淺談兩個(gè)重要極限的應(yīng)用型教學(xué)

□孫芳菲

（陜西國(guó)際商貿(mào)學(xué)院 陜西 咸陽(yáng) 712046）

淺談兩個(gè)重要極限的應(yīng)用型教學(xué)

□孫芳菲

（陜西國(guó)際商貿(mào)學(xué)院 陜西 咸陽(yáng) 712046）

兩個(gè)重要極限在高等數(shù)學(xué)中占著非常重要的位置，不僅是函數(shù)求極限的一種方法，而且它的應(yīng)用思想——湊形式，在以后的教學(xué)中將會(huì)被廣泛應(yīng)用。本文主要講述這兩個(gè)重要極限的推廣型與應(yīng)用性，對(duì)于第一個(gè)極限的應(yīng)用（型）在湊形式時(shí)要保證變量的一致性和變量趨于零，對(duì)于第二個(gè)極限的應(yīng)用（1∞型）在湊形式時(shí)要抓兩點(diǎn)“：1+”和“互倒”。

重要極限；湊形式；型；1∞型

1 第一個(gè)重要極限

此極限公式的推導(dǎo)依據(jù)是應(yīng)用極限存在第一準(zhǔn)則——夾逼準(zhǔn)則，各類高等數(shù)學(xué)教材上對(duì)于此推導(dǎo)過(guò)程都有詳細(xì)的講解[1]，故此處不再詳述。不過(guò)，在此推導(dǎo)過(guò)程中出現(xiàn)的相對(duì)重要的幾個(gè)性質(zhì)應(yīng)不容忽視。分別是：

而在本篇文章里，主要是詳細(xì)解說(shuō)一下此極限公式的推廣與應(yīng)用。

1.1 形式的推廣

從上例中不難看出，如果分子中三角函數(shù)sin后面的變量形式u(x)與分母的變量形式一致且u(x)→0，可采用變量代換思想轉(zhuǎn)化為第一個(gè)重要極限從而求出其結(jié)果，即極限形式的推廣形為：

上述推廣形中一定要保證兩點(diǎn)：u(x)的形式一致性、u(x)→0，尤其是最后一個(gè)，是一些學(xué)生容易忽略的。

1.2 形式的應(yīng)用

分析：x→0時(shí)x2→0，cosx→1,1-cosx→0，故為型且含有三角函數(shù)，因此不妨應(yīng)用半角公式轉(zhuǎn)化為正弦類型，再湊推廣形。

2 第二個(gè)重要極限

同樣，此極限的推導(dǎo)依據(jù)是極限存在準(zhǔn)則——單調(diào)有界準(zhǔn)則[1]，這里也同樣不再詳述，我們主要關(guān)注此極限公式的推廣與應(yīng)用。

2.1 形式的推廣

首先，不難看出此極限類型：底數(shù)為1+無(wú)窮小量，冪次部分為無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱1∞型。且底數(shù)形式中有“1+”，“1+”后的變量與冪次變量“互倒”，抓住這三點(diǎn)，就不難得出其推廣形式。其推廣形的抽象概括形式為：

在這里，學(xué)生易把此極限類型與其他相似型（如(1+無(wú)窮小量）α型）混淆，從而得出結(jié)果為1的錯(cuò)誤答案，例如（α為任意常數(shù)）。總之，對(duì)此類極限一定要注意其型，然后根據(jù)相應(yīng)的型來(lái)解決。

2.2 形式的應(yīng)用

分析：為1∞型，在構(gòu)造推廣形時(shí)抓兩點(diǎn)：“1+”與“互倒”。

從上面兩個(gè)例子中可以看出，一旦湊出底數(shù)的“1+”和冪次部分滿足與底數(shù)“1+”后面部分互為倒數(shù)，那么此種形式的極限值一定存在，且為自然對(duì)數(shù)e。而且不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)例子中最后湊出的最外部?jī)绱尾糠譃槌?shù)，利用極限的四則運(yùn)算就可得到結(jié)果。

但是，在實(shí)際應(yīng)用中，不乏會(huì)出現(xiàn)最外部?jī)绱尾糠譃楹瘮?shù)的形式，此時(shí)應(yīng)該怎么辦呢？這里，由函數(shù)的連續(xù)性我們可得到如下定理：

定理[1]：對(duì)于形如u(x)v(x)(u(x)>0,u(x)≠1)的函數(shù)（通常稱為冪指函數(shù)），在同一自變量變化過(guò)程中，如果有

通俗來(lái)說(shuō)，對(duì)冪指函數(shù)求極限，就是對(duì)底數(shù)和冪次分別求極限。但要注意底數(shù)的極限值必須大于零。

總之，無(wú)論什么樣的形式，只要抓住三點(diǎn)，首先判定是1∞型，在應(yīng)用第二個(gè)重要極限構(gòu)造湊形式時(shí)一定要保證底數(shù)部分的“1+”以及冪次和“1+”后面量的“互倒”，然后應(yīng)用冪指函數(shù)求極限或者冪次函數(shù)求極限，那么問(wèn)題就迎刃而解了。

對(duì)于兩個(gè)重要極限的應(yīng)用，湊形式是很有用的方法，不僅在本文這里，在后面導(dǎo)數(shù)的求解、積分的求解中應(yīng)用性都非常廣泛。對(duì)于型且含三角類型的，要保證變量一致性和變量趨于零，對(duì)于1∞型，要保證底數(shù)“1+”和底數(shù)和冪次變量“互倒”。

1004-7026（2017）08-0114-02

O13;G642

A

10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2017.08.089