一個關(guān)于常數(shù)e的逼近式

秦慶雄

（漾濞縣第一中學(xué)，云南漾濞672500）

一個關(guān)于常數(shù)e的逼近式

秦慶雄

（漾濞縣第一中學(xué)，云南漾濞672500）

利用函數(shù)的單調(diào)性，可證明成立不等式：

并通過實例說明它在其他不等式證明中的簡單運用。

楊必成-L.Debanth不等式；Carleman不等式；逼近式

1998年，楊必成和L.Debanth在文〔1〕（或文〔2〕）中給出了如下一個關(guān)于常數(shù)e的逼近式：

筆者經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，式（1）可以加強為如下定理，現(xiàn)行之成文，和大家一起來分享。

定理設(shè)整數(shù)n≥1，則有

證明：1）由于不等式

作輔助函數(shù)

由上式知，f′(n)在[1,+∞)上單調(diào)遞減。從而，對于任意都有據(jù)此，上單調(diào)遞增，且對于任意都有

ln e-1-ln 1=0，即

所以，式（3）成立。

2）由于不等式

作輔助函數(shù)

所以，式（4）成立。

綜上，由式（3）和（4）知，式（2）獲證。

最后，我們僅舉兩例，說明定理的應(yīng)用。

例1設(shè)整數(shù)n≥1，則有

證明：由算術(shù)-幾何平均不等式〔3〕，得

因此，要證

成立，

由式（3）知，上式成立。

所以，不等式

獲證。

證明：由算術(shù)-幾何平均不等式〔3〕，得

欲使內(nèi)部的求和容易處理，我們選取

此時

從而，

又由式（3），得

注：例2加強了文獻〔1〕中已有的如下加強的Carleman不等式：

〔1〕YANG B C，DEBNATH L.Some inequalities involving the constante and an application to Carleman's inequality〔J〕. JMath AnalAppl，1998，223（1）：347-353.

〔2〕王挽瀾.建立不等式的方法〔M〕.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011：368．

〔3〕HARDY G H，LITTLEWOOD J E，POLYA G.不等式〔M〕.越民義，譯.北京：科學(xué)出版社，1965.

A Resulton the Approximation of Constante

Qin Qingxiong
（Yangbi NO.1 Middle School,Yangbi,Yunnan 672500,China）

Using the monotonicity of function,it can be proved that,where.Examples are given to show that this inequality can be used to prove otherinequalities.

Yang B C-L.Debanth's Inequality;Carleman's Inequality;approximation

10.3969∕j.issn.2096-2266.2017.06.004

O122.3

A

2096-2266（2017）06-0016-03

（責(zé)任編輯袁霞）

2016-05-18

2016-12-14

秦慶雄，中學(xué)一級教師，主要從事數(shù)學(xué)教育與中學(xué)數(shù)學(xué)，特別是不等式問題等研究.