“想當然”致錯分析

黃香娥

摘要：在數學解題過程中學生往往出現“會而不對，會而不全”的情況，究其原因，大多是想當然所致。只有透徹理解數學概念，耐心審題，看清題目要求，充分用上題設包含隱含條件，注意對結果進行必要的檢驗，才能避免“想當然”。

關鍵詞：想當然；數學概念； 隱含條件； 范圍的界定

數學解題時做錯了是很常見的，原因也很多.有一類錯誤卻純屬“想當然”所致.往往題目做出來了，滿以為絕對正確，卻偏偏錯了。避免這樣的錯誤，除了做事不能主觀、簡單化以外，也有不少發人深省的地方。由于有些解法太似是而非，題目又好像比較簡單，很仔細的人出錯也在所難免。本文結合自己的教學實踐和體會，通過聆聽、分析學生的錯題講解，對他們在解題過程中出現的“想當然”進行分析，借此激發問題意識，促進他們的認知，強化他們對錯誤根源的認識，增強他們的認知免疫力。

一、對概念、性質的理解出現偏差導致想當然

中學數學中的有些概念，教材往往以定義的形式直接給出，這些定義或符號看似比較簡單，但真正遷移運用起來比較困難.如函數的定義域教材是先給出函數的定義，緊接就拋出函數的定義域：……記作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域.根據此定義，學生很快就記住了函數y=f（x）的定義域就是自變量x的取值范圍，也就快速且準確的求出形如f（x）=x，f（x）=1x，f（x）=1log2（x2-2x+2）等的定義域，但當我們給出求抽象函數定義域時，就有一部分同學對定義域的理解出現偏差。

案例1 ：設函數f（2x-1）的定義域為[3，9），則f（x+1）的定義域是（ ）。

A.[2，8） B.[3，6） C.[4，16） D[2，4）

學生出現最多的錯誤解法：2x-1∈[3，9）x∈[2，5）x+1∈[3，6）.，選（B）.為了糾正同學對定義域的理解出現的偏差，可以從學生最近認知發展區出發，通過把題目分解進行講解，加深他們的理解，同時學會遷移應用。

已知f（x）=x，求①f（x）的定義域；②f（x+1）及f（x+1）的定義域；

③f（x-1）及f（x-1）的定義域。

分析：①f（x）=x，x≥0，

②f（x+1）=x+1，x+1≥0，x≥-1，③f（x-1）=x-1，x-1≥0，x≥1 。

在這兒，f（x+1），f（x），f（x-1）中的x+1，x及x-1是等價的，這樣學生就能遷移到①已知f（x）的定義域是[0，+∞），求f（x+1）的定義域，②已知f（x+1）的定義域是[0，+∞），求f（x）的定義域兩個問題上，因此對于案例1中的問題就會迎刃而解：把2x-1看成整體x1，x+1看成整體x2，這樣在f（x1），f（x），f（x2），x1，x，x2是等價的，但x1中的x，x2中的x各不相同.∴x∈[3，9）2x-1∈[5，17），x+1∈[5，17），∴x∈[4，16） ∴選（C）。

案例2：為了得到y=sin（2x+π4）的圖像，只需將y=sin2x的圖像（）。

A.左移π4 B.右移π4 C.左移π8 D.右移π8

錯解：（A）。學生都能記住在圖像的平移變換中遵循左加右減的規律，但沒有真正的理解.在學習 函數y=Asin（ωx+Ф）（A>0， ω>0）的圖像時，好多教師都是先設置與圖像有關系的問題，運用幾何畫板、多媒體力圖向學生演示圖像，然后讓學生通過觀察，從特殊的、個別的屬性，歸納得出由函數y=sinx到函數y=sin（ωx+Ф）（ ω>0）的圖像的兩種不同變換途徑：①先平移后伸縮②先伸縮后平移.如果是①則先向左（Ф>0）或向右（Ф<0），再變化ω，如果是②則先變化ω，再平移，平移的值為向左（Ф/ω）或向右（-Ф/ω）.在變換②中，學生對于平移的值Ф/ω或-Ф/ω就是靠從幾個特殊的、個別的圖像的變化猜測得到的，有點似懂非懂的感覺，時間久了，就想當然的得出上面的錯解。為了使同學們更好的理解變換②的情況，我利用同學們初中都很熟知的圖形在坐標系中的平移進行講解：

P（x-t，y）向左平移t個單位P（x，y）向右平移t個單位P（x+t，y）

設p（x0，y0）是函數y=sinωx的圖像上任一點，當Ф>0時，設點P向左平移t個單位得到點Q（x，y）即函數y=sin（ωx+Ф）（ ω>0）上的點，則x=x0-ty=y0 x0=x+ty0=y 因為p（x0，y0）在函數y=sinωx的圖像上，所以y0=sinωx0即y=sinω（x+t）=sin（ωx+ωt）=sin（ωx+Ф），所以ωt=Ф，t=Ф/ω。這樣同學們對于圖像平移過程中的左加右減的平移量就有了更深的理解，也就避免了想當然的錯解。

二、對范圍的對應、界定及處理出現偏差導致想當然.

