隔震結構碰撞分析的改進Hertz-damp模型

趙大海， 劉 勇， 李宏男，錢 輝， 劉 莎

(1. 燕山大學 建筑工程與力學學院， 秦皇島 066004； 2. 大連理工大學 土木工程學院， 大連 116024；3. 鄭州大學 土木工程學院， 鄭州 450001)

隔震結構碰撞分析的改進Hertz-damp模型

趙大海1， 劉 勇1， 李宏男2，錢 輝3， 劉 莎1

(1. 燕山大學 建筑工程與力學學院， 秦皇島 066004； 2. 大連理工大學 土木工程學院， 大連 116024；3. 鄭州大學 土木工程學院， 鄭州 450001)

碰撞是一復雜的非線性問題，為了研究碰撞作用下結構的響應，合理的碰撞模型是非常必要的。針對隔震結構的碰撞現象，結合改進的Kelvin模型和Hertz-damp模型構造了一個新的阻尼函數，提出了改進的Hertz-damp碰撞模型，并對新碰撞模型的可靠性進行了數值驗證。通過現有的碰撞試驗和其他碰撞模型對比，表明改進后的Hertz-damp碰撞模型較其他碰撞模型具有較高的精度，能更精確地模擬結構的碰撞響應。

數值分析；Hertz-damp模型；結構碰撞；地震

現代城市人口密集，但土地非常有限，建筑之間的距離越來越近。由于建筑形態和功能的需要，或是結構抗震的要求，相鄰建筑物之間的間距相對較小。因此，在強烈地震作用下，相鄰結構間往往會發生碰撞，并造成重大的人員傷亡和財產損失。比如，1985年的墨西哥地震，建筑物發生了嚴重破壞或倒塌，其中40%是由于發生了碰撞導致的。另外，1994年北嶺地震，1995年神戶地震，1999年集集大地震和2008年汶川地震中，都有觀察到碰撞現象的發生[1]。研究表明，結構碰撞對結構的地震反應和抗震性能有著重要的影響，隨著建筑密度的增加，建筑結構的碰撞問題已成為防震減災工程的重要研究課題[2]。

碰撞是一種復雜的非線性問題，為了有效地研究結構在碰撞作用下的響應，合理的碰撞分析模型是非常重要的。國內外學者對碰撞模型進行了一系列的研究。比如，Ye等[3]改進了Kelvin碰撞模型中阻尼系數的表達式。為了更好的模擬碰撞過程中力和位移的關系，一些學者采用Hertz理論模型來研究結構的碰撞響應。比如，Jankowski[4]提出了一種基于Hertz接觸模型的非線性黏彈性模型，推導出了非線性黏彈性碰撞模型中阻尼常數的表達式，其中阻尼常數與恢復系數有關，并通過數值仿真進行了驗證。但是，Hertz模型沒有考慮碰撞過程中的能量損失，Muthukumar等[5]用Hertz-damp模型對結構的碰撞影響進行分析，并與其它碰撞模型進行了比較。

本文對已有的碰撞模型進行了回顧，并基于改進的Kelvin模型和Hertz-damp模型構建了一種新的阻尼函數，提出了改進的Hertz-damp模型，采用MATLAB/ Simulink對現有的碰撞試驗進行數值模擬，并將改進碰撞模型的結果同其它碰撞模型的模擬結果進行了比較和分析。

1 已有的碰撞模型

目前，經典動力法和接觸單元法是研究結構碰撞的主要方法。經典動力法進行數值分析時不方便，一般很少使用；接觸單元法通過建立碰撞力對結構碰撞分析的數學模型，在碰撞部位加設接觸單元，利用等效彈簧單元和等效阻尼單元來模擬結構碰撞過程中的相互作用和能量耗散，并在碰撞發生時接觸、結束時脫離，所以被廣泛使用。

圖1 結構碰撞分析模型Fig.1 Analysis model for structural pounding

1.1 線彈性模型

線彈性模型是最簡單的碰撞分析模型，其碰撞力的數學表達式為

(1)

