考慮定子外殼漏磁的同極式永磁偏置徑向磁軸承磁路模型

吳磊濤 王 東 蘇振中 張賢彪 王 抗

(海軍工程大學艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室 武漢 430033)

?

考慮定子外殼漏磁的同極式永磁偏置徑向磁軸承磁路模型

吳磊濤 王 東 蘇振中 張賢彪 王 抗

(海軍工程大學艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室 武漢 430033)

同極式永磁偏置徑向磁軸承的永磁偏置磁場在定子外殼內形成較大漏磁，而且外殼的有效面積相對工作氣隙較大，即使在鐵心與外殼間加入隔磁層的情況下，漏磁仍不可忽略，必須進行準確計算。首先直接求解拉普拉斯方程獲得隔磁層內的磁場分布，并結合保角變換計算漏磁區域的端部效應，然后求解工作氣隙的永磁偏置磁場和電勵磁控制磁場，最后建立完整磁路模型和電磁力解析模型。三維有限元仿真結果表明，所建立的磁路模型能準確計算磁軸承工作范圍的電磁參數。依據飛輪儲能系統的總體需求，設計了徑向磁軸承系統，實驗結果驗證了所建立解析模型和有限元模型的準確性。

磁軸承 解析模型 漏磁 磁路模型 線性模型

0 引言

永磁偏置混合磁軸承(下文稱混合磁軸承)由于其固有的無接觸摩擦和剛度、阻尼可控的特性，廣泛應用于各種高速轉子系統[1-3]。與純電勵磁軸承相比，混合磁軸承的勵磁功耗和旋轉損耗低，且結構更緊湊[4]；與純永磁軸承相比，其承載力更大，且具有獨立實現五自由度穩定懸浮轉子的能力[5]。

同極式永磁偏置磁軸承(下文稱同極式磁軸承)是徑向混合磁軸承的一種，其旋轉損耗低[6]，永磁體與定子鐵心相對獨立，便于安裝[7]，因此適用于飛輪儲能、衛星動量輪等系統[8，9]。同極式磁軸承本身存在電磁機構固有的結構缺點，漏磁不可避免[10]。其漏磁分為電勵磁漏磁和永磁漏磁兩大類。電勵磁漏磁主要是在線圈槽內漏磁，影響較小[11]；由于永磁體不導磁，磁阻在磁路中比重較大，永磁漏磁的影響不可忽略[12]。

目前國內外學者對磁軸承的精確設計方法展開了深入研究，但漏磁與磁阻在設計時通常被忽略[13，14]或只通過磁路法與經驗值確定[15]，設計精度不高。為了提高對漏磁的計算精度，有限元仿真被引入漏磁場計算[16]，但耗時較長，不適用于快速的電磁設計。解析法是研究磁軸承磁場分布的重要方法[17，18]，但在漏磁場計算中應用較少。

在實際生產中，為了保證產品安全，同時降低成本，不可避免地選用高強度的導磁鋼作為系統外殼，即使隔磁層將磁軸承定子與外殼分離，二者之間存在較大的漏磁，必須進行準確計算確定其影響。

本文通過傅里葉級數法和保角變換法聯合求解漏磁區域的磁場分布，然后求解永磁偏置氣隙磁場和電勵磁控制氣隙磁場，結合電機無齒槽效應的偏心模型建立了精確磁路模型和電磁力解析模型。設計并制造了徑向磁軸承及其控制系統，實驗驗證了所建立的解析模型和有限元模型的準確性。

1 同極式磁軸承的結構和原理

同極式磁軸承的轉子鐵心通過熱套固定在轉軸上，轉軸材質為導磁材質的合金鋼，導磁環在兩個轉子鐵心(硅鋼疊片結構)之間，起輔助導磁和定位鐵心的作用。

定子結構包含兩個疊片鐵心，每個鐵心上有4個磁極，每個磁極上均繞置了一個集中繞組，各繞組的尺寸和匝數相同。疊片鐵心的外側熱套有實心的導磁環，材料為電工純鐵，兩個導磁環之間放置軸向充磁的釹鐵硼永磁環。在導磁外殼和定子鐵心之間嵌入隔磁銅套以固定定子、外殼并隔絕永磁體漏磁，整個永磁磁場的漏磁主要集中在此。

徑向磁軸承包含兩個定子鐵心和兩個轉子鐵心，因此，徑向磁軸承包含兩組工作氣隙。永磁體所產生的磁通將沿著軸向磁路流通，依次經過導磁環、定子鐵心、轉子鐵心和轉軸形成閉合回路。

