再現真實過程重在思維提升
——“函數（第1課時）”教學設計與思考

張偉俊

再現真實過程重在思維提升
——“函數（第1課時）”教學設計與思考

張偉俊

一、教材分析

函數是中學數學最重要的基本概念之一，是在數、式、方程、不等式、平面直角坐標系等內容的基礎上展開的，同時也是學生后繼學習一次函數、反比例函數、二次函數等內容的基礎。

二、學情分析

八年級學生看問題往往是局部的、靜止的，不善于把抽象概念與具體事例聯系起來。學生之前學的都是常量數學，研究對象多為孤立的、靜止的，引入變量給函數下定義，顯得抽象、復雜，因此，本課的教學應重視通過大量實例，在引導學生認識事物變化的過程中有效地滲透、逐步地揭示函數的本質特征。

三、教學目標

了解常量、變量的意義和函數的概念，能舉出函數的實例；經歷從具體實例抽象出函數概念的過程，體會“變化”與“對應”的數學思想，會判斷函數關系；在探索函數概念的過程中，體會數學的應用價值和事物之間相互聯系并不斷運動、變化、發展的哲學思想。

四、教學重、難點

重點：了解函數的概念和自變量的意義，會判斷函數關系；難點：從具體實例中抽象出函數的本質，理解“對應關系”。

五、教學過程

1.創設問題情境，明確研究方向。

引例1《名偵探柯南》中有這樣一個情境：柯南根據案發現場的腳印，鎖定疑犯的身高。你知道其中的道理嗎？

引例2北京時間2013年6月13日13時18分，天宮一號目標飛行器與神舟十號飛船成功實現自動交會對接。天宮一號目標飛行器與神舟十號飛船為什么能實現自動交會對接呢？

設計意圖：從生活實際出發，讓學生意識到研究“變量”的必要性和重要性。同時有意識地指明“從簡單到復雜”的研究思路，激發學生的探究興趣。

2.初步感受變化，引入變量概念。

實例1電影院以20元每張的票價出售電影票，在售票的過程中，涉及哪些量？其中，哪些量沒有變化？哪些量不斷變化？

實例2一輛列車勻速從常州駛向南京，在這個運動的過程中，涉及哪些量？其中，哪些量沒有變化？哪些量不斷變化？

設計意圖：引導學生初步感受生活中的變化，體會不變的量和變化的量，引進常量和變量的概念。

3.探究變化規律，提煉函數模型。

實例3新中國成立以來，我國已經進行了六次人口普查。下表是我國六次人口普查的人口數統計表。

（1）在這一變化過程中，有幾個變量？（2）1953年，中國人口數為多少？2010年，中國人口數為多少？（3）在這一變化過程中，變量之間有怎樣的依存關系？

實例4在一根彈簧的下端懸掛重物，在彈簧的彈性限度內，每1kg重物使彈簧伸長0.5cm。彈簧原長10cm，設重物質量為mkg,受力后的彈簧長度為lcm。

（1）在這一變化過程中，有幾個變量？（2）你能用m表示l嗎？當m=1時，l為多少？當m=3時，l為多少？（3）在這一變化過程中，變量之間有怎樣的依存關系？

實例5某地一天的氣溫變化如下圖。

（1）在這一變化過程中，有幾個變量？（2）任意給出某一時刻t，你能說出這一時刻的氣溫T嗎？（3）在這一變化過程中，變量之間有怎樣的依存關系？

思考：上述的3個變化過程有什么共同點？

先小組交流，再大班展示，最后師生共同總結出3個要點：1個變化過程、2個相關變量、單值對應關系。

設計意圖：借助表格、表達式、圖像這3種形式的典型實例，引導學生體會“在每個變化過程中，兩個變量之間的單值對應關系”，為提煉函數概念做好準備。

4.界定函數概念，剖析函數表述。

教師首先規范表達函數定義，讓學生嘗試復述，緊扣“關鍵詞”，引導學生真正理解兩個變量間的單值對應關系。然后，舉例說明函數概念：

（1）在一個變化過程中，變量x、y之間滿足y=x2。①y是x的函數嗎？為什么？②x是y的函數嗎？為什么？

（2）小明說：“正方體的棱長為a，正方形的體積v是a的函數。”小亮說：“長方體的長為a，寬為b，高為4，長方形的體積v是a的函數。”他們說得正確嗎？為什么？仿照范例，自己編一個表示函數關系的實例。（學生先獨立完成，再小組交流，最后展示。）

