機械優化設計課程實踐教學項目設計

翟國棟, 李明陽

(中國礦業大學(北京) 機電與信息工程學院,北京 100083)

機械優化設計課程實踐教學項目設計

翟國棟, 李明陽

(中國礦業大學(北京) 機電與信息工程學院,北京 100083)

項目教學是一種以問題為導向的教學模式，而教學項目設計是項目教學的一個關鍵環節。針對《機械優化設計》課程特點及教學中存在的問題，以提高學生對理論知識的運用能力為目標，選取一個帶傳動和鏈傳動兩級傳動的優化設計為教學項目，建立了優化設計的數學模型，包括目標函數、約束條件等。應用Excel軟件，按照圖表數據化、模型實現和解算等步驟實現對優化設計模型的求解。該軟件對解決優化設計問題具有建模過程簡單、優化設計計算速度快、設計資料可讀性高、設計自動化水平高等優點，可以大大提高設計人員的設計效率，為優化設計的工程應用提供了新的借鑒思路。該教學項目“教、學、做”相結合，突出學生應用能力的培養，提高了學生學習興趣和解決實際問題的能力。

傳動系統; 優化設計; 項目化教學

0 引 言

機械優化設計是在規定的工況及設計要求條件下，在滿足機械產品的幾何關系和性能約束的限制下，選取設計變量，建立目標函數并使機械設計的某項或某幾項指標獲得最優值的一種設計方法。機械優化設計是機械類研究生和高年級本科生的選修課，也是現代設計理論與方法課程的重要組成部分[1-5]。

機械優化設計的教學目標是使學生掌握機械優化設計的基本理論和方法，能夠針對工程項目中的優化設計問題合理地建立數學模型，選用恰當的優化方法，編寫計算機程序求解優化設計問題，并對結果進行分析，最終達到獨立解決工程實際中的機械優化設計問題的目的。該課程理論性及實踐性都較強，其中公式及推導較多，涉及高等數學、線性代數、理論力學、材料力學及計算機語言等課程的知識。在掌握理論知識的基礎上，又要將其應用到工程實際中。由于該課程對學生的數學基礎、專業知識、計算機的運用及編程求解等方面均有較高的要求，部分學生因此產生畏難情緒，學習興趣不高[6-10]。

為了充分調動學生自主學習的積極性，機械優化設計應堅持以項目為主線、任務為驅動、教師為主導、學生為主體的原則開展項目教學[11-13]。項目教學是一種以問題為導向的教學模式，是將學習目標和理論知識凝編成許多教學單元，將知識以面向項目的方式呈現給師生，已經應用許多工程類課程[14]。本文結合工程實踐講述機械優化設計課程，通過實踐教學項目來帶動課程的教學。

1 優化設計數學模型的建立

傳統的帶傳動和鏈傳動設計需要查找大量的手冊，計算比較繁瑣，需要耗費設計人員大量的時間，而且很難得到最優解。借助計算機，可以大大減少設計人員的計算量，但仍需進行大量的編程工作。目前常用的優化設計理論建模過程往往比較復雜，并且主要是針對連續變量的優化設計，但工程大多數情況下處理的都是離散變量，這就對設計人員提出了很高的能力要求。為了提高帶傳動和鏈傳動的設計效率，采用Excel建立帶傳動和鏈傳動兩級傳動的優化模型，并運用內置集成工具Solver求最優解。與Matlab編程進行優化設計比較，這種方法建模過程簡單，優化設計計算速度快，設計資料可讀性高，設計自動化水平高。

某殼牌環保馬拉松汽車采用帶傳動和鏈傳動兩級傳動方案，如圖1所示，發動機為單缸摩托車發動機，中等沖擊。由于所設計汽車的性能需要，傳動系統要求盡可能占用更少的空間體積。已知傳動系統的傳動功率為4.123 1 kW，傳動系統的輸入轉速為2 418.055 r/min，輸出轉速為760.6 r/min。帶傳動采用CONTITECH的XPZ型V帶，鏈傳動采用RENOLD公司的滾子鏈，鏈節距為12.7 mm，對應的鏈輪寬度為7.2 mm，所用的滾子鏈能承受的最大拉力為17.8 kN。

圖1 傳動方案簡圖

1.1 目標函數的確定

殼牌環保馬拉松比賽要求參賽汽車用1 L汽油跑盡量長的距離，這就要求整車的體積要盡量小，因而也要求傳動系統要盡可能地占用更少的空間體積。在帶傳動中，用能夠裝下傳動系統的長方體的體積表示帶傳動所占用的空間體積，如圖2所示。長方體的長為帶輪的中心距與大小帶輪半徑之和，長方體的寬即為帶輪的寬度，長方體的高等于大帶輪的直徑，因此帶傳動所占用的空間體積為：