當轉子處在平衡位置時，由于結構對稱，各氣隙內的磁感應強度相等，電磁力合力為0。當轉子偏離平衡位置時，控制繞組內的電流將根據轉子偏心方向和位移在氣隙內產生電勵磁磁通，從而增強或減弱氣隙內的磁感應強度，進而產生電磁力，使轉子回到平衡位置。

2 同極式磁軸承的解析模型

2.1 漏磁場模型

本文采用解析法求解定子和導磁外殼之間的漏磁場，同時結合漏磁場結果計算氣隙磁場，為了便于分析，解析模型的假設如下：

1)定、轉子鐵心及外殼的磁導率無窮大。

2)隔磁銅套、永磁體的相對磁導率μr=1。

3)忽略轉子鐵心的渦流效應。

4)忽略磁極極靴。

隔磁層與導磁外殼之間的漏磁區域在同極式磁軸承結構中的位置如圖1 所示，漏磁模型示意圖如圖2所示。

圖1 同極式磁軸承結構示意圖Fig.1 The structure of homopolar magnetic bearing

圖2 漏磁場的模型示意圖Fig.2 Structure model of the leakage field

求解區域分為隔磁銅套(區域一)和端部空氣(區域二)兩部分，分別采用傅里葉變換法和保角變換法求解磁場，然后線性疊加。

隔磁銅套內的漏磁場是由各個邊界條件共同決定，且標量磁位場在永磁體和邊界的空氣內是線性分布，對此分別計算各個邊界磁位函數對磁場造成的影響，最終求解出隔磁層內的磁場分布，如圖3所示。圖3中，a為磁極的厚度，b為1/2永磁體厚度，g為隔磁銅套的厚度。

圖3 隔磁層的漏磁場及其邊界磁位示意圖Fig.3 The leakage field of copper area and its magnetic potential in boundary

磁場由各個邊界條件共同決定，分別計算各個邊界磁位對磁場造成的影響，并線性疊加。因此，隔磁層內的磁位函數u(x，y)表達為

u(x,y)=W(x,y)+V(x,y)

(1)

式中，W(x，y)、V(x，y)分別為邊界AB、BC對隔磁層內磁場產生的磁位函數。

對于W(x，y)，首先用分離變量法求解直角坐標下的方程

[gmsinh(my)+hmcosh(my)]

(2)

按照表1所示，各邊界上的磁位函數方程為

(3)

表1 隔磁層內漏磁場的邊界條件

依據式(3)給出的邊界條件，將式(2)整理為

(4)

在AB邊界，有

(5)

將邊界磁位函數f1(x)展開，從而可以求解出式(5) 中的系數，即

cos[m(a+b)]+msin(mb)}

(6)

根據表1，同理可得

(7)

其中

(8)

根據磁位函數u(x,y)可得隔磁層內的磁場密度的y向分量為

(9)

為了準確獲得漏磁場的完整分布，必須考慮磁場的邊緣效應，如圖4a所示。由于該磁場的邊界是不等磁位，必須通過兩次許-克變換。

圖4 漏磁場的邊緣效應求解示意圖Fig.4 The fringe effect of leakage field and its solution

圖4a中，設定導磁外殼的磁位為Fm，電工純鐵層的磁位為-Fm，則氣隙中心線的磁位可視為0，據此可轉換為圖4b。

根據圖4b，第一次許-克變換為

(10)

式中，S的值可由回路積分法確定。

在Z平面內，經過B點時，積分距離為g/2，則

(11)

在W平面內，在b點內做半徑趨于無窮小的半圓，令w=ρejθ，ρ→0，θ從π積分到0，則

(12)

結合式(11)、式(12)可得

(13)

通過對數變換獲得原求解區域與規則區域之間的關系為

(14)

求解區域內的磁感應強度為

(15)

根據式(15)，當z→-∞時，w→0，磁感應強度Ba最大，即Bmax=μ0(2Fm)/g。選取不同的w值代入式(15)，可得邊緣處的磁場分布。

將式(9)和式(15)置于同一坐標系下，可推導出整個漏磁場的分布。

2.2 氣隙磁場模型

如圖5所示，為了簡化計算，假設如下：

1)定子磁極無極靴，轉子表面光滑。

2)相對氣隙的大小，槽深為無限深，槽高為無限高。

3)鐵心的磁導率為無窮大，忽略渦流和磁滯。

圖5 氣隙磁場求解示意圖Fig.5 The magnetic field of air-gap field and its solution

偏置磁場中相鄰磁極的磁位相同，但定、轉子的磁位不同，因此同樣需進行兩次許-克變換。

根據圖5b，許-克變換為

(16)

