借助平面直角坐標系實現線段長度的計算轉化

摘 要：借助平面直角坐標系，將線段長度的求法分為兩類：一是平行于坐標軸，二是不平行于坐標軸；在初中學段不允許應用兩點間坐標公式的前提下，通過數形結合、化歸思想及類比思想，較好解決線段長度的求法應用問題。

關鍵詞：求線段長度；平面直角坐標系；數形結合；化歸思想；類比思想

授人以魚不如授人以漁，在數學教育教學中，作為老師，更加應該教授給學生的是數學的魅力，而魅力之處就是數學思想方法。初中學段，要求不允許使用兩點間坐標公式，所以我們借助平面直角坐標系，將線段的位置關系作為分類標準，分為兩類，通過幾何的構造與代數結合，從而解決線段長度的求法問題。

一、數形結合建系求線段長

一般地，我們需要知道一條線段的長度，可以采用兩種基本的方法，一是通過生活經驗進行對比、丈量、估值；二是通過直尺等工具進行丈量。在數學計算中，如果遇到動點問題或者是有條件缺失的情況下，特別在初中學段的很多二次函數動點題中，則更加需要掌握利用數形結合的方法解決此問題了。

數形結合就是建立在數形優勢互補基礎上，抓住數與形之間本質上的聯系，以“形”直觀地表達數，以“數”精確地研究形的思想方法，其實質就是講問題抽象的數量關系與直觀的圖形結構結合起來進行考慮，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路的一種思想；具體而言，就是根據問題的具體情況，把具有直觀形式的圖形性質的問題轉化為具有算法性質的數量關系的問題，通過代數方法分析數量關系來探討、論證、揭示直觀圖形的性質，從而使抽象思維和形象思維結合起來，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，使問題得到解決。

建立平面直角坐標系，由于在平面直角坐標系中，每一個位置都可以用一對有序數對進行表達，即一個點的坐標（橫坐標、縱坐標），從而實現線段的長度代數化。在一個平面直角坐標系中，有無數條線段，。不難發現，所有的線段可以被分為兩大類，第一是平行于坐標軸，第二是不平行于坐標軸。由于一條線段有兩個端點，將線段放入平面直角坐標系后，這兩個端點就是兩個點，存在著這兩個端點各自的橫坐標、縱坐標；由此便實現線段的長度代數化的轉化。

分析：運用類比的思想方法。類比是一種間接推理的方法，也是一種科學研究的方法。類比是通過兩類不同對象A、B間的某些屬性的相似，而從A具有某種其他屬性便猜想B也是這種屬性。所以，黨線段AB平行于y軸時，其長度為兩點縱坐標之差，為滿足非負數的線段長度，故“上—下”。

二、化歸思想探究轉化

第二類：線段的位置關系——不平行于坐標軸

笛卡爾說過：“任何一個幾何問題都很容易化歸為用一些術語來表示，使得只要知道直線段的長度的有關知識，就足以完成它的作圖?！薄盎瘹w”是“轉化和歸結”的簡稱。化歸方法是數學問題解決的一般方法，其基本思想是：把待解決的問題，通過某種轉化手段，歸結為易解決的另一個或一些問題，通過后者問題的解決，而獲得原問題的解決。

顯然，當線段與坐標軸平行時，我們很容易可以通過分析得到線段長度的代數坐標計算表達，可以當不平行時，情況就較為復雜啦。要考慮的問題就有許多，不平行，傾斜程度如何，有沒有什么特殊點可以構造等。所以采用化歸思想，把不平行的位置關系想辦法轉為第一類平行時的位置關系即可。

總結，所線段AB不平行于坐標軸，則它的線段長度的代數表達仍然只有線段的兩端點坐標有關系，由此解決問題。

從數學教學角度講，一堂課往往新就新在思維過程上，高就高在思想性上，好就好在學生參與活動的深度和廣度上。有思想深度的課，給學生留下長久的心靈激蕩和對知識的深刻理解，以后即使具體的知識忘了，但數學地思考問題的方法將長存，這樣的數學教學才具有真正的實效和長效，真正能提高人的數學素養。

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作者簡介：楊周榮麟，云南師范大學實驗中學數學中職教師。從教以來擔任班主任和數學教學工作，所帶班級榮獲“2015～16學年昆明市級先進班集體光榮稱號”；多次獲“優秀班主任”、“先進教育工作者”稱號；所教班級成績優異，數學成績經常年級第一、第二，優秀率較高，所教學生喜愛數學。曾獲全國師范大學講課比賽二等獎；云南師大講課比賽特等獎、實驗現場教案設計一等獎、課件制作一等獎等。