式中:kl是線彈性模型的碰撞剛度；δ是兩碰撞體的相對位移。該模型沒有考慮碰撞過程中的能量損失，碰撞力與相對位移成線性關系。

1.2 Kelvin模型

Kelvin模型的應用最為廣泛，加入線性黏性阻尼是考慮了碰撞過程中的能量損失，碰撞力表示為

(2)

(3)

式中:m1和m2分別是碰撞物體的質量；ξ是對應的阻尼常數，它與恢復系數e有關，其表達式為

(4)

線彈性碰撞模型的缺點是，黏性阻尼系數在整個碰撞過程中保持不變，這就導致在碰撞開始反彈的過程中能量損失的變化是均勻的。同時，Kelvin模型會造成碰撞力在開始階段出現拉力，在反彈階段的出現飛躍，這些現象都是與實際碰撞事實不相符的。

1.3 改進的Kelvin模型

基于Kelvin模型存在的不足之處，Ye等修正了Kelvin模型中的阻尼常數，提出了改進的Kelvin模型，并對其進行了驗證。碰撞力的表達式與式(2)相同，修正后ξ的阻尼常數的表達式如下

(5)

式中:v1和v2分別是兩碰撞體初始時刻的速度；kK是Kelvin模型的碰撞剛度。

1.4 Hertz模型

碰撞過程中，碰撞力的增加是非線性的。為了更準確地模擬結構碰撞的過程，一些學者對Hertz理論進行了研究。基于Hertz理論的碰撞力可以表示為

(6)

式中:δ是兩碰撞物體的相對位移；kH是Hertz模型的碰撞剛度，該模型沒有考慮碰撞過程中的能量損失。

1.5 Hertz-damp模型

Hertz-damp模型中增加了非線性阻尼項，從而彌補了Hertz模型沒有考慮能量損失的不足，碰撞力可以表示為

(7)

cH=ξδ3/2

(8)

阻尼常數ξ、非線性剛度kH、恢復系數e和結構碰撞的相對初始速度δ之間的關系表示為

(9)

在非線性黏彈性模型中，當ξ=0時表示碰撞為完全彈性碰撞；ξ=∞當時表示碰撞為完全塑性碰撞[6]。從式(9)可以看出，當e=1且ξ=0時符合完全彈性碰撞；當e=0且ξ≠∞時卻不符合完全塑性碰撞。因此，Hertz-damp模型在碰撞模擬中存在一定的誤差。

2 改進的Hertz-damp模型

在已有碰撞模型理論的基礎上，根據改進后的Kelvin模型和Hertz-damp模型，構造了一個新的碰撞阻尼函數，提出了一種改進的Hertz-damp模型。

對于改進后的Kelvin模型的阻尼系數，可以如式(8)一樣表示為

cK=ξδ

(10)

將式(5)和式(10)代入式(2)，得到下列表達式

(11)

式(11)可以改寫成

(12)

從式(12)可以看出

(13)

通過式(13)可以得出

(14)

將式(14)代入式(7)中，得到改進的Hertz-damp模型的表達式為：

(15)

通過式(15)可以看出，改進Hertz-damp模型的阻尼系數是與碰撞剛度、接觸初始時刻的相對速度、恢復系數和碰撞變形相關的函數。同時也可以看出，改進的Hertz-damp模型與Jankowski提出的非線性黏彈性模型理論相符合。

3 數值驗證

本文采用改進的Hertz-damp模型對碰撞試驗進行了模擬，并將試驗結果和其它碰撞模型的結果進行了比較，驗證了改進Hertz-damp模型的正確性和準確性。試驗結果通過標準誤差計算比較，誤差公式[7]如下

(16)

式中:E是數值模擬的相對誤差；F是試驗中得到的響應時程；F′是數值分析得到的響應時程；‖F-F′‖是(F-F′)的歐氏范數，當把它看作一個離散值時，可以通過以下形式得到