其中：a為兩個帶輪的中心距，d1和d2分別為小帶輪和大帶輪的直徑，N為V帶的根數。

圖2 帶傳動模型圖

同理，鏈傳動所占的空間體積為：

其中：C為兩個鏈輪的中心距，Z1和Z2分別為小鏈輪和大鏈輪的齒數。

因此，優化設計的目標函數為：

1.2 設計變量的選取

從目標函數的組成上可以看出傳動系統的空間體積有6個相關的設計變量：小帶輪的直徑d1、大帶輪的直徑d2、兩個帶輪的中心距a、V帶的根數N、兩個鏈輪的齒數Z1和Z2以及鏈輪的中心距C。在這些變量中，帶輪的直徑和鏈輪的齒數并不是相互獨立的設計變量，因為整個傳動系統的傳動比是確定的，當確定兩個鏈輪齒數和小帶輪直徑之后，大帶輪的直徑也就隨之確定了下來。其中，帶輪直徑已經實現了標準化，在設計時小帶輪直徑應當從標準系列中選取。因為V帶帶長在生產中已經標準化、系列化，當確定了帶輪的直徑和中心距后，計算出來的帶長并不能直接使用，往往需要圓整到鄰近的標準值。相類似的，滾子鏈鏈長只能是整數，也需要在得到計算值后圓整到鄰近的整數值。為了在優化設計過程中合理處理這些離散數據，可以用帶長和鏈長(節數)來分別代替相應的中心距。因此，本設計實例中，選取的設計變量為：

其中:d1為小帶輪的直徑，Lw為V帶帶長，N為V帶的根數，Z1和Z2分別為兩個鏈輪的齒數，L為鏈長，單位為節。從設計變量可以看出，所有的設計變量取值都是離散的，這是一個離散變量的優化設計問題。

1.3 約束條件

1.3.1 帶傳動約束條件

(1) 根據CONTITECH產品手冊，此實例中帶傳動的安全系數應大于1.1。根據產品手冊，帶傳動的安全系數為：

因此,帶傳動的安全系數約束方程為：

(3) 帶的根數不能超過10，其約束方程為：

g3(x)=N-10≤0

(4) 帶傳動的中心距范圍0.7(d1+d2)≤a≤2(d1+d2)，帶傳動的中心距為：

因此該約束方程為：

(5) 根據產品手冊小帶輪直徑和帶長的范圍：50≤d1≤140，590≤Lw≤3 550,因此約束方程為：

g6(x)=d1-140≤0

g7(x)=50-d1≤0

g8(x)=d3-3 550≤0

g9(x)=590-d3≤0

1.3.2 鏈傳動約束條件

(1) 為了減小鏈傳動中多邊形效應的影響，小鏈輪的齒數應當大于19，即

(2) 大鏈輪齒數應當小于114，即：

g11(x)=Z2-114≤0

(3) 保證是減速傳動，大鏈輪齒數要多于小鏈輪，即

(4) 總齒數應該超過50，即

(6) 鏈輪的中心距應該在節距的30～50之間;鏈傳動的中心距為

p為鏈傳動的節距，此例中節距為12.7 mm。

g15(x)=C-50p≤0

g16(x)=30p-C≤0

2 圖表的公式化

在帶傳動當中，帶長修正系數和單根V帶的額定功率需要查表，這樣的查表操作在優化設計過程中會使優化難度大大增加。為了取得更好的優化效果，需要將產品手冊中的圖表進行公式化處理[15-16]。

2.1 帶長修正系數的公式化

產品手冊中帶長修正系數以表格的形式給出，如表1所示，考慮到帶長修正系數只與帶長有關，可以用Matlab進行多項式擬合，從而用一個多項式代替表1。擬合之后的結果是：

c3=1.260 1×10-11Lw3-1.066 1×10-7×Lw2+

3.631 9×10-4Lw+0.640 7

表1 帶長修正系數C3

2.2 單根V帶額定功率圖表的公式化

如表2所示，在V形帶的產品手冊中，單根V帶的額定功率與小帶輪直徑dwk、小帶輪轉速nk和帶傳動的傳動比i有關，但是并沒有給出具體的函數關系，這種多變量的圖表在優化設計過程中，計算機很難從中查找需要的數據，為此，需要進行圖表的公式化處理。

表2 單根V帶額定功率

從帶傳動的原理上可知，單根V帶的額定功率為：

(1)

(2)

(3)

將式(2)、(3)代入式(1)可得：

(4)

在本設計實例中，由于小帶輪轉速已知，通過對表格中的數據進行插值得到了輸入轉速下的數據，因此只需求出在輸入轉速下，單根V帶額定功率與小帶輪直徑和傳動比的關系即可。那么，只需要將插值后的數據與下面公式進行擬合：

Pr=k1d13+k2d10.91+

(5)