積分并分別在A、B、C、E點利用回路積分法求解未知數，最后可以得到

(17)

其中

(18)

式中，s0為磁極之間的寬度。

結合對數變換

(19)

可得工作氣隙內的磁感應強度為

(20)

根據圖5b，當w為不同負實數時，分別求解Ba和對應的z值，可得轉子表面的磁感應強度分布。

2.3 轉子偏心模型

轉子偏離平衡位置時，磁軸承的工作氣隙的改變導致磁阻變化，磁場分布規律隨之改變。氣隙內的磁力線長度與齒槽無關，因此假定偏心分析模型為無齒槽結構，如圖6所示[19]。

圖 6 轉子偏心示意圖Fig.6 Model of the rotor eccentricity

設轉子中心偏移定子中心的距離為ε，偏移角度為α，設定子內圓任一點A與偏心后的轉子中心的連線經過轉子外圓上的B點。為了將偏心模型嵌入齒槽模型，計算偏心后氣隙長度AB函數[19]

g(θ)=g0-εcos(θ-α)

(21)

假定轉子偏心前后定、轉子之間的磁位壓降不變，以此為依據可以得到轉子偏心前后磁感應強度之間的關系為

(22)

式中，g0、B0分別為平衡位置的工作氣隙大小和氣隙磁感應強度。

2.4 磁路和電磁力模型

假定定、轉子鐵心均未飽和，因此，轉軸、導磁環的導磁率恒定；定子鐵心的軸向漏磁阻相對氣隙磁阻較大，對磁路結果影響較小，因此，采用等效磁阻法計算以上部件的磁阻。根據2.1節、2.2節的分析結果，可得各氣隙在平衡、偏心狀態的等效磁阻R1x、R2x以及定子鐵心與外殼間的漏磁阻Rσ1、Rσ2，建立完整磁路模型，如圖7所示。

圖7 同極式磁軸承的磁路模型Fig.7 The magnetic circuit model of homopolar magnetic bearing

圖7中，R1x、R2x為工作氣隙等效磁阻，x=1、2、3、4，Rσ1、Rσ2為定子鐵心與外殼之間的漏磁阻，Rσ3為定子軸向之間的漏磁阻，Rf、Rs分別為轉軸、導磁環的等效磁阻。

定義漏磁系數為

(23)

式中，Φall為磁路總磁通；Φg為氣隙磁通(有效磁通)。

根據圖7，存在關系

Φall=Φg+Φσ1,2+Φσ3

(24)

其中，根據2.1節、2.2節的解析結果可得

Φg=∫BgdS

(25)

Φσ1,2=∫Bσ1,2dS

(26)

由于Φσ3對應的漏磁阻形狀相對規則，可采用等效磁路法計算。

同極式徑向磁軸承含有兩個獨立的定子鐵心，每個鐵心有相同的4個磁極，其電磁力可以歸算到兩個相互垂直的方向上，如圖1所示，x軸為水平，y軸為垂直。以水平方向為例，轉子鐵心在磁場中受到的力為

(27)

基于所建立的磁場解析模型和磁路模型獲得的氣隙磁場分布是離散的，對此采用數值計算轉子鐵心受到的電磁力為

(28)

式中，n為轉子外圓上取點數目；θi為θ在第i個點對應的角度大小。

3 有限元模型與解析模型對比

3.1 漏磁場

從圖2漏磁氣隙中點線位置取點，設定圖2的0點 和x軸對應漏磁磁感應強度的起點、橫軸，可得漏磁場在軸向的分布結果，如圖8所示。

圖8 漏磁場的徑向分量在軸向的分布Fig.8 The radial component of leakage field in axial position

由圖8可知，解析模型和有限元仿真結果吻合較好,二者之間僅在磁極邊緣位置存在一定的偏差，主要是由于有限元模型在導磁區域的邊緣出現少量趨膚效應所致。

計算漏磁系數與銅套厚度的關系，并與有限元仿真對比，如圖9所示。

圖 9 漏磁系數與銅套厚度的關系Fig.9 The relationship between the leakage coefficient and the thickness of copper

