借圖形計算器之巧探反比例函數之妙

潘正標　王曉峰

[摘 要] 在常態課教學中嵌入數學實驗片段，并借助圖形計算器展開實驗探究. 以觀察、猜想、驗證、推理為活動主線，為學生創設合作、交流、展示、思辨等契機和平臺，感受知識發生和生長的完整過程，促進學生形成探究的策略和能力.

[關鍵詞] 數學實驗；反比例函數；圖形計算器；課堂簡錄

背景介紹

蘇州工業園區星洲學校作為江蘇省初中數學實驗聯盟學校，于 2016年12月12日承辦了“江蘇省第六屆初中數學實驗教學專題研討會暨數學實驗創新方案設計表彰會”. 筆者有幸開設了一節數學實驗公開課，嘗試在常態課中嵌入實驗片段，并借助圖形計算器展開實驗探究，同時將蘇科版《數學實驗手冊》八年級下冊“實驗13 驗證反比例函數圖像的對稱性”作為本節課教學內容的延伸，在教學內容上進行了整合.

教學內容

蘇科版《義務教育教科書·數學》八年級下冊“11.2 反比例函數的圖像與性質”.

教學過程簡錄

（一）知識回顧，提出問題

師：同學們，最近我們接觸了一類新函數——反比例函數，為了更好地對它展開探究，我們先來回顧一下之前研究一次函數時，研究的主要方向和方法.

（課件演示，師生交流略）

1. 回顧

（1）請你分別指出下列一次函數的大致圖像.

（2）以一次函數y=-2x+1為例，你能說說它的圖像與性質嗎？

交流小結：由這個表達式我們可以知道它的圖像、分布、走勢、增減性、與坐標軸交點的坐標. 通過對一次函數表達式和圖像的研究，我們既可以由數的關系想到形的特征，也可借助形的直觀理解數的特性，就好像是在數和形之間架起了一道無形的橋梁.

（板書：圖像、分布、走勢、增減性、交點、數——形）

2. 問題

反比例函數y=（k≠0）的圖像是怎樣的，它又具有哪些性質呢？

師：我們不妨先來研究一個具體的反比例函數y=.

（二）合作探究，形成新知

活動一：猜想驗證，獲得發現

（課件演示）

1. 分析猜想

通過分析反比例函數y=中x，y的取值范圍及相互關系，你能猜想出反比例函數y=圖像的某些特征嗎？

生1：因為x，y同號，所以圖像分布在第一、三象限.

生2：因為x，y的取值都不能為0，所以我判斷圖像與坐標軸沒有交點.

生3：因為x，y的取值都不能為0，我猜測圖像是斷開的（其他同學投來懷疑或贊許的目光）.

生4：因為y隨x的的增大而減小，所以我猜測圖像從左至右呈下降趨勢（此處學生的回答雖然有誤，筆者并未指出，為后面的“化錯教學”留下伏筆）.

師：剛才幾個同學做了分析、給出了猜想，說得蠻好的，但實際情況是這樣的嗎？咱們得驗證一下.

2. 操作驗證

（1）利用網格紙嘗試畫圖

師：對于一個剛接觸的新函數，你打算如何畫出它的圖像？

生4：列表、描點、連線.

師：操作過程中，有需要注意的地方嗎？

生4：列表時，數據多取一些，最好是正、負數都取，連線要平滑.

師：對！因為對它的圖像不了解，所以我們盡量多取一些有代表性的數據. 接下來請大家拿出操作用紙，按PPT上的要求展開操作和探究.

（課件演示）

利用網格紙嘗試畫出反比例函數y=的圖像. 先組內交流研討，再班級展示交流，分享發現與收獲，提出猜想和疑問.

（請兩名同學，利用黑板上的網格，嘗試畫圖；學生畫圖、討論，教師巡視指導，大約5分鐘后）

師：接下來我們請一個小組來分享一下他們的探究過程（實物投影）.

生5：起初我們四個人畫得都不一樣（實物投影分別展示圖1、圖2、圖3、圖4），通過我們剛才激烈的討論，我們覺得第4幅圖畫得比較好，不但數據取得比較多、比較勻稱，而且連線也比較平滑.

師：分歧比較大的是哪一個？

生5：（微笑）圖3，張凱同學覺得參考一次函數的畫圖，點與點順次用直尺連接，而我們根據這些點的分布和走勢，推斷圖像應該是彎的.