案例3 ：集合A={y|y=x2-4x+3，x∈Z}，B={y|y=-x2-x+3，x∈Z}，求A∩B。錯解：對于A：y=（x-2）2-1，y≥-1；對于B：y=-（x+12）2+314，y≤314，y∈Z，所以y≤3，所以A∩B=-1，0，1，2，3。

分析：過程似乎無懈可擊，解也注意整數集了，何以不對呢？問題在于，由x∈Z=>

y∈Z，還必須檢驗y∈Z=>x∈Z是否成立，可以通過列表解決：y=-10123x1∈Z√√XX√X2∈ZXX√X√所以，A∩B={3}。

案例4 ：已知實數x，y滿足4≤x+y≤6①，2≤x-y≤4②，求2 x+y的 取值范圍。

這道題是高三（文科班）剛開始復習不等式時布置的限時訓練題，當時好多同學都做錯了，出現最多的是以下兩種錯解：

錯解1：由①+②得6≤2x≤10 ③ ，由①+②×（-1） 得0≤y≤2 ④，endprint

由③+④得6≤ 2x+y≤12 。

錯解2：由①+②得3≤x≤5 ⑤，由①+⑤得7≤ 2x+y≤11。他們的思路很簡單，也是他們最易想到的：要求2x+y的范圍，只需把x，y的范圍求出來，再根據不等式的性質就可求出.殊不知在這些求解過程中已改變了2x+y的范圍.在錯解1中，同學們把x，y滿足4≤x+y≤6 ①，2≤x-y≤4 ②轉化為x，y滿足3≤x≤5和0≤y≤2，在錯解2中，盡管解法的最后結果是正確的，但這種解法卻是錯誤的，結果正確只是碰巧而已，同學們把x，y滿足4≤x+y≤6①，2≤x-y≤4②轉化為x，y滿足3≤x≤5和4≤x+y≤6，這么一轉化，x，y滿足的條件也隨著改變，即不等式組4≤x+y≤62≤x-y≤4， 3≤x≤50≤y≤2， 3≤x≤54≤x+y≤6 所表示的平面區域也就不同了，從而就改變了2x+y的范圍。這樣一分析，同學們知道了這一題的關鍵是x+y、x-y都是一個整體，不能把他們分開，他們是互相聯系、互相制約的，就很自然的與線性規劃問題聯系起來。

三、忽視題中的隱含條件導致想當然

案例5： （1）ΔABC中，已知cosA=513，sinB=35，則cosC的值為（）

A.1665 B.5665 C.1665或5665 D-1665錯解：∵cosA=513，∴sinA1213，∵sinB=35，∴cosB=±45，當cosB=45時，cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）=…1665，當cosB=-45時，cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）=…=5665，∴選（C）。分析：這種解法由于忽略了A+B+C=π這一條件，致使計算結果出現錯誤。正解：∵0cosA=51322，∴sinA=1213，且π4Aπ2，∵0sinB=3522，∴0Bπ4或3π4Bπ，又∵A+B+C=π，∴0Bπ4，∴cosB=45，∴cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）=…=1665，∴選（A）。（2）已知方程x2+4ax+3a+1=0（a為大于的常數）的兩根為tanα，tanβ，且α，β∈（-π2，π，2），則tanα+β2的值是---錯解：∵tanα，tanβ是方程x2+4ax+3a+1=0的兩個根，∴tanα+tanβ=-4a，tanαtanβ=3a+1，由tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-4a1-（3a+1）=43，可得tanα+β2=±2。錯因：忽略隱含條件tanα，tanβ是方程x2+4ax+3a+1=0的兩個負根導致錯誤。正解：∵a0，∴tanα+tanβ=-4a0，tanα.tanβ=3a+10，∴tanα，tanβ是方程x2+4ax+3a+1=0的兩個負根，又α，β∈（-π2，π，2），∴α，β∈（-π2，0）即α+β2∈（-π2，0），由tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-4a1-（3a+1）=43可得tanα+β2=-2。

