數學史在高等數學教學中的意義和應用

唐曉霞

【摘 要】 本文對數學史在高等數學教學中的意義和應用進行了討論。論述了數學史在教學過程中的融入對于學生學習興趣的培養、理解水平的提高、應用能力的提升及邏輯思維的拓展等方面的重要意義。并從初等數學與高等數學的差異、數學發展史的概述、數學史在具體概念上的應用這三個層面說明了數學史在高等數學教學中的應用。

【關鍵詞】 數學史；高等數學；意義；應用

【Abstract】 This paper discusses the value and application of history in advanced mathematics teaching. It argues about the important effects of the history of mathematics to the students in promoting learning interests， improving level of understanding， increasing application ability and developing logical thinking. It also explains the application of the history of mathematics in advanced mathematics teaching from three angles： the differences between primary mathematics and advanced mathematics， an overview of mathematics history and the application of the history of mathematics in specific concepts.

【Key Words】 The History of Mathematics； Advanced Mathematics； Value； Application

【中圖分類號】 G64.26 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2017）15-000-03

1.引言

數學史是研究數學概念、數學方法和數學思想的起源和發展，及其與社會政治、經濟和一般文化的聯系的學科。[1]

數學史融入數學教學的觀點由來已久，它在學生學習興趣的培養、理解水平的提高、應用能力的提升及邏輯思維的拓展等方面有重要作用。但真正能把它高效地運用到課堂上的教師并不多，關于數學史在數學教學上的應用還需要更多的探討和實踐。本文將從數學史在高等數學教學中的意義和應用兩方面進行討論。

2.數學史在高等數學教學中的意義

數學史融入高等數學教學具有重要意義，主要體現在：

（1）史料知識本身有豐富的人物、問題的產生和發展過程以及時代的社會背景等故事情節，極具趣味性。英國科學家丹皮爾（W. C. Dampier）曾經說過：“再也沒有什么故事能比科學思想發展的故事更有魅力了。”[1]因此數學史的融入可以很好地引起學生的學習興趣。

（2）對知識來源與發展的了解可以幫助學生更好的理解所學內容。很多學生首先從心理上認為高等數學知識與現實隔離，是不易理解的純理論；其次相對于初等數學，高等數學的內容偏抽象復雜，對學生的學習能力要求更高。對問題產生的歷史背景、前人思考和解決問題的軌跡的了解，不僅能提升知識的被接受力，也更容易助學生抓住所學知識的本質。

（3）數學概念、方法和思想來源于現實，產生于人們對世界的認知過程中，是在發現問題、解決問題中不斷建立和完善起來的知識體系，有廣泛的實際應用。通過對數學的起源、發展及其與其他學科聯系的了解，可以提升學生的應用能力。

（4）前人思考問題和解決問題的方法可以帶給我們很多啟示，為現在和未來的學習過程中遇到的其他問題提供很多新思路。

（5）對數學知識大廈建立過程和偉大科學家們的認識能豐富學生的人文思想，提升自我立意和歷史責任感，激勵學生認真學習爭取為人類進步做貢獻。

實際上，將數學史融入數學教學的觀點早已被正式提出。1972年，在英國埃克塞特（Exeter）召開的第二屆國際數學教育大會上，成立了數學史與數學教學關系國際研究小組（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM）。[2]自此，該觀點被越來越多的人所熟悉，已有大量對其探索和研究的成果。但更多的成果旨在討論數學史在數學教學中的意義，而對數學史在數學教學中的應用的研究仍在不斷發展中，尚待更系統、有效、普遍認可的實踐成果。并且，在實際教學中大部分教師并未在這一環節足夠關注，數學史在數學課堂上的實際應用較少。一個很重要的原因是教師對數學史知識掌握不夠或不能運用到位，所以教師要首先提高自身的數學史知識，然后要對行之有效的實施方法多做思考探索，不能將數學史這個在數學教學中的重要因素只停留在理論上。以下是我從四年的教學過程中總結的對數學史在高等數學課堂教學上應用的一些見解。

3.數學史在高等數學教學中的應用

首先，數學史在高等數學教學的第一次課堂上要發揮重要作用。從引導學生學習興趣、讓學生對本課程性質有初步了解以及培養學生端正的學習態度等多角度來說，把握好第一次課堂都很重要。第一次課上，在學習具體課程內容之前，可以先介紹初等數學與高等數學之間的差異，讓學生對即將學習的內容有所了解，對兩者之間的差異有心理準備。也可以簡述數學發展史的關鍵階段，讓學生了解這門學科的建立過程。當然不只是在第一次課上，對數學史各階段的了解也應該持續滲透在整個課程中。