師：謝謝你們的分享，還有哪個小組再來分享一下？（實物投影）

生6：這是我們組畫的4幅圖（實物投影分別展示圖5、圖6、圖7、圖8），我們覺得這兩幅圖不太正確，這幅圖（圖5）的線條不應該往里彎（呈“C”型），以這一支為例（第一象限），當x增大時y在減小，所以圖像應該慢慢接近x軸，當x減小時y在增大，所以圖像應該慢慢靠近y軸.

師：如果這樣延伸下去，圖像會如圖7那樣，與坐標軸在遠處相交嗎？

生6：不會，因為x，y都不可能為0，所以圖像與坐標軸也就不會有交點了，它只能無限接近坐標軸.

師：說得很有道理！還有一幅圖又是怎樣的情況呢？

生6：這個圖像（圖6）我們還有點分歧，李華覺得就應該是這樣的“折線圖”.

師：那你們的觀點呢？

生6：我們覺得不對，但是不知道如何解釋，這也是我們小組的困惑.

師：好的！你先回座位，我們來看看其他小組有沒有解決這個問題的方案，哪個小組來試一試？

生7：我們做了一個嘗試，先假設兩點之間的連線是直的，我們可以求出這個一次函數的表達式，然后在兩點之間又取了一組x，y值，發現這組數據并不符合之前求得的一次函數，說明兩點之間用直尺連接是不對的.

師：這個方法挺好的！我們一起為這個小組的同學鼓鼓掌（眾生面露驚訝、興奮，并鼓掌）.

生8：我們還有更好的方法（興奮得主動站了起來）！

師：哦？說說看……

生8：我覺得如果再多取一些點的話就看出來了.

師：怎么?。咳《嗌?？

生8：在1和2之間再取9個x值，例如：1.1，1.2，1.3……這樣描點就會更密，圖像的實際情況就能看出來了.

師：這個方法好，點取得越多、越密，越能看出圖像的“廬山真面目”. 但是，人工操作不僅費時、費力，有時還難以畫準. 下面，請同學們拿出我們的“法寶”——HP圖形計算器，類比探究一次函數圖像時的操作方法展開探究.

（2）利用圖形計算器展開驗證（課件演示）

數學實驗室：利用圖形計算器“雙變量”點加密功能或“幾何學”點追蹤功能完成實驗驗證，并分享操作過程與實驗結果.

【功能介紹】

①“雙變量”點加密：可以根據畫圖需要進行批量的取值、描點.

②“幾何學”點追蹤：設定變量的取值范圍、單位長度，描出符合函數表達式的動點，并繪制點運動留下的軌跡.

③圖形計算器與電腦之間可以建立獨立網絡，實現將所有學生的圖形計算器操作過程投射到一體機顯示屏，實現師生之間、學生之間的實時互動與展示.

（學生操作、討論，教師查看一體機屏幕，實時了解學生操作情況，大約3分鐘后）

師：誰來說說你用的是什么功能？通過操作你有什么發現？

生9：我的計算器是16號（教師調出16號計算機虛擬屏幕，如圖9），我用的是“雙變量”功能，通過操作我發現當點畫得很多的時候，圖像的確是彎的，但是有的地方點比較密，有的地方點比較稀疏.

生10：我的計算器是22號（教師調出22號計算機虛擬屏幕，如圖10）我用的也是“雙變量”功能，我的步長取得比較小，所以點特別密，我發現反比例函數y=的圖像是兩支彎彎的曲線，并不是折線.

生11：我的計算器是19號（教師調出19號計算機虛擬屏幕，如圖11）我用的是“點追蹤”功能，通過操作我發現這些點運動后留下的痕跡是兩支彎彎的曲線.

師：剛才三位同學分享了他們的操作方法及發現，老師這邊也利用“點追蹤”功能，分象限繪制了函數y=的局部圖像（如圖12），而且我還標注了兩個動點的坐標.

設計意圖 利用圖形計算器“雙變量”點加密功能和“幾何學”點追蹤功能展開探究，既是對前面“網格紙畫函數圖像”產生質疑的驗證，同時通過點的動態展示以及動點坐標的標注，可以更好地讓學生感受點與線、局部與整體的內在聯系. 在展示一個點、無數個點、一條線，一組數、無數組數的變化過程中，讓學生在潛移默化中感知圖像的形成，發現函數的性質.

3. 優化歸納

師：通過剛才的嘗試畫圖、操作驗證，我們發現反比例函數的圖像的確是兩支平滑的曲線，我們稱之為“雙曲線”. 其實，數學家們早已做了大量的實踐與研究，驗證了反比例函數圖像是雙曲線這一事實.