案例6 ：設橢圓中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e=32，已知點P（0，32）到這個橢圓上的距離是7，求這個橢圓方程。錯解：由已知得a=2b，則d2=x2+（y-32）2=a2（1-y2b2）+y2-3y+94=-3（y+12）2+4b2+3，所以當y=-12時，d2有最大值，從而d也有最大值。所以4b2+3=（7）2，由此得b2=1，a2=4，于是所求橢圓的方程為x24+y2=1。

錯因：盡管上面解法的最后結果是正確的，但這種解法確是錯誤的，結果正確只是碰巧而已。由當y=-12時，d2有最大值，這步推理是錯誤的，沒有考慮到y的取值范圍。事實上，由x2a2+y2b2=1得x2=a2（1-y2b2）≥0，則-b≤y≤b或點（x，y）在橢圓上，有-b≤y≤b因此在求d2的最大值時，應分類討論。正解：若b12，則當y=-b時，d2（從而d）有最大值，于是（7）2=（b+32）2，從而解得b=7-3212，與b12矛盾所以必有b≥12，此時當y=-12時，d2（從而d）有最大值所以4b2+3=（7）2，解得b2=1，a2=4，于是橢圓方程為x24+y2=1。 因此，在解題過程中要注意審題，不僅能從表面形式上發現特點，而且還能從已知條件中發現其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，又要注意次要條件，甚至有些問題的觀察要從相應的圖像著手，這樣才能正確地解題。

四、對一些數學概念、性質、解題方法、某一類型等過于熟悉而導致的想當然

案例7：（1）單位向量，，滿足⊥且（-）（-）≤0，則+-的最大值為（）A.2-1 B.1 C.2 D.2

這是浙江省普通高中學業水平考試導引（2014級適用）綜合練習一中的最后一道選擇題，導引中答案是（C），這答案是錯的，其實正確答案是（B）。檢查了班級同學對此題的掌握情況，好多同學不會做，會做的同學大多又做錯了（選C）。究其原因是他們對于這類題型目及解題的方法太過熟悉導致想當然.這些同學很好的運用向量加法、減法的幾何意義來做：記OA=，OB=，OC=，由（-）（-）≤0知點C在以AB為直徑的圓上或園內，而+-表示圓上及圓內點C與D（OD=+）的距離，進一步轉化到圓心與D的距離，可惜這些同學一激動忘掉題中的向量c是單位向量這一條件，從而得出錯誤答案。+-max=d+r=22+22=2， 若同學稍仔細點會發現，因為向量c是單位向量，所以點C的軌跡是單位圓夾在以AB為直徑的圓中的一段弧，即單位圓中的弧AB，所以+-max=DA=DB=1。

（2）已知正實數x，y滿足xy+2x+y=6，求x+y的最小值

錯解：2x+y≥22xy6≥xy+22xy0xy≤2x+y≥2xy≥22

x+y的最小值為22，大多數同學反映，當一看到是求最值問題，最先想到的是基本不等式，而x+y，xy，2x+y又都可以通過不等式聯系起來，這樣就想當然的運用基本不等式求最值從而出現上述錯解。一是沒注意到兩次運用不等式時等號取到的條件不同，二是在0xy≤2x+y≥2xy≥22中出現推理錯誤。

（3）已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的實軸端點分別為A1，，A2，記雙曲線的其中一個焦點為F，一個虛軸端點為B，若在線段BF上（不含端點）有且僅有兩個不同的點Pi（i=1，2），使得∠A1PiA2=π2，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（ ）。

A.（2，5+12） B（2，6+12） C（1，5+12） D（5+12，+∞）

好多同學很快就想到利用化歸、數形結合的思想把問題轉化為直線與圓的位置關系來做，但沒有注意到若在線段BF上（不含端點）有且僅有兩個不同的點Pi這一限制條件從而得出錯誤答案（C）。

避免“想當然”錯解的關鍵在于：耐心審題，看清題目要求，透徹理解概念，充分用上題設，包含隱含的條件，注意對結果進行必要的檢驗，這樣就可以避免在解題過程中出現的“會而不對，會而不全”的情況。

參考文獻：

[1]張穎奇.注重概念教學——對兩道概率試題解答的反思.中學數學教學參考，2010（11）

[2]錢軍先.例談稚化思維的教學策略. 中學數學教學參考，2016（1-2）

[3]袁守義.親切平和 活力四射. 中學數學教學參考，2016（1-2）

（作者單位：浙江省臨海市靈江中學 317000 ）endprint