計及空間溫度效應的齒輪系統動力學行為研究

盧少波, 靳宗向, 康學忠

(1.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044；2. 上海市空間飛行器機構重點實驗室，上海 200240；3. 重慶大學 汽車工程學院，重慶 400044)

計及空間溫度效應的齒輪系統動力學行為研究

盧少波1,3, 靳宗向2, 康學忠3

(1.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044；2. 上海市空間飛行器機構重點實驗室，上海 200240；3. 重慶大學 汽車工程學院，重慶 400044)

在軌航天器齒輪傳動機構頻繁進出地球陰影區時，因溫度交替變化會引起齒側間隙改變，導致傳動精度下降，甚至會造成卡死或傳動中斷。以單自由度直齒圓柱齒輪傳動系統為對象，綜合考慮時變嚙合剛度、綜合傳遞誤差及齒側間隙等因素的基礎上，進一步引入空間特殊環境下的溫度交變效應，建立了適用于空間環境的齒輪系統非線性動力學模型；采用4階～5階變步長Runge-Kutta算法，結合相圖、Poincare映射圖和分岔圖，分別對考慮和不考慮溫度交變效應的系統動力學行為進行了求解和分析，并定量研究了溫度交變幅值和頻率對齒輪系統動力學的影響。結果表明，環境交變溫度對齒輪系統動力學影響較大，使得系統各工況都有不同程度向混沌演化的趨勢，且交變的幅值和頻率對系統解結構的影響呈現一定規律，相關結論對特殊環境齒輪系統的設計與匹配具有一定的指導意義。

齒輪系統動力學; 溫度交變; 相圖; Poincare映射; 分岔圖

在軌航天器齒輪傳動系統，如空間對接機構、光學對焦裝置、太陽翼驅動系統等，在進出地球陰影區時，會經受頻繁的大范圍溫度交變載荷作用。當航天器面臨太陽時，承受太陽光的強烈輻射，表面溫度可達200 ℃，而背臨太陽時，受宇宙空間極冷環境的影響，表面溫度可低至-180 ℃，尤其對近地軌道航天器，頻繁進出陰影區，導致航天器部件溫度發生快速循環變化，其溫變速率高達50 ℃/min[1]。這使得在該環境下工作的齒輪傳動系統經受巨大的考驗，其性能也受到較大的影響，如溫度交變誘發齒輪系統齒側間隙的變化，會導致傳動穩定性及精度下降，甚至會造成卡死或傳動中斷，從而引起航天器功能失效[2-3]。

關于溫度效應對齒輪傳動系統影響的研究較多也比較深入，陳允睿等[4]定量地研究了齒輪溫升對齒廓偏差的影響規律，基于傳熱學理論提出了齒廓偏差與溫升關系的理論模型，并將其應用于齒輪熱變形振動特性的研究。Wang等[5-7]采用有限元方法研究了齒輪嚙合過程中，齒輪本體瞬時溫度變化及分布規律。王宇寧等[8]分析了溫度場對齒輪模態的影響及其對齒輪共振可靠性的靈敏度。李桂華等[9-10]都研究了溫度效應對齒側間隙的影響，探討了初始側隙與齒輪傳動系統工作溫度的關系。結果表明，溫度效應對齒輪系統動力學的影響與初始側隙關系較大，須根據工作溫度合理確定。李寶良等[11]基于摩擦熱流量也對齒輪系統溫度場及其相關影響因素進行了分析。這些研究均以溫度要素為出發點，主要考慮齒輪系統內部摩擦等自身因素所產生的本體溫度變化及其對傳動系統性能影響，也取得了許多有益的結論。但這些研究多以地面運行的齒輪系統為對象，且主要針對穩定工況下溫度效應的影響，而關于空間特殊高低溫交變環境下的齒輪傳動系統的動力學行為與性能研究，還鮮有報到。