其次，在講解具體概念時，也要善于應用數學史。可以穿插講述問題產生的歷史背景、相關貢獻的數學家及概念的演化過程。不僅會使整個學習過程變得生動形象，還有利于學生在該知識上的學習理解，也能豐滿其內在的數學思想。

以下將從三方面具體說明如何將數學史應用在高等數學教學中：初等數學與高等數學的差異、數學發展史的概述、數學史在具體概念上的應用。

3.1 初等數學與高等數學的差異

初等數學與高等數學產生的歷史時期不同，它們研究問題的對象、方法也有著本質的區別。概括的說，初等數學是常量數學，高等數學是變量數學。

3.1.1 研究背景

歷史上很長一段時間，人類處于原始社會和封建社會，生產力水平并不高，從中發展起來的數學大多用于解決一些靜止與規則類型的問題，也就是常量數學。16世紀開始，由于機械、航海和天文等領域技術發展的需要，如尋求行星軌道的近日點和遠日點、確定炮彈的最大射程等，對運動與變化的研究已變成自然科學的中心問題，從而導致了變量數學的誕生。[1]

3.1.2 研究對象

兩者在研究對象上從常量到變量有著質的變化，圖1從幾何與物理的角度給出了初等數學與高等數學研究對象上的一些比較（左側圖形代表初等數學，右側圖形代表高等數學）。[3]

3.1.3 研究方法

兩者的研究方法上也發生了質的變化，以下通過兩例來感受其中的區別：[3]

（1）曲線的切線

初等數學中也有曲線的切線問題的討論，但都是基于靜態的觀點，將切線看作是與曲線只在一點接觸且不穿過曲線的“切觸線”而與動態變化無關。[1]高等數學中曲線的定義是割線的極限位置。如圖2，當曲線上點P沿曲線往點M無限接近時，割線MP的極限位置是切線MT，從而利用割線斜率取極限來求切線斜率。

（2）任意平面圖形的面積

初等數學中只能利用已知面積公式計算規則圖形面積，高等數學中能計算任意平面圖形的面積。如圖3是一任意曲線所圍成的平面圖形，用單位網格分割該圖，被小正方形所覆蓋部分面積易求，因此求該圖面積關鍵在于求陰影部分這類小曲邊形的面積。如圖4，將這類曲邊形分割后用若干小矩形面積之和近似曲邊形面積，該近似值取小矩形在軸上的小區間長度無限縮小時的極限即為所求曲邊形面積。

3.2數學發展史的概述

綜合時代順序、數學內容、社會背景等因素，數學史可分為以下四階段：

（1）數學的起源與早期發展（公元前6世紀前），

（2）初等數學時期（公元前6世紀---16世紀），

（3）近代數學時期（或稱變量數學建立時期，17世紀---18世紀），

（4）現代數學時期（1820---現在）。[1]

早期數學是人類從生產活動中產生的數與形的概念，具有代表意義的是埃及、美索不達米亞數學中算術、幾何的發源，其中不乏各類進制、分數計數、面積與體積的計算法則等先人的智慧。

初等數學發展有幾個關鍵時期：希臘時期、東方時期、歐洲文藝復興時期。

希臘數學中論證幾何蓬勃發展。泰勒斯（Thales of Miletus）與畢達哥拉斯（Pythagoras of Samos）開創了論證數學的先河；歐幾里得（Euclid of Alexandria）的《原本》創立了歷史上第一個數學公理體系；阿基米德（Archimedes）的數學著作集中探討了與面積和體積計算相關的問題，如運用窮竭法證明了與球的面積和體積有關的公式；阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga）的傳世之作《圓錐曲線論》提出了我們現在通用的橢圓、雙曲線和拋物線概念等。

以中國、印度和阿拉伯數學為代表的中世紀東方數學，有著強烈的算法精神。中國古代的數學著作《周髀算經》已經給出了勾股定理的證明；《九章算術》在算數、代數和幾何三方面都有突破性的貢獻，如方程組的消元法、一些規則平面圖形的面積和立體圖形的體積計算；劉徽的“割圓術”推算出了圓周率近似值，其后祖沖之對球體體積和圓周率進行了進一步計算等。印度數學以算術、代數為軸心，在算術方面，廣泛使用了十進位值制記數法，并發明了印度——阿拉伯數學符號，一直到現在世界各國都在使用；代數方面，印度人在求解一般方程和不定方程上有不少技巧。阿拉伯數學對初等代數學和三角學做出了創造性的貢獻。