(17)

式中:i是記錄時程數值時間間隔的序號；n是時程數值的總個數。

3.1 鋼球碰撞試驗的模擬及數值分析

本節分別采用線彈性模型、Kelvin模型、Hertz模型、Hertz-damp模型和改進的Hertz-damp模型來模擬Goland等做過的碰撞試驗，實驗模型如圖2所示。將不同直徑的鋼球從不同水平高度自由釋放，下端放有剛性桿支撐的半球型剛體，同時剛性桿的下端與彈簧相連接以消除應力波的影響，用于數值計算的分析模型如圖3所示。

圖2 試驗模型 圖3 數值模型Fig.2 Experimental model Fig.3 Numerical model

通過分析得出了碰撞模型中鋼球的動力平衡方程，其形式如下

(18)

δ(t)=y(t)-h

(19)

式中:y(t)是其豎向位移；h是鋼球下落的高度。

采用不同的碰撞模型，對不同直徑的鋼球從不同高度進行了碰撞分析。本文選用一組數據進行數值模擬，選取的鋼球直徑為0.397 cm，跌落高度為5.08 cm，測試的最大沖擊力為80.7 N。通過MATLAB/Simulink編寫程序求解式(18)，通過試算，當恢復系數為0.9時，采用Kelvin模型、Hertz-damp模型和改進的Hertz-damp模型得到的碰撞力時程誤差都比較小。

圖4比較了恢復系數為0.9時，不同碰撞模型的碰撞力時程，接觸力-位移關系如圖5所示。從圖4可以看出，Kelvin模型誤差較大的原因是碰撞力在接觸初始階段有跳躍，而且在回彈階段出現拉力，這顯然與碰撞的物理事實不符。從圖5可以看出，Kelvin模型、Hertz-damp模型和改進的Hertz-damp模型的接觸力-位移關系曲線有明顯的滯回環，這是因為這三種碰撞模型都考慮了碰撞過程中的能量損耗，滯回環的面積表示碰撞過程中的能量耗散。線性彈性模型和Hertz模型的接觸力-位移關系曲線是直線，表明它們在碰撞過程中沒有考慮能量耗散。

圖4 不同碰撞模型的碰撞力時程比較Fig.4 Comparisons on pounding force time histories for various impact models

圖5 不同碰撞模型的撞擊力-碰撞變形關系Fig.5 Contact force-displacement relationships for various impact models

表1給出了各種碰撞模型的參數和碰撞力時程誤差。從表中可以看出，Hertz模型的碰撞力時程誤差比較小，其原因為：鋼球與半球之間的碰撞試驗中彈性碰撞占據主導地位，碰撞過程中的能量損失較小。改進后的Hertz-damp模型在碰撞接觸階段與試驗數據之間的差異較小，但在回彈階段的差異呈增加趨勢，其誤差為27.05%，稍大于沒有考慮能量耗散的Hertz模型的結果。同時，忽略碰撞過程中的能量耗散會高估結構碰撞的破壞程度。如果不考慮能量耗散，線彈性模型模擬得到的最大碰撞變形將大于Kelvin模型的結果，Hertz模型模擬得到的最大碰撞變形將大于Hertz-damp模型和改進Hertz-damp模型的結果。

3.2 隔震結構模型與運動方程

隔震結構的碰撞模型如圖6所示，假定結構的質量集中在樓板處[8]，則地震作用下結構碰撞的運動方程表示為[9]

(20)

隔震層的運動方程為

(21)

式中:mb和Fb分別表示隔震層的質量和恢復力；k1和c1分別為第一層的層間剛度和阻尼。

表1 各碰撞模型的參數及撞擊力時程誤差Tab.1 Parameters and errors of pounding force time history for various impact models

隔離層與限位裝置發生碰撞時的方程為

(22)

LRB隔震支座的剛度和阻尼可以通過下面兩個參數來求得[11]，即隔震周期Tb和阻尼比ξb分別為

(24)