（操作：教師利用圖形計算器繪制函數圖像功能畫出y=的完整圖像，如圖13）

師：下面請按這里的提示，優化一下表格和圖像.

（課件演示）

（1）優化表格和圖像

一般取8至10組數值，從小到大，正負數對稱，表格首尾用省略號代替；描點準確、清晰；連線要力求平滑，體現趨勢和延伸性.

（學生板演、其他學生同步，教師巡視指導，小結并優化學生板演內容）

（課件演示）

（2）參考畫圖過程，觀察表格和圖像，試著歸納反比例函數y=的圖像和性質.

生12：圖像分布在第一、三象限，圖像與坐標軸沒有交點，圖像的走勢向下.

師：哪一支？

生12：兩支都是.

師：它們是完全獨立的兩支，我們分象限來描述它的走勢比較合理. 第一象限內的這支圖像從左向右，呈下降趨勢，第三象限內的這支圖像從左向右，也呈下降趨勢.

師：這位同學給我們描述了圖像的分布和走勢，說得很棒！其他同學還有需要補充的嗎？

生13：y隨x的增大而減小.

師：之前在分析反比例函數y=的表達式時，就有同學這樣認為，大家覺得這樣描述對嗎？

生14：我覺得不對（興奮地站起來）！

師：應該怎么說？你是怎么看出來的？

生14：當x>0時，y隨x的增大而減?。划攛<0時，y也隨x的增大而減小，我是觀察表格發現的.

生15：其實，從圖像和點坐標的變化情況（指著屏幕，即圖12）就能看出來，因為它們是分開、獨立的兩支，所以只能說在各自的象限內，圖像從左向右呈下降趨勢，也就是在各自象限內，y隨x的增大而減小.

師：說得非常好！這也是反比例函數的一個特別之處，還有需要補充的嗎？

生16：我感覺這個反比例函數的圖像是軸對稱圖形.

（同學們投來驚訝的目光）

師：哦？這個發現挺有意思的，你上來給大家講一下，說說你是怎么發現和驗證的.

生16：對稱軸是二、四象限的角平分線（學生用粉筆畫出），剛才我把之前畫的圖折疊了一下，發現折痕兩邊差不多是重合的.

師：很好！我們再試著沿第一、三象限的角平分線折疊一下看看.

眾生：也是對稱的（操作后，齊聲回答）.

活動二：類比分析，發現歸納

師：剛才幾個同學初步歸納了反比例函數y=的圖像和性質，如果k取 “-6”，它的圖像與性質又是怎樣的呢？

（課件演示）

類比反比例函數y=圖像與性質的探究過程，分析反比例函數表達式y=-，畫出它的圖像，并討論、記錄、分享你們組的發現.

（請學生板演，大約4分鐘后）

師：你們是如何畫圖的？又有哪些發現呢？（巡視后，指定小組交流）

生17：我們通過列表、描點、連線畫得這個函數的圖像，圖像是分布在第二、四象限的雙曲線；兩支圖像也分別無限接近于坐標軸；在各自的象限內y隨x的增大而增大.

師：還有其他組要補充的嗎？

生18：我們發現反比例函數y=-的圖像也是軸對稱圖形，并且它與反比例函數y=的圖像既關于x軸對稱，也關于y軸對稱.

（教師適當引導，學生對照圖像加以解釋，由兩個函數圖像上的點關于坐標軸對稱，得到圖像對稱）

活動三：初步小結，深化理解

師：剛才我們研究了反比例函數y=（k≠0），當k取6和-6時，它們的圖像和性質.

（課件演示）

對于反比例函數y=（k≠0），當k取不同的正數或負數時，它的圖像與性質又是怎樣的呢？

利用圖形計算器“函數”功能，快速畫出你心目中感興趣的一些反比例函數圖像，觀察后向同伴描述它的特征.

（一體機實時投射全班同學的操作畫面，如圖14、圖15）

師：通過剛才的操作與交流，大家有什么發現？

生19：反比例函數的圖像都是雙曲線，當k>0時，圖像分布在第一、三象限，在各自的象限內y隨x的增大而減?。划攌<0時，圖像分布在第二、四象限，在各自的象限內y隨x的增大而增大.

（一體機實時投射圖13）

生20：當k取不同的正數時，k越大圖像越靠外，當k取不同的負數時，k越大圖像越靠內.

師：通過剛才我們的一系列操作和探究，同學們對反比例函數的圖像與性質已經有了比較深刻的認識和理解，接下來，老師要看看大家解決問題的能力.