由圖9可知，漏磁系數在銅套厚度大于5mm后快速減小，大于10mm后趨于平穩，說明銅套的厚度應大于5mm；銅套小于5mm后的解析解與有限元解的差別變大，主要是解析法假設導磁外殼的磁導率無窮大，而實際上導磁外殼是普通鋼，相對磁導率在300～500之間，當銅套很薄時，外殼磁阻不可忽略。

在外殼不導磁(即銅套無窮厚)的情況下，解析和有限元求得的漏磁系數約為1.5，說明Rσ3及其他位置的漏磁也不可忽略。結合圖9，當銅套的厚度大于10 mm 時，漏磁系數為1.9，說明由導磁外殼導致的漏磁不再占主導，因此銅套的厚度設置為10 mm。

3.2 氣隙磁場

設定圖6中0點位置為工作氣隙磁通密度的0點，橫坐標為工作氣隙的中心線，圖11、圖12與之定義相同。永磁偏置氣隙磁場分布如圖10所示。

圖 10 永磁偏置氣隙磁場分布Fig.10 The flux density distribution of PM biased field

由圖10可知，采用保角變換的解析解與有限元解較吻合，僅在空間上存在輕微的錯位，這與保角變換本身有關。在實際取Bmax時，取w是一個較大的有限值，而不是無窮大，無法精確獲得Bmax與z的關系。

混合勵磁磁軸承的氣隙磁場由永磁偏置磁場和電勵磁控制磁場兩部分組成。進行電磁設計時一般保證避免鐵心飽和的情況出現，因此氣隙磁場解析結果可以由兩種勵磁形式的磁場解析結果線性疊加。由于電勵磁磁場的求解過程近似于偏置磁場，解析解和有限元解對比如圖11所示。

圖 11 電勵磁氣隙磁場分布Fig.11 The flux density distribution of electro-magnetic field

3.3 轉子偏心后的氣隙磁場

結合同極式磁軸承運行的實際情況，設置轉子偏心值為0.25 mm,根據磁軸承在x、y軸的對稱性，0°和45°是其偏心角度的邊界，計算兩種情況的氣隙磁場分布，并與有限元仿真結果對比，如圖12所示。

圖12 轉子偏心狀態的氣隙偏置磁場分布Fig.12 The PM biased field of air gap with eccentricity

4 同極式磁軸承樣機實驗

4.1 磁軸承樣機

為了保證電磁力與轉子位移和控制電流之間具有較好的線性特性，定、轉子鐵心在整個工作區間內應不發生飽和，最大磁感應強度取1.2 T，偏置磁通與最大磁通的比例設定為0.5，但由于定子鐵心與外殼之間存在漏磁場，實際的磁感應強度最大為1.05 T，偏置磁通與最大磁通的比值為0.43。表2給出了永磁偏置徑向磁軸承的電磁設計結果。

表2 徑向磁軸承的電磁參數

同極式永磁偏置徑向磁軸承樣機如圖13所示。

圖13 同極式徑向磁軸承樣機Fig.13 The prototype of radial magnetic bearing

4.2 磁軸承剛度實驗

本文搭建了百公斤級立式飛輪儲能轉子-支承系統以便進行徑向磁軸承的相關實驗并驗證提出的解析模型。完整的轉子-支承系統為五自由度磁懸浮支承，包括兩個徑向磁軸承和一個軸向磁軸承，系統結構如圖14 所示。

圖14 飛輪儲能轉子-支承系統實物圖Fig.14 The physical map of the flywheel rotor-support system

由于工作氣隙和隔磁層內的磁感應強度難以直接測量，只能間接測量轉子位移、控制電流和電磁力，因此通過實驗的方法測量磁軸承的電流剛度和位移剛度，并與解析解、有限元解對比。

測量電流-電磁力關系時，將力傳感器的信號取出，與電流信號一并輸入控制器，由于二者的信號是同步采集，因此可以直接或者借助器械施力到轉子上。力的方向需要保持水平，且與圖1磁軸承的x或y方向保持一致。施力位置為轉子上、下的兩個端部，獲得兩個力矩方程后解方程即可。

