它兩種方法都好。

圖5 轉(zhuǎn)子可靠度三參數(shù)威布爾分布優(yōu)化曲線Fig.5 Rotor reliability curve of three parameter Weibull distribution

4 結(jié) 論

本文將Logistic混沌因子引入到粒子群算法中調(diào)整局部加速因子、全局加速因子的更新策略降低了粒子的相對(duì)擁擠度，調(diào)整慣性權(quán)值的更新策略使全局最優(yōu)值和局部最優(yōu)值的平衡搜索能力得到加強(qiáng)。采用模擬退火方法保證了算法在引入混沌理論后不至于局部迭代步數(shù)過長(zhǎng)，開銷時(shí)間過大。在機(jī)械軸承轉(zhuǎn)子壽命威布爾分布三參數(shù)優(yōu)化實(shí)驗(yàn)分析中建立了優(yōu)化方程，將圖解法所求得的解作為混沌模擬退火PSO算法的初值。優(yōu)化求解過程表明算法思想可行，同其他優(yōu)化方法相比迭代步數(shù)稍有增加但搜索過程更加平穩(wěn)，精度得到了提高。

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A chaotic simulated PSO algorithm application for Weibull distribution parameter estimation

XU Wei， CHENG Gang， HUANG Lin, WEI Xiulei, WENG Lei

(Power and Enginering Academy, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

Aiming at the deficiency in the precise solution for the three-parameter Weibull distribution model, the parameter estimation based on a chaotic simulated annealing particle swarm optimization algorithm was proposed, and the Logistic chaos factor was introduced to adjust the update strategy of the particle swarm optimization algorithm to fully release its ergodic search ability. The simulated annealing method was used to accept the new state with a certain probability according to the acceptance criteria of Tsallis, so that the algorithm could avoid premature convergence and realize the global optimal search. At the same time, in order to reduce the time of iterative calculations, the initial solution obtained by the graphic method was used to provide the search scope. The method was applied to the reliable Weibull distribution parameter estimation of a bearing rotor. Experimental results show that the method is feasible and effective and has better optimization performance compared with a genetic algorithm and a simulated particle swarm optimization algorithm.

chaos; simulated annealing; particle swarm optimization(PSO); Weibull distribution; parameter estimation

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51579242)；湖北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2013CFB)

2016-04-05 修改稿收到日期： 2016-10-24

許偉 男，博士，1987年生

程剛 男，教授，1965年生

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.12.022