淺談兩個重要極限的應用型教學

□孫芳菲

（陜西國際商貿學院 陜西 咸陽 712046）

淺談兩個重要極限的應用型教學

□孫芳菲

（陜西國際商貿學院 陜西 咸陽 712046）

兩個重要極限在高等數學中占著非常重要的位置，不僅是函數求極限的一種方法，而且它的應用思想——湊形式，在以后的教學中將會被廣泛應用。本文主要講述這兩個重要極限的推廣型與應用性，對于第一個極限的應用（型）在湊形式時要保證變量的一致性和變量趨于零，對于第二個極限的應用（1∞型）在湊形式時要抓兩點“：1+”和“互倒”。

重要極限；湊形式；型；1∞型

1 第一個重要極限

此極限公式的推導依據是應用極限存在第一準則——夾逼準則，各類高等數學教材上對于此推導過程都有詳細的講解[1]，故此處不再詳述。不過，在此推導過程中出現的相對重要的幾個性質應不容忽視。分別是：

而在本篇文章里，主要是詳細解說一下此極限公式的推廣與應用。

1.1 形式的推廣

從上例中不難看出，如果分子中三角函數sin后面的變量形式u(x)與分母的變量形式一致且u(x)→0，可采用變量代換思想轉化為第一個重要極限從而求出其結果，即極限形式的推廣形為：

上述推廣形中一定要保證兩點：u(x)的形式一致性、u(x)→0，尤其是最后一個，是一些學生容易忽略的。

1.2 形式的應用

分析：x→0時x2→0，cosx→1,1-cosx→0，故為型且含有三角函數，因此不妨應用半角公式轉化為正弦類型，再湊推廣形。

2 第二個重要極限

同樣，此極限的推導依據是極限存在準則——單調有界準則[1]，這里也同樣不再詳述，我們主要關注此極限公式的推廣與應用。

2.1 形式的推廣

首先，不難看出此極限類型：底數為1+無窮小量，冪次部分為無窮大量，簡稱1∞型。且底數形式中有“1+”，“1+”后的變量與冪次變量“互倒”，抓住這三點，就不難得出其推廣形式。其推廣形的抽象概括形式為：

在這里，學生易把此極限類型與其他相似型（如(1+無窮小量）α型）混淆，從而得出結果為1的錯誤答案，例如（α為任意常數）。總之，對此類極限一定要注意其型，然后根據相應的型來解決。

2.2 形式的應用

分析：為1∞型，在構造推廣形時抓兩點：“1+”與“互倒”。

從上面兩個例子中可以看出，一旦湊出底數的“1+”和冪次部分滿足與底數“1+”后面部分互為倒數，那么此種形式的極限值一定存在，且為自然對數e。而且不難發現，兩個例子中最后湊出的最外部冪次部分為常數，利用極限的四則運算就可得到結果。

但是，在實際應用中，不乏會出現最外部冪次部分為函數的形式，此時應該怎么辦呢？這里，由函數的連續性我們可得到如下定理：

定理[1]：對于形如u(x)v(x)(u(x)>0,u(x)≠1)的函數（通常稱為冪指函數），在同一自變量變化過程中，如果有

通俗來說，對冪指函數求極限，就是對底數和冪次分別求極限。但要注意底數的極限值必須大于零。

總之，無論什么樣的形式，只要抓住三點，首先判定是1∞型，在應用第二個重要極限構造湊形式時一定要保證底數部分的“1+”以及冪次和“1+”后面量的“互倒”，然后應用冪指函數求極限或者冪次函數求極限，那么問題就迎刃而解了。

對于兩個重要極限的應用，湊形式是很有用的方法，不僅在本文這里，在后面導數的求解、積分的求解中應用性都非常廣泛。對于型且含三角類型的，要保證變量一致性和變量趨于零，對于1∞型，要保證底數“1+”和底數和冪次變量“互倒”。

1004-7026（2017）08-0114-02

O13;G642

A

10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2017.08.089