空間環境下溫度大范圍頻繁交替變化，勢必會影響齒輪傳動系統工作性能。為更好地指導空間環境齒輪傳動機構的設計與系統匹配，進一步提高航天器齒輪系統的傳遞精度、可靠性和服役壽命，有必要深入研究空間特殊溫度環境，對齒輪傳動系統動力學的影響。為此，本文提出一種含溫度交變效應的齒輪系統非線性動力學模型，并從不同角度定量地分析了特殊溫度環境對齒輪系統動力學的影響。

1 含溫度交變效應的齒輪非線性動力學模型

1.1 直齒輪副非線性動力學模型

忽略傳動軸的橫向、軸向及支承系統的彈性變形，僅考慮輪齒的扭轉運動，建立包含時變嚙合剛度、綜合傳遞誤差及齒側間隙的直齒輪副系統動力學模型，如圖1所示。其中，θ1、θ2分別為主、從動齒輪扭振角位移；r1、r2分別為主、從動齒輪基圓半徑；I1、I2分別為主、從動齒輪轉動慣量；T1、T2分別為作用于主、從動齒輪的負載轉矩或驅動轉矩；k(τ)為齒輪副時變嚙合剛度，cg為嚙合阻尼；2b為齒側間隙；e(τ)為齒輪副綜合傳遞誤差。

圖1 齒輪系統動力學模型Fig. 1 Dynamic model of gear system

根據牛頓第二定律，可得系統絕對轉動動力學方程：

(1)

式中：f為考慮嚙合間隙2b時，嚙合力對應的非線性函數。

(2)

(3)

(4)

1.2 考慮溫度交變效應的齒輪系統動力學模型

在上述模型中，雖然考慮了時變剛度、齒側間隙等非線性因素，但沒有計及環境溫度的影響。為深入探討空間特殊溫度環境下齒輪系統的動力學行為，需將其交變溫度效應合理的計入模型中。一般而言，航天器齒輪傳動系統轉速相對較低，故本文暫忽略因齒面摩擦等自身產生的溫度，僅考慮空間環境溫度的影響。通過對熱誤差與齒側間隙的相關性分析指出，齒輪側隙與環境溫度成負相關，即齒側間隙隨環境溫度升高而減小，反之亦然。為簡化研究，可將溫度效應等效為齒側間隙的附加變量，設隨環境溫度負相關變化的齒輪側隙變量為Δb′。在穩態工作環境下，如地面特定工況，可認為系統工作溫升所致側隙改變量Δb′為一定值，但對服役于特殊空間環境的航天器齒輪系統而言，其承受的是交變環境溫度載荷，不能簡單的等效為定值。

(5)

一般而言，齒輪系統內部激勵、時變嚙合剛度及綜合傳遞誤差都是時間的周期函數，為簡化研究，將它們進行傅里葉展開，并忽略高階分量，有：

(6)

k(τ)=k0+kacos(whτ+φh)

(7)

e(τ)=e0+eacos(whτ+φc)

(8)

式中：wh為嚙合頻率；ea為綜合誤差振動幅值；φe為內部激勵初始相位；k0，e0分別為平均嚙合剛度和平均綜合誤差；ka，ea分別為時變剛度幅值和綜合誤差振動幅值；φh為嚙合剛度初相位。

(9)

2 動力學求解與仿真分析

為對比分析空間特殊的交變溫度環境，對齒輪系統動力學的影響，在相同無量綱參數和內外部激勵條件下，分別對不考慮溫度效應和考慮溫度效應情況下，齒輪系統的動力學行為進行數值求解，并進一步針對反映溫度變化特征的交變幅值和頻率，對系統動力學的影響進行定量分析。