(25)

3.3 數值算例及分析

本節以五層隔震結構為例分析[12]，隔震結構上部各層的質量為5×105kg，剛度為1×109N/m，采用瑞利阻尼，阻尼比為0.05。隔震層采用LRB支座，其質量為5.5×105kg，屈服位移為0.01 m，屈服強度為1.93×106kN，屈服后剛度為1.93×106N/m。經計算，非隔震結構的基本周期為Ts=0.494 s，隔震結構的基本周期為Tb=2.5 s。以Loma Prieta地震波作為輸入，其時程曲線如圖7所示。

(a) 基礎隔震結構模型

(b) 碰撞單元圖6 基礎隔震結構模型及碰撞單元Fig.6 Model of base-isolated structure and impact element

圖7 Loma Prieta地震波時程Fig.7 Time history of Loma Prieta earthquake

圖8分別給出了Loma Prieta地震波作用下，隔震結構頂層的加速度時程、碰撞力和基底剪力時程。從圖中可以看出，與非隔震結構相比，考慮碰撞時，結構頂層的加速度峰值明顯增大，尤其是在發生碰撞的隔震層處，加速度的增大更加顯著。

(a) 頂層加速度時程

(b) 初始間隙為10 cm時的碰撞力時程

(c) 初始間隙為10 cm時的基底剪力時程圖8 Loma Prieta地震作用下的結構響應時程Fig.8 Time history responses under Loma Prieta earthquake

表2給出了不同碰撞模型下基礎隔震結構的峰值響應，其中初始預留間隙為10 cm。從表中可以看出，不同碰撞模型下基礎隔震結構峰值之間的差異非常小，都在10%以內。但是，隨著碰撞能量的增加，碰撞模擬的誤差也隨之增大，因此有必要考慮碰撞過程中的能量耗散。

圖9給出了非隔震結構、不考慮碰撞的隔震結構以及考慮碰撞的隔震結構(初始預留間隙分別為5 cm和10 cm)下結構層間位移和絕對加速度的峰值。從圖中可以看出，與不考慮碰撞的隔震結構相比，考慮碰撞時隔震結構的最大加速度和層間位移均有所增加，并且隔震層的加速度增大更為顯著，隔震結構下部受到的影響比上部更為明顯。從圖中還可以看出，盡管改進的Hertz-damp模型和Hertz-damp模型數值模擬的結果差別不大，但是改進的Hertz-damp模型理論上克服了Hertz-damp模型的不足，與實際情況更為接近。

表2 不同碰撞模型的峰值響應對比Tab.2 Comparisons on peak responses for different impact models

(a) 最大層間位移

(b) 最大絕對加速度圖9 Loma Prieta地震作用下結構的峰值響應Fig.9 Peak responses of structure under Loma Prieta earthquake

4 結 論

本文基于改進的Kelvin模型和Hertz-damp模型構建一個新的阻尼函數，提出了改進的Hertz-damp模型，并對新碰撞模型的可靠性進行了數值驗證，主要結論如下：

(1)本文提出的改進Hertz-damp模型，克服了現有碰撞模型的缺點，對結構碰撞模擬具有較高的精度，能更準確地模擬結構的碰撞響應。

(2)當碰撞過程中能量耗散較大時，可以采用改進的Hertz-damp模型和Hertz-damp模型用來模擬碰撞，而線彈性模型、Hertz模型和Kelvin模型不適用于較大的能耗碰撞模擬。

(3)改進的Hertz-damp模型克服了Hertz-damp模型的不足，與不考慮碰撞的隔震結構相比，考慮碰撞時隔震結構的最大加速度和層間位移均有所增加，并且隔震層的加速度增大更為顯著。

[1] NAEIM F, LEW M, HUANG S C, et al. The performance of tall buildings during the 21 September 1999 Chi-Chi earthquake, Taiwan [J]. The Structure Design of Tall Building, 2000, 9(2): 137-160.