設計意圖：在提煉實例共同點的基礎上，引進函數模型，并通過從正反兩方面舉例的方式引導學生初步理解函數的概念。

5.介紹函數歷史，促進理解函數。

教師向學生介紹“函數”一詞的來源。

設計意圖：促進學生對函數概念的理解，激發學生的研究興趣。

6.精心剖析例題，鞏固函數概念。

例1用一根1m長的鐵絲圍成一個長方形。（1）當長方形的寬為0.1m時，長為多少？（2）當長方形的寬為0.2m時，長為多少？（3）當長方形的寬為am時，長為多少？（4）長方形的長y(m)是寬x(m)的函數嗎？為什么？

例2根據表格中的信息，回答問題。

x y x y 1 2 3 4 5 6 7 1.0 8 1.5 1.0 9 1.5 1.0 10 1.8 1.0 11 2.0 1.2 12 2.0 1.2 13 2.5 1.5 14 2.5

其中，x表示乘公交車的站數（站），y表示相應的票價（元）。（1）y是x的函數嗎?為什么？（2）x是y的函數嗎?為什么？

變式：在國內投寄平信應付郵資如下表。

4 0＜m≤6 0 1 . 6 0信件質量m郵資y 0＜m≤2 0 0 . 8 0 2 0＜m≤4 0 1 . 2 0

郵資y（元）是信件質量m（克）的函數嗎?為什么？

例3（延伸拓展）在下列表示關于y與x的對應關系的圖像中，哪些可以看成y是x的函數？

設計意圖：通過對典型例題的精心剖析，在表達式、表格、圖像等3種不同的背景下，引導學生判斷函數關系，內化對函數概念的理解。

7.課堂回顧總結，暢談學習感悟。

8.分層布置作業，促進分層提高。

六、教學反思

面對抽象的數學概念，我的教學主張是要關注概念的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式，讓概念教學成為過程教學，而不是告知式的結果教學。因此，本節課以大量的生活實例為素材，按照“問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展”的模式展開，充分展現了函數概念的形成與應用過程，并努力在函數概念引入、形成、表述、解釋、應用的過程中，讓學生了解函數模型、體會數學思想、感受數學文化。

1.目標的呈現，彰顯現實需要。

通過對柯南破案和太空之“吻”兩個實例的分析，引導學生體會研究變量之間關系的必要性，并類比方程的研究思路，明確運用“從簡單到復雜”的思路研究變量之間的關系。

2.概念的引入，凸顯共同屬性。

從具體情境到數學知識的形式化，需要教師為學生搭建合適的“腳手架”，提出能引發學生思考的問題。在具體情境的探究過程中，我通過問題串的形式，讓學生的思維不斷聚焦并逐步意識到，從宏觀上看，探究的總體框架是1個變化過程、2個相關變量、1種對應關系；從微觀上看，在認識常量和變量后，集中精力探究兩個變量之間的關系——單值對應關系。概念的形成是一個積累、漸進的過程，在這樣一種指向明確的探究過程中，學生不斷地思考提煉，有利于讓概念成為學生主動思維的結果。

3.概念的形成，體現親切自然。

學生從大量的同類事物的不同例證中，抽象出兩個變量之間關系的“共同屬性”后，為了表示這樣的“兩個變量間的單值對應關系”，很自然地就引進了一個新的數學模型“函數”。這樣的概念不是教師講出來的，而是靠學生自己去感悟、體驗出來的，顯得親切自然。

4.概念的理解，抓住關鍵字詞。

函數概念是一個比較抽象的概念，學生理解有困難。在教學中，引導學生抓住“每一個值”“唯一的值”“對應”等關鍵詞，再結合數學史、具體實例進行解讀，能收到化難為易的效果。

5.概念的應用，回歸本質理解。

學習函數概念的根本目的是讓學生用函數的觀點認識生活中變化的事物，能識別具體情境中的函數關系。在函數概念的應用環節，通過大量的正反例和變式訓練，反復讓學生進行分析、比較、鑒別、歸納，揭示函數概念的本質，加深學生對函數概念的理解。

在這節課的教學中，我試圖從“追求思路自然、再現真實過程”和“立足方法引領、重在思維提升”兩個方面立意，力爭讓每一個學生在掌握知識技能的同時，學習興趣得到提升，研究方法得到優化，數學思維得到發展。