2.1 非線性齒輪系統動力學響應

圖2 無量綱側隙取不同值時的相圖Fig. 2 Phase diagram for different backlash

圖3 無量綱側隙取不同值時的Poincare映射Fig. 3 Poincare diagram for different backlash

圖4 系統隨無量綱側隙變化的分岔圖Fig. 4 Bifurcation diagram for different backlash

2.2 空間連續交變溫度對齒輪系統動力學的影響

與地面穩定工況下的溫度效應相比，空間環境溫度是連續交變的，根據軌道差異其變化周期從幾十分鐘到數小時不等，盡管航天器某些齒輪傳動機構轉速較低，但其溫度交變頻率wT相對低速齒輪系統的嚙合頻率wh而言相對較小[13]。以某特定軌道航天器局部溫度模擬監測數據為例，其近似周期約為90 min，以20齒末端齒輪轉速為0.01～0.5 r/min計，則嚙合頻率與溫度交變頻率比值約wh/wT=18～900。

Σ={(X,t)|mod(t,2π)/wh)=0}

(10)

式中：X為系統狀態變量；mod表示取余。

圖5 齒側間隙取不同值時系統相圖Fig. 5 Phase diagram for different backlash

圖6 齒側間隙取不同值時系統Poincare映射圖Fig. 6 Poincare diagram for different backlash

圖7 系統隨無量綱側隙變化的分岔圖Fig. 7 Bifurcation diagram for different backlash

2.3 交變溫度幅值對系統的影響

為進一步研究交變溫度幅值對齒輪系統動力學的影響，根據相關研究的數據類比，并進行多次試算，在其它無量綱參數均保持不變的情況下，取環境溫度所致當量無量綱側隙改變量的幅值在B=0～0.5間變化。為便于對比分析，同樣令溫度交變頻率與輪齒嚙合頻率間的關系為wT=wh/100，在零初值條件下，對式(8)進行求解。

圖8(a)～圖9(d) 分別為B=0.1、0.3、0.4、0.5時，系統響應所對應相軌跡和Poincare截面。由圖可知，當B=0.1、0.3時，系統相圖為閉合的帶狀圈，Poincare截面分別呈現為四個離散點團、兩個條狀點團，此時系統表現為擬周期運動；當B=0.4，0.5時，系統則表現為混沌運動。可見，當幅值較小時，溫度交變效應對解的結構形式影響不大，其運動形式主要取決于系統本身結構參數，但幅值較大時，環境交變溫度對系統運動形式影響較大。

圖8 不同交變溫度幅值時系統相圖Fig. 8 Phase diagram for different temperature amplitudes

圖10為系統隨無量綱側隙交變幅值B變化的分岔圖。由圖10可知，隨著幅值B的增大，系統從不考慮溫度影響，即B=0時的四周期運動，迅速經擬四周期運動后，逐漸進入混沌運動。且在溫變幅值增大的過程中，無周期窗口出現，呈單調混沌演化趨勢。可見，溫度交變幅值對齒輪系統動力學影響較大，尤其是高精度齒輪驅動系統，應盡可能采取適當的溫控措施，將溫變幅值調適至可控范圍內。

圖9 不同交變溫度幅值時系統Poincare映射圖Fig. 9 Poincare diagram for different temperature amplitudes

圖10 系統隨側隙交變量幅值B變化的分岔圖Fig. 10 Bifurcation for different temperature amplitudes

2.4 溫度交變頻率的影響

實際上，對不同軌道或航天器上相對運動的不同裝置而言，其溫度交變頻率差異較大，且是波動的。為便于定量研究交變頻率對系統動力學的影響，本文將其簡化為單頻簡諧波，根據溫度交變頻率wT與嚙合頻率wh的相對數量級，取一系列頻率比值關系進行定量分析。

設兩頻率間將存在如下關系wT=wh/k，取當量無量綱溫度交變幅值B=0.1，其它無量綱參數同上，對系統進行求解。圖11(a)～圖12(d)分別為k=5，20，200，500時，系統對應的相圖和Poincare截面。由圖11(a)可知，當k=5時，系統相圖呈現冗雜的閉合帶狀圈，Poincare截面為具有分形結構的離散點，系統表現為混沌運動。當k=20時，系統相圖為稀疏的閉合帶狀圈，Poincare截面為四個離散點團，系統表現為擬四周期運動，如圖11(b)，圖12(b)所示；當k=200和k=500時，見圖11(c)～圖12 (d)，系統呈現的相圖和Poincare截面均相似，系統都表現為擬四周期運動。