[2] WANG Zifa. A preliminary report on the Great Wenchuan Earthquake [J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2008, 7(2): 225-234.

[3] YE Kun, LI Li, ZHU Hongping. A modified Kelvin model for pounding simulation of base-isolated structures with adjacent structures under near-fault ground motions [J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2009, 8(3): 433-446.

[4] JANKOWSKI R. Non-linear viscoelastic modeling of earthquake-induced structural pounding [J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2005, 34(6): 595-611.

[5] MUTHUKUMAR S, DESROCHES R. A Hertz contact model with non-linear damping for pounding simulation [J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2006, 35(7): 811-828.

[6] JANKOWSKI R. Analytical expression between the impact damping ratio and the coefficient of restitution in the non-linear viscoelastic model of structural pounding [J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2006, 35(4): 517-524.

[7] 許祥, 劉偉慶, 徐秀麗. 結構地震碰撞分析的線性黏彈性碰撞模型[J]. 工程力學, 2013, 30(2): 278-284.

XU Xiang, LIU Weiqing, XU Xiuli. Linear viscoelastic model of earthquake-induced structural pounding [J]. Engineering Mechanics, 2013, 30(2): 278-284.

[8] 黃瀟, 朱宏平. 近斷層地震作用下相鄰隔震結構的碰撞研究[J]. 土木工程與管理學報, 2011, 28(3):249-253.

HUANG Xiao, ZHU Hongping. Study on impact of adjacent base-isolated structures under near-fault earthquake [J]. Journal of Civil Engineering and Management, 2011, 28(3): 249-253.

[9] 鄒立華, 郭潤, 黃凱, 等. 帶預應力橡膠支座相鄰隔震結構碰撞分析[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(9): 131-136.

ZOU Lihua, GUO Run, HUANG Kai, et al. Pounding of adjacent isolated-structures with prestressed rubber bearings [J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(9): 131-136.

[10] 趙建偉, 鄒立華, 方雷慶. 考慮相鄰建筑物碰撞的基礎隔震結構的地震反應分析[J]. 振動與沖擊，2010, 29(5): 215-219.

ZHAO Jianwei, ZOU Lihua, FANG Leiqing. Seismic response analysis of base-isolated structures considering pounding of adjacent building [J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(5): 215-219.

[11] MATSAGAR V A, JANGID R S. Seismic response of base-isolated structures during impact with adjacent structures [J]. Engineering Structures, 2003, 25(12): 1311-1323.

[12] KOMODROMOS P, POLYCARPOU P C, PAPALOIZOU L, et al. Response of seismically isolated buildings considering poundings [J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2007, 36(12): 1605-1622.

Modified Hertz-damp model for base-isolated structural pounding

ZHAO Dahai1, LIU Yong1, LI Hongnan2, QIAN Hui3, LIU Sha1

(1. School of Civil Engineering and Mechanics, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China;2. School of Civil Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China;3. School of Civil Engineering, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China)

Pounding is a complicated nonlinear problem. In order to investigate the structural responses under the impact of collision, a proper collision model was very necessary. For the impact of base-isolated structure, a new damping function was constructed by combining the modified Kelvin model and the Hertz-damp model. The modified Hertz-damp model was proposed, and the reliability of the new impact model was verified by numerical simulation. Comparing with other impact models according to the existing pounding tests, it can be shown that the modified Hertz-damp model is more accurate than the other impact models, and can accurately simulate the pounding responses of the structure.

numerical analysis; Hertz-damp model; structural pounding; earthquake

國家自然科學基金資助項目(51308487; 41402261)；河北省自然科學基金資助項目(E2014203055)；河北省高等學校科學技術研究項目(YQ2013015)；河北省大學生創新創業訓練計劃項目(201610216025)

2016-03-21 修改稿收到日期： 2016-09-03

趙大海 男，博士，副教授，1980年生

劉勇 男，碩士生，1990年生

TU352.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.12.038