電流剛度的測試結果如圖15所示。

圖15 電磁力與控制電流之間的關系Fig.15 The relationship between the magnetic force and current

由圖15可知，實驗結果與解析模型、有限元仿真吻合較好，誤差在5%以內，說明電流剛度的計算模型、實驗方法正確。由于裝配工藝等因素造成的偏差，測量值略小于解析值。

利用控制系統使得轉子偏離中心位置，為了維持轉子的穩定懸浮狀態，控制系統將產生相應的電流。通過測試控制電流與轉子位移之間的關系，間接計算位移剛度。

徑向磁軸承轉子偏心平衡位置與控制電流之間的關系如圖16所示。

圖16 轉子偏心平衡位置與控制電流的關系Fig.16 The relationship between the eccentric position and control current

由圖16可知，實驗結果與解析解吻合的較好，證明了徑向磁軸承模型準確；解析模型在位移較大位置計算的控制電流相對于實驗、有限元結果偏大，這主要是由于解析模型中設置鐵心磁導率為無窮大，但實驗、有限元模型中鐵心的磁導率為有限值，易在局部發生飽和。

5 結論

1)采用傅里葉級數法求解隔磁層內的磁場分布，采用保角變換法求解漏磁場的邊緣效應，得到定子鐵心和外殼之間的漏磁場解析模型。

2)采用保角變換求解氣隙磁場，建立考慮轉子偏心、定子漏磁的完整磁路模型，基于該模型采用數值計算的方法計算轉子受力，建立徑向磁軸承的線性數學模型。

3)建立有限元仿真模型，將有限元解與解析解對比，二者之間的誤差較小。

4)對同極式徑向磁軸承進行了電磁設計，搭建了樣機及其控制系統，分別測量了電流剛度和位移剛度兩個重要參數，與解析解和有限元解對比，驗證了模型的準確性。

[1] 唐長亮，戴興建，王健，等. 20 kW/1 kWh飛輪儲能系統軸系動力學分析與試驗研究[J]. 振動與沖擊，2013，32(1)：38-42. Tang Changliang，Dai Xingjian，Wang Jian，et al. Shafting dynamic analysis and test for a 20 kW/l kWh flywheel energy storage system[J]. Journal of Vibration and Shock，2013，32(1)：38-42.

[2] 宗鳴，吳桐，王大朋. 高速電機用混合式徑向磁軸承前饋解耦控制[J]. 電工技術學報，2015，30(14)：539-544. Zong Ming，Wu Tong，Wang Dapeng. Feed-forward compensation decoupling control for hybrid radial magnetic bearing used in high speed electric machine[J]. Transactions of China Electrotechnical Society，2015，30(14)：539-544.

[3] Su Zhenzhong，Wang Dong，Chen Junquan，et a1. Improving operational performance of magnetically suspended flywheel with PM-biased magnetic bearings using adaptive resonant controller and nonlinear compensation method[J]. IEEE Transactions on Magnetics，2016，52(7)：8300304.

[4] Fang Jiancheng，Sun Jinji，Xu Yanliang，et a1．A new structure for permanent-magnet-biased axial hybrid magnetic bearings[J]．IEEE Transactions on Magnetics，2009，45(12)：5319-5325.

[5] 張維煜，朱煌秋，袁野. 磁懸浮軸承應用發展及關鍵技術綜述[J].電工技術學報，2015，30(12)：12-20. Zhang Weiyu，Zhu Huangqiu，Yuan Ye. Study on key technologies and applications of magnetic bearings[J]. Transactions of China Electrotechnical Society，2015，30(12)：12-20.

[6] Matsuzaki T，Takemoto M，Ogasawara S，et a1. A basic study of a novel homopolar type magnetic bearing unifying four C-shaped cores for high output and low loss[J]. IEEE Transaction on Magnetics，2015，51(11)：8114604.

[7] Ji Li，Xu Longxiang，Jin Chaowu. Research on a low power consumption six-pole heteropolar hybrid magnetic bearing[J]. IEEE Transactions on Magnetics，2013，49(8)：4918-4926.

[8] Hou Eryong，Liu Kun. A novel structure for low-loss radial hybrid magnetic bearings[J]. IEEE Transactions on Magnetics，2011，47(12)：4725-4733.

[9] Fang Jiancheng，Wang Xi，Wei Tong，et al. Homopolar 2-ploe radial permanent-magnet biased magnetic bearing with low rotating loss[J]. IEEE Transactions on Magnetics，2012，48(8)：2290-2303.

[10]董霞，劉志珍，寧大海，等. 基于傳輸線模型的三相變壓器直流偏磁仿真分析[J]. 電力系統保護與控制2013，40(23)：11-16. Dong Xia，Liu Zhizhen，Ning Dahai，et a1. Simulation study for the three-phase transformer under DC bias based on the transmission-line model[J]. Power System Protection and Control，2013，40(23)：11-16.