圖13所示為齒輪系統隨嚙合頻率與溫度交變頻率比k變化的分岔圖。由圖可知，當015后，隨著k值的增大，系統逐漸穩定為擬四周期運動。由于數據龐大，系統一致穩定為擬四周期運動，故圖13僅給出了k=100以內的數據。

圖11 不同頻率比時系統相圖Fig. 11 Phase diagram for different frequency ratio

圖12 不同頻率比時系統Poincare映射圖Fig. 12 Poincare diagram for different frequency ratio

圖13 系統隨頻率比變化的分岔圖Fig. 13 Bifurcation for different frequency ratio

綜上所述，齒輪系統嚙合頻率應盡量避開溫度交變頻率，二者比值應>15，以避免發生混沌運動。具體取值還要根據齒輪傳動系統需求，運行軌道及部件所處航天器位置的環境溫交變周期，進行合理確定。

3 結 論

本文以單自由度直齒圓柱齒輪傳動系統為基礎，進一步考慮空間環境下特殊的溫度交變效應，建立了含溫度交變效應的齒輪系統非線性動力學模型，在特定工況下進行了求解分析，并重點研究了溫度交變的幅值和頻率對系統動力學的影響，主要結論如下：

(1) 溫度交變環境對齒輪系統動力學的影響較大。在相同無量綱參數下，考慮溫度效應時，系統動力學響應均有不同程度的由周期運動向混沌運動演化的趨勢，較小的齒側間隙對系統穩定運動不利。

(2) 當無量綱溫度交變幅值B<0.3時，系統僅由不考慮溫度交時的周期運動變為相應的擬周期運動，其解的周期結構無大的變化，環境溫度對系統影響較小；當溫變幅值過大時，系統運動形式受環境溫度影響較大，齒輪嚙合平穩性顯著惡化。

(3) 當齒輪系統嚙合頻率與溫度交變頻率之比k<15時，系統表現為混沌運動；隨著頻率比進一步增大，系統響應一致趨于不考慮溫度效應時周期解所對應的擬周期運動。在高精度空間服役齒輪系統設計時，可根據工況及需求合理匹配兩頻率比，以避開混沌區。

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A study of the dynamic behavior of a gear system considering space temperature effect

LU Shaobo1,3, JIN Zongxiang2, KANG Xuezhong3

(1. The State Key Lab. of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400044, China;2. Shanghai Key Lab. of Spacecraft Mechanism, Shanghai 200240, China;3. School of Auto. Eng., Chongqing University, Chongqing 400044, China)

For a gear system of an on-orbit spacecraft, the backlash of the gear will be varied when it is entering and leaving the earth shadow, which results in the loss of transmission accuracy or even break the system. A nonlinear dynamic model of spur meshing gear pair was established by further considering the unique temperature effect of the space environment. The model also included the effect of time-varying meshing stiffness, the transmission error and backlash of the gear system. Combining the phase diagram, Poincare map and bifurcation diagram, the dynamic behaviors of the gear system were solved and analyzed with and without considering the temperature effect by using a 4-5 order variable step size Rung-Kutta method. The effects of changing temperature amplitude and frequency have also been studied for dynamics characteristics of the gear system quantitatively. The results show that the alternating temperature affects the gear dynamics greatly, which leads the system trend towards chaos for different condition. And some regularities could be found about the structure of solutions between the amplitude and frequency of changing temperature. Some results of this work provide a theoretical guidance for designing a gear transmission system for special space environments.

dynamics of a gear system; alternating temperature; phase diagram; Poincare map; bifurcation diagram

國家自然科學基金(51675066)；上海市空間飛行器機構重點實驗室開發課題(SM2014D301); 上海航天科技創新基金(SAST2015016)

2015-12-28 修改稿收到日期： 2016-05-12

盧少波 男，博士，副教授，1980年生

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.12.027