文藝復興時期的歐洲數學是初等數學向近代數學過渡的一個轉折點，在各個領域都有著了不起的進展。在代數方面，意大利數學家塔塔利亞（Niccolo Fontana）、卡爾丹（G. Cardano）對三次方程求解，費拉里（Ferrari Lodovico）對四次方程的求解都進行了系統、深入的研究。在三角學方面，繼阿拉伯數學之后，德國數學家雷格蒙塔努斯（Regiomontanus Johannes）完成了包括平面三角和球面三角的《三角全書》，使三角學徹底地獨立于天文學。在幾何方面，恢復了幾何與實踐的聯系，意大利數學家阿爾貝蒂（L. B. Alberti）從建筑和繪畫的需要出發，提出了透視法的數學原理，開創了一個嶄新的領域——透視幾何學，為以后射影幾何開辟了道路。

近代數學時期又稱變量數學建立時期，該時期最大的一件事是微積分的創立，它也被譽為“人類精神的最高勝利”[1]。17世紀開始，由于機械、航海和天文等領域技術發展的需要，對運動與變化的研究已變成自然科學的中心問題。一大批科學家都致力于尋找有效的無窮小算法，牛頓（Isaac Newton）和萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）在總結前人工作的基礎上先后獨立發明了微積分。但微積分創立之初概念并不清楚嚴格，在之后的18世紀，微積分才進一步深入發展并逐漸嚴格化，也刺激和推動了許多數學新分支的產生，如微分方程、微分幾何。大學時期高等數學所要學習的內容主要就是這一階段發展起來相關概念。

到了19世紀，代數、幾何、分析這三大領域都取得了突飛猛進的發展。微積分基礎的嚴格化、近世代數的問世、非歐幾何的誕生、集合論的創立都是這一時期的成就。[3]在這些變革與積累的基礎上，20世紀的現代數學呈現出指數式的飛速發展。現代數學已成為分支眾多的、龐大的知識體系，主要在純粹數學、應用數學和計算數學這三方面，并表現出更高的抽象性、更強的統一性、更深入的基礎探討。[1]

3.3數學史在具體概念上的應用

在具體概念講解時，除了要講清知識內在的邏輯結構，還要注意傳達概念問題產生的歷史背景、相關貢獻的數學家及概念的演化過程。以下通過極限的定義和無窮級數這兩個內容做演示。

3.3.1 極限的定義

在極限的定義這一概念上，讓很多學生感到理解困難的是“”和“”定義，且不明白為何直觀上很好理解的概念卻要給出這樣抽象的定義。我想對這一概念形成過程的了解可以幫助學生解開這兩個疑惑。

極限概念的形成可以追溯到兩千多年前，我國莊子的名句“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”中已經蘊含了極限的思想，還有劉徽的割圓術，古希臘人的窮竭法等都是早期極限思想的代表。

到了17世紀，由于生產力發展迫切需要能夠用以描述和研究運動、變化過程的新工具。一大批科學家都致力于尋求相關算法，極限思想開始進一步發展。牛頓與萊布尼茨創立了微積分，并試圖以極限概念作為其基礎。但他們當時也還沒完全弄清極限的概念，極限觀念僅限于直觀的語言描述：“如果當無限增大時，無限地接近于常數，就說數列的極限為。”雖然人們容易接受這種描述性語言，但是，這種定義沒有定量的給出兩個“無限過程”之間的聯系，不能作為科學論證的邏輯基礎。[4]也正因為當時缺乏嚴格的極限定義，微積分理論才受到人們的懷疑和攻擊。因為隨著微積分應用的廣泛和深入，遇到的問題日益復雜，如研究天體運行的軌道等問題已經超出直觀范圍，在這種情況下，嚴格的極限定義就顯得十分必要。

直到19世紀。法國數學家柯西（Cauchy Augustin Louis）比較完整的闡述了極限概念及其理論，后經德國數學家威爾斯特拉斯的進一步加工，才得到我們現在所用的“”定義：“如果對任何，總存在正整數，使得當時，都有，則稱數列的極限為。” 這個定義借助不等式，通過和之間的關系，定量地、具體地刻畫了兩個“無限過程”之間的聯系。因此，這樣的定義是嚴格的，可以作為科學論證的基礎。

3.3.2 無窮級數

無窮級數這一章的內容也是學生理解上的一個難點。一是從高中數列的有限項的和到現在無限項的和，直觀上不易理解；二是級數種類、審斂方法多，容易混亂；三是為什么要將函數展成冪級數或傅里葉級數，看似不是更復雜了嗎？因此有必要給學生介紹一些級數理論的歷史發展幫助理清思路。