（三）鞏固新知，解決問題

（教材例題，略）

（四）概括總結，激發思考

（課件演示）

通過本節課的學習，你對反比例函數有了哪些新的認識？在對反比例函數圖像與性質的探究過程中，有無激發你新的思考？

生21：反比例函數的圖像都是雙曲線，當k>0時，圖像分布在第一、三象限，在各自的象限內y隨x的增大而減??；當k<0時，圖像分布在第二、四象限，在各自的象限內y隨x的增大而增大.

生22：反比例函數的圖像都是軸對稱圖形，且有兩條對稱軸；以后再探究新的函數圖像與性質，我們可以類比今天探究的過程和方法.

生23：我們小組有幾點思考：所有的反比例函數圖像是否都是中心對稱圖形？一定是軸對稱圖形嗎？k的取值與反比例函數圖像形狀之間具有怎樣的對應關系？

師：剛才幾位同學交流了他們對反比例函數圖像與性質的認識，也提出了自己新的思考. 希望同學們課后能利用手中的圖形計算器，借助《實驗手冊》“實驗13 驗證反比例函數圖像的對稱性”提供的素材和方案，對反比例函數的圖像與性質繼續展開探究.

“反比例函數的圖像與性質”

教學點評

“反比例函數的圖像與性質”是教材中的常規教學內容. 本課通過數學實驗，以圖形計算器為實驗工具，以教師引導、學生探究為組織形式，以動手“做”數學為學習方式，對反比例函數的圖像與性質進行了探索. 本課采用的實驗教學，突破了傳統函數圖像教學中的難點，是一節比較成功的數學實驗課.

本課屬于計算機（包括圖形計算器）探索型片段式數學實驗. 通過模擬再現問題情境，借助圖形計算器的“雙變量”“幾何學”“函數”三種功能，引導學生動手操作、自主合作探究出反比例函數的圖像與性質，其基本步驟為：提出問題→觀察猜想→動手操作→驗證歸納結論，符合數學實驗教學的一般特點.

（一）本課的總體印象

1. 創意整合的學習內容促進了學生對函數的全面認識和整體把握

“反比例函數的圖像與性質”是初中數學函數學習中較為典型的研究具體函數圖像與性質的課例. 蘇科版初中數學教材中將該內容分成2個課時，分別是“第1課時：反比例函數的圖像”和“第2課時：反比例函數的性質”，其中，“反比例函數的圖像”只是畫圖像，內容較為單一. 考慮到八年級學生通過一次函數的學習已經具有了一定函數學習的經驗，因此，為了突出反比例函數的圖像與性質的關聯性、內容的整體性，在充分尊重教材的基礎上，對2個課時的學習內容進行了不失理性的內容整合，同時將蘇科版《數學實驗手冊》八年級下冊“實驗13 驗證反比例函數圖像的對稱性”也融入其中，這樣的學習內容有助于學生全面、深刻地去認識、理解和掌握函數知識.

2. 科學有效的活動設計推進了學生對知識的掌握和活動經驗的累積

一是在知識理解與掌握的層面進行了科學設計. 對顯性知識的正確理解并進行科學的教學設計，是開展教學的基本要求. 本課緊緊抓住了反比例函數的圖像形狀、反比例函數的性質、反比例函數圖像的特征這三個主要知識點，圍繞它們進行了科學設計，促進了學生對知識的掌握.

二是在思想方法與活動經驗累積層面進行了有效設計. 本課探究問題的設計，注重了問題與問題之間的關聯性. 每一個問題都是在相關問題獲得經驗的基礎上提出的，這樣可以幫助學生基本活動經驗的疊加、積累，便于探索操作的方法和路徑. 同時，學生得到函數圖像與性質的過程，是通性通法的過程，也是知識體系的建構過程，在建構知識體系的過程中，滲透了數形結合、類比、轉化等數學思想方法.

三是在體驗函數研究的方式與方法層面進行了創新設計. 本課對反比例函數圖像與性質的探索，突破了傳統的先畫圖、再觀察圖像發現性質的分步走方式，采用齊步走、能夠體現圖形研究方法的方式. 也就是運用數學實驗，抓住圖形研究的根本著力點——對點的研究. 在點的運動過程中產生圖像，以及在產生圖像的同時發現圖像的變化趨勢和數量的變化規律，從而得到函數圖像的形狀、函數的性質以及圖像的特征，很好地闡釋了所有的圖形問題本質上都是點的問題，這是本節課設計上的最大亮點.

