圓錐曲線焦點三角形的一個有趣性質

廣東省深圳市鹽田高級中學 (518083) 羅 誠

圓錐曲線焦點三角形的一個有趣性質

廣東省深圳市鹽田高級中學 (518083) 羅 誠

最近某地有一道解析幾何試題如下：

A．|OB|=e|OA|

B．|OA|=e|OB|

C．|OB|=|OA|

D．|OA|與|OB|關系不確定

筆者探究上述問題的解法時，發現圓錐曲線焦點三角形有類似的一個有趣的性質，現將結果與大家分享.

圖1

證明:如圖1，設橢圓的焦距為2c,直線PF1,F1B的交點為Q，P(x0,y0).|PF1|=r1,|PF2|=r2.則由橢圓的焦半徑公式得r1=a+ex0,r2=a-ex0(其中e為橢圓的離心率).

因為⊙I是△PF1F2的內切圓，所以|PF1|=|PQ|,B為F1Q的中點，∴OB,即，由三角形內心坐標公式得

|OA|=|xI|=e|x0|.所以|OA|=|OB|，命題1成立.

圖2

證明可仿命題1，此略.

圖3

命題3 已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，F′是準線與x軸的交點，O為拋物線的頂點，P是拋物線上的一點，ΔPFF′的內切圓的圓心為I，且⊙I與x軸相切于點A，過F′作直線PI的垂線，垂足為B，則|OA|=|OB|.

證明:如圖3，設直線PF,F′B的交點為Q，P(x0,y0)，|PF|=r1,|PF′|=r2.則由拋物線的定義

因為⊙I是ΔPFF′的內切圓，所以|PF′|=

|PQ|,B為F′Q的中點，∴OB,即

由三角形內心坐標公式得

即|OB|=xI.又|OA|=xI.

所以|OA|=|OB|.至此，命題得證.