在古希臘無限性概念的早期探索時期，級數概念已經開始萌芽。芝諾（Zeno of Elea）提出了四個著名的悖論，其中有趣的阿基里斯（Achilles）追烏龜悖論中，若假設，則就是級數的和是否存在的問題。[5]我國戰國時期莊子的名句“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”也蘊含了級數的思想。阿基米德在拋物線弓形求面積中利用窮竭法，將拋物線弓形的面積用一系列內接三角形的面積的和來“窮竭”，實際上就是等比級數的求和問題，但當時阿基米德用一間接的有限證法來完成了他的窮竭法證明，避開了無窮。這些時期還沒有出現真正意義上的無窮級數概念。

到了14世紀，奧雷姆（Oresme Nicole）指出了等比級數當公比小于1時收斂，當公比大于等于1時和為無窮，發散，并證明了調和級數發散。雖然沒有形成級數的具體概念，但對級數的研究推進了一大步。

17-18世紀，微積分理論蓬勃發展的同時，無窮級數的研究開始被更多的數學家關注。牛頓將無窮級數運用到了他的流數論中，由二項式定理得到了，，，，和等許多函數的級數展開式，萊布尼茨也獨立地得到了，和等的級數展開式。另外擺在數學家面前的問題之一是函數表的插值，為了適應航海、天文學和地理學的進展，要求三角函數、對數函數和航海表的插值有較大的精確度。泰勒（Brook Taylor）把Gregory—Newton內插公式結合函數可導性發展成一個將函數展成無窮級數的最有力的方法。[6]但這一時期的數學家在級數方面的工作大都還是形式上的，對級數的收斂和發散問題還沒有足夠重視，也沒有給出級數系統的理論。

19世紀初期，在數學家們展開數學分析嚴謹化的工作中，柯西是第一個認識到無窮級數理論并非多項式理論的平凡推廣，而應當以極限為基礎建立起完整理論的數學家。他比較嚴格地給出了完整的級數理論，并給出了收斂的精確定義。19世紀之后無窮級數作為極重要的工具，在數學、物理、天文等專業學科上的發展上有著至關重要的作用，如進行科學計算上的數值逼近、在通信工程中利用傅里葉級數展開處理周期信號等。

數學史在高等數學教學中的應用除了以上三點，還可以在在教學中穿插數學家的故事和言行。比如介紹阿貝爾定理時，先介紹阿貝爾（Niels Henrik Abel）一生的經歷：阿貝爾的一生是短暫且艱辛的，他27歲時與世長辭，但他卻在方程論方面做出了杰出的貢獻，并且還是橢圓函數論的創始人之一。再比如講到歐拉（Leonhard Euler）方程時，可以講講歐拉的故事：他是歷史上寫論文最多的數學家，但在他28歲時噩運降臨在他身上——一只眼睛失明；在56歲那一年，他又雙目失明、妻子逝世，這樣的雙重打擊并沒有減少他對數學的激情，他依然在奮斗。通過口述，他兒子記錄的形式計算，他堅持了20年，直到最后一刻。[7]

也還可以在在教學中給同學們介紹一些歷史上的趣味問題，如芝諾關于無限思想的四個著名悖論、世界三大數學猜想等，既能引起學生興趣，也能帶動學生勤思考。

4. 結語

我們現在所學習的知識是千百年來人類智慧的結晶，當然在學習過程中會遇到困難、挫折，即使這樣我們在心態上也不必灰心消極，因為這些思想方法曾是經過千百年來一代又一代聰明的數學家們不斷積累建立起來的，豈非一朝一夕就能學透徹。但同時在行動上也不能放松，我們現在學習的是前人發現總結的已知規律，與他們當時在未知中探索的困難相比微不足道，不應該放棄努力。同時，除了要認真學習課程中的知識，也要爭取為人類知識的進步做出自己的貢獻。

參考文獻：

[1] 李文林. 數學史概論. 高等教育出版社 ，2011

[2] 吳駿， 汪曉勤. 國外數學史融入數學教學研究述評. 比較教育研究， 2013 （8） ：78-82

[3] 楊立敏， 趙嵩卿. 高等數學與初等數學的區別與聯系. 中國教育技術裝備， 2011 （15） ：47-48

[4] 鄧蜀元. 極限思想的產生和發展. 考試周刊， 2009 （28） ：80-81

[5] 范廣輝. 無窮級數的發展歷程. 黑龍江科技信息， 2016 （36） ：129-130

[6] 王輝. 無窮級數的發展演化. 河北師范大學， 2006

[7] 景元萍， 李艷曉. 數學史融入高等數學教學的有效途徑. 科技資訊， 2012 （31） ：176-177