3. 自主合作的探究過程增進了學生思維的發展和學科素養的形成

本課既注重感性認識，又關注理性分析. 所設計的每一個探究活動都能讓學生動手去操作，在基于活動經驗、通過畫圖觀察獲得感性認識、形成猜想的基礎上，利用圖形計算器的獨特功能進行驗證，并引導學生說明猜想的正確性，從而將感性認識上升到理論分析的層面.

傳統的函數圖像學習方式是先通過列表—描點—連線，再進行觀察—發現—歸納，其優點是程序化特征明顯，容易操作與模仿，利于學生對知識的接受. 但因為描出的點的個數較少，學生的函數學習經驗也不夠豐富，因此在“連線”的關鍵環節，學生會出現連出的圖形為折線等一些較為普遍的情況. 對于這種現象，教師普遍采用的往往是通過強調“連線必須是平滑曲線”的方式，讓學生“體驗”出圖像應該是曲線，學生于是“發現”了“反比例函數的圖像是兩支曲線”的結論. 這樣的教學，顯然沒有足夠的信服力，從學生對“平滑曲線”的理解上來說，就會產生“由平滑的線段連接而成的折線不也是平滑曲線嗎”之類的疑惑，但既然老師都這樣說了，那就是對的，于是造成學生的思維停滯. 這是學習中典型的被動接受，是傳統函數圖像學習方式的最大缺點，也是教師教學處理上的最大難題.

基于此，為破解這個缺點和難題，本課在該環節通過數學實驗，利用圖形計算器進行了探究. 學生先是利用圖形計算器的“雙變量”點加密功能，增加點的稠密度，在點的個數逐漸加大的過程中，圖像得以逐漸呈現，“圖像是雙曲線”的發現和說服力越發增強. 然后學生再利用圖形計算器的“幾何學”點追蹤功能，通過操作驗證“圖像就是雙曲線”的發現，最后再引導學生通過說理，說明“圖像就是雙曲線”這個發現，從而得出結論.

這樣的學習活動，學生經歷了“想象—操作—猜想—發現—驗證—說理”的過程，是學生的思維從感性認識上升到理性分析的過程，是思維從低級走向高階的過程，也是歸納與演繹兩種思維方式相輔相成、相得益彰的體會與運用的過程，因此能夠促進學生思維獲得良好的發展.

計算機（包括圖形計算器）探索型數學實驗的特點是開放性強、探究性強、對學生的數學素養和機器操作技能要求高、對教師的課堂掌控力要求高，因此更能強化教師的專業技能，促進學生數學素養、綜合素質的形成與提高.

（二）本課突出的特點

1. 凸顯了學生的主體地位

數學實驗教學也是數學教學，也要遵循數學教學的一般規律. 據觀察統計，本節課中，學生單獨展示有16組，集中展示有10組，用于發現操作的時間達到12分鐘，用于驗證操作的時間有18分鐘，總共30分鐘，占總課時間的75%以上. 同時，教師還注意到了對個別學生的輔導，關注個體差異. 顯然，學生的主體地位已經實實在在地落實到了本節課教師具體的教學行為之中. 學生主體地位的凸顯，保證了本課教學目標的有效達成.

2. 展現了知識的本質理解

教師對學科知識理解的高度、廣度、深度對教學效果的豐富性起著決定性的作用，教師對知識本質的正確理解至關重要. 函數是刻畫變化規律的，初中階段所學的幾種函數本質上刻畫的是代數式的值的變化規律，因此對這幾類函數性質的研究一方面應從“數量特征”上加以認識，另一方面也要從“圖形特征”上直觀理解這些性質，并對圖像的幾何性質再開展研究. 本課對反比例函數像與性質的探究就比較充分地體現了這一點. 另外，本節課通過對點的研究也體現了對函數圖像“數量關系→數據→無數個點（靜止）→一個點（運動）→線”和“線→無數個點（靜止）→一個點（運動）→數據→數量關系”的本質認識過程，實現了“數與形”“形與數”的華麗轉身，體現了數學自身的魅力.

3. 呈現了真正的數學探究

“不是所有的水都是礦泉水”，同樣，不是所有的探究都是真探究. 數學探究的特征體現在直覺猜想、實驗嘗試、反思調整、觀察發現、提煉驗證、概括歸納的過程之中，是一個發現與提出問題、分析問題與解決問題的完整過程. 本課涉及的探究活動都充分體現了數學探究的這些特征，處處透露著濃濃的數學味. 這是一個既關注知識的形成，又關注方法的體驗；既注重思維的培養，又注重能力的提高，最終促進學生數學核心素養的形成、促進學生思維發展的一次真正意義上的數學探究活動，具有較強的示范性.