[11]梅磊，張廣明，王德明. 永磁偏置型徑向磁懸浮軸承參數設計方法研究[J]. 機械科學與技術，2013，32(13)：1859-1860. Mei Lei，Zhang Guangming，Wang Deming. Parameter design method of permanent magnet biased radial magnetic bearing[J]. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering，2013，32(13)：1859-1860.

[12]Sun Yanhua，Ho Yick-Sing，Yu Lie. Dynamic stiffnesses of active magnetic thrust bearing including eddy-current effects[J]. IEEE Transactions on Magnetics，2009，45(1)：139-149.

[13]Jin Ping，Fang Shuhua，Lin Heyun，et al. Analytical magnetic field analysis and prediction of cogging force and torque of a linear and rotary permanent magnet actuator[J]. IEEE Transactions on Magnetics，2011，47(10)：3004-3007.

[14]Wu L J，Zhu Z Q. Simplified analytical model and investigation of open-circuit AC winding loss of permanent-magnet machines[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics，2014，61(9)：4990-4999.

[15]Le Yun，Sun Jinji，Han Bangcheng. Modeling and design of 3-DOF magnetic bearing for high-speed motor including eddy current effects and leakage effects[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics，2016，63(6)：3656-3665.

[16]邱文祥，李大興，夏革非，等. 一種新型低成本飛輪儲能用永磁偏置磁軸承[J]. 電工技術學報，2015，30(1)：58-62. Qiu Wenxiang，Li Daxing，Xia Gefei，et al. A low cost permanent magnet biased bearing used in flywheel energy storage system[J]. Transactions of China Electrotechnical Society，2015，30(1)：58-62.

[17]Marth E，Jungmayr G，Amrhein W. A 2-D-based analytical method for calculating permanent magnetic ring bearings with arbitrary magnetization and its application to optimal bearing design[J]. IEEE Transactions on Magnetics，2014，50(5)：1-8.

[18]陳湞斐，夏長亮，王慧敏. 考慮齒槽效應的表貼式永磁電機空載磁場建模[J]. 電工技術學報，2014，29(5)：9-16. Chen Zhenfei，Xia Changliang，Wang Huimin. Modeling for open circuit magnetic field prediction in slotted surface-mounted permanent-magnet machine[J]. Transactions of China Electrotechnical Society，2014，29(5)：9-16.

[19]Wang Kang，Wang Dong，Shen Yang，et al. Subdomain method for permanent magnet biased homo-polar radial magnetic bearing[J].IEEE Transactions on Magnetics，2016，52(7)：1-1.

(編輯 于玲玲)

Leakage Magnetic Field and Precise Magnetic Circuit Model of the Permanent Magnetic Biased Radial Magnetic Bearing

WuLeitaoWangDongSuZhenzhongZhangXianbiaoWangKang

(National Key Laboratory of Science and Technology on Vessel Integrated Power System Naval University of Engineering Wuhan 430033 China)

The stator core of the classical permanent magnetic biased radial magnetic bearing(PMRMB)could produce magnetic flux leakage with the shell easily. Because of the larger area compared with air-gap in this location，the leakage magnetic field can′t be ignored even there is magnetism-insulator embedded in it. The paper get the flux density distribution in the stator and the shell with the Laplace equation，then the conformal transform method is applied to obtain the flux density distribution in the air-gap generated by permanent magnet and electro-magnet，the complete magnetic circuit model is established. The proposed magnetic circuit model proved to be effective to calculate the electromagnetic parameters in operation range by 3D finite element analyses(FEA). The PRMB is designed based on the demand of the flywheel energy storage system. A prototype PRMB is manufactured with its control system，and the effectiveness of the proposed magnetic circuit model and 3D FEA is validated by the test results.

Magnetic bearing，analytical model，leakage magnetic field，magnetic circuit model，linear model

國家自然科學基金項目(51137005，51407192)和國家自然科學重點基礎研究發展計劃(973計劃)項目(2013CB035601)資助。

2016-04-12 改稿日期2016-07-12

TM315

吳磊濤 男，1988年生，博士研究生，研究方向為磁軸承基礎技術。

E-mail：2008wuleitao@163.com

王 東 男，1978年生，教授，博士生導師，研究方向為電力推進、集成發電。

E-mail：wangdongl@vip.sina.com(通信作者)