計算多項式中每一項除系數k1、k2、k3外的值，然后利用Matlab中regress函數進行數據擬合，可以得到擬合后的單根V帶額定功率的函數式為：

(6)

3 在Excel中建立優化設計的模型

在Excel中進行工程計算，可以極大地減少重復的計算量。在Excel中建模就是編寫產品計算書的過程。對于帶傳動和鏈傳動兩級傳動優化設計，建立的模型如圖3～10所示。

圖3用來輸入設計參數；圖4用來表示設計變量，其中小帶輪直徑和帶長只能從表格中選取，圖5用來存儲這些數據。以小帶輪直徑為例，在相應的藍色字體單元格內調用VLOOKUP函數，即通過改變之后藍色方框內數值調用表格數據獲取標準值。圖5、6完成設計中主要參數的計算，圖7、8用來添加約束條件。圖9用來建立目標函數，當設計變量中輸入相應值時，此處會自動計算出目標函數的函數值。圖10為查表數據。這樣建立起來的模型可以作為帶傳動和鏈傳動兩級傳動的設計書，設計人員可以用在傳統設計當中，大大減少了重復的計算量。

圖3 設計條件

圖4 設計變量

圖5 帶傳動設計過程

圖6 帶傳動約束條件

圖8 鏈傳動約束條件

圖9 目標函數設置

圖10 查表數據

4 利用Excel集成的優化求解工具求最優解

微軟Excel內部集成的“規劃求解”工具提供了很好的優化設計工具[18-19]。通過點擊數據->規劃求解打開優化求解工具，如圖11所示。選取目標函數對應的單元格設置為優化目標，選擇“最小值”設計變量對應的單元格選取為可變單元格，并添加整數約束，約束條件部分的約束單元格全部添加小于等于零的約束。

圖11 規劃求解工具

在設計變量對應的單元格內隨機輸入幾個初值，運用優化工具求解，以目標函數最小值對應的設計變量作為最優解。

計算結果對比表見表3,與未進行優化設計時傳統設計方案相比，傳動系統的體積減少了15.95%，效果非常明顯。為了檢驗優化結果的可靠性，考慮到變量全部都是離散變量，在Matlab中采用窮舉法對這個優化問題進行了求解，所求結果相同，但在Matlab當中的求解時間達到了3 h，而本文中所用方法求解時間只有幾min。本文采用Matlab對帶傳動當中的主要表格進行了公式化處理，在Excel當中完成了優化設計模型的建立，并使用微軟Excel特有的“規劃求解”工具對設計方案進行了優化。結果表明，采用Excel進行傳動系統的優化設計可以大大提高設計人員的設計效率，簡化設計流程，減少重復計算，并且具有比較高的通用性，非常具有應用價值。

表3 結果對比

5 結 語

教學實踐證明，在機械優化設計課程實施案例教學法后學生的學習興趣得到了提高，分析問題、解決問題的工程實踐能力得到增強。在實踐中學生學會將工程問題轉化為最優化設計問題，分析機械優化設計的基本方法并合理建立數學模型，能編寫調試簡單的優化程序，較好地完成實驗內容。項目化教學切實提高了學生的學習興趣和工程實踐能力，培養了學生動手能力和創新能力。

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Design of Practice Teaching Project for the Course Mechanical Optimization Design

ZHAIGuodong,LIMingyang

(School of Mechanical Electronic & Information Engineering, China University of Mining & Technology(Beijing), Beijing 100083, China)

Project teaching is a question-oriented teaching mode. Teaching project design is a key section of project-based teaching. This paper discussed the problems existing in the teaching of mechanical optimization design. According to the characteristic of the course, project teaching can improve teaching quality. On the basis of the student’s enhancement on the application of the theory, a real example of belt and chain drives optimization problem is selected as a teaching project. It is established the optimal design model including objective function, constraints etc. The optimal design model is solved through chart data, model realization and reconciliation by using Microsoft Excel. In this way, it has the advantages of simple modeling process, high speed of optimization design, high readability of design data and high level of design automation and so on. So it can save a lot of time and make the design process more convenient. This project can achieve the teaching-learning-doing combination and cultivation of students’ application ability. Teaching practice shows that the project-oriented teaching can raise the interests of students in learning and the ability to solve practical problems.

power transmission system; optimization design; project-based teaching

2016-09-19

國家級大學生創新創業訓練計劃(201611413086)；北京市大學生創新訓練項目(K201504024)；中央高校基本科研業務費專項資金(2014YJ02)；中國礦業大學(北京)教學改革項目(j160403、j150402、k130409、C160401)

翟國棟(1973-)，男，河北高碑店人，博士，高級工程師，機電與信息工程學院副書記兼副院長，主要從事機械專業的教學、科研工作，已發表論文20余篇。

Tel.：(010)62339034，13691002308; E-mail：zgd@cumtb.edu.cn

TH 122

A

1006-7167(2017)05-0178-06