以數(shù)輔形，由形引數(shù)

程效

[摘 要] 作為初中數(shù)學(xué)中思想方法的典型代表，數(shù)形結(jié)合思想對(duì)于高效學(xué)習(xí)的價(jià)值不容小覷. 從基本教學(xué)理論出發(fā)，筆者對(duì)不同知識(shí)模塊中數(shù)形結(jié)合思想的適用進(jìn)行了詳細(xì)闡述，希望在深入剖析其實(shí)際運(yùn)用途徑的同時(shí)，引導(dǎo)初中學(xué)生逐步建立起思想方法的意識(shí)，助推高效學(xué)習(xí).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合

初中數(shù)學(xué)當(dāng)中的知識(shí)點(diǎn)就像是一顆顆零散的珠子，分布于各個(gè)知識(shí)模塊當(dāng)中. 為了將這些知識(shí)內(nèi)容全面且高效地加以掌握，我們就需要找到一條恰當(dāng)?shù)木€，將這些“珠子”巧妙地串起來. 如此一來，整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程就會(huì)順暢許多，條理清晰，明確高效. 那么，什么才是穿梭于數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)當(dāng)中的那條線呢？這就是具有普適性與規(guī)律性的數(shù)學(xué)思想方法. 在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，這樣的思想方法不在少數(shù). 而在眾多數(shù)學(xué)思想方法當(dāng)中，數(shù)形結(jié)合是頗為典型的一種.

數(shù)形結(jié)合，解答數(shù)式問題

數(shù)式問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是學(xué)生們進(jìn)入初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)首先接觸到的知識(shí)內(nèi)容. 從復(fù)雜程度上來講，數(shù)式知識(shí)的難度其實(shí)并不算顯著. 但是，對(duì)于剛剛步入初中階段的學(xué)生來講，想要將這部分知識(shí)內(nèi)容全部掌握到位，也并不是那么容易的. 如果能夠?qū)D形的方法運(yùn)用到數(shù)式問題的分析當(dāng)中去，將會(huì)為學(xué)生們提供很大幫助.

在對(duì)有理數(shù)的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師為學(xué)生們?cè)O(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問題：已知，實(shí)數(shù)a和b在數(shù)軸上的位置如圖1所示，那么，+a-b的化簡結(jié)果是什么？這樣的提問形式在初中階段的數(shù)式教學(xué)當(dāng)中是非常典型的. 很多時(shí)候，數(shù)字之間的大小關(guān)系并不會(huì)直接提供給學(xué)生，而是需要大家通過讀懂?dāng)?shù)軸等圖形來得出. 這樣的問題設(shè)計(jì)方式，不僅考查了學(xué)生們對(duì)于有理數(shù)式化簡規(guī)則的掌握，同時(shí)還結(jié)合了數(shù)軸表示方法的考查，問題雖然簡短，但綜合性很強(qiáng).

數(shù)式知識(shí)的難度雖然不算太大，但是，在面對(duì)一些較為復(fù)雜的問題時(shí)，如果一味停留在理論文字的層面上加以思考，往往會(huì)讓學(xué)生們的思維變得混亂，甚至?xí)诔橄蠡乃篮锊恢? 圖形的適時(shí)運(yùn)用，無疑為學(xué)生們的問題分析過程起到了一個(gè)撥云見日的輔助作用.

數(shù)形結(jié)合，解答方程問題

我們?cè)谶@里所討論的方程是較為廣義的，既包括嚴(yán)格意義上各種類型的方程式，也包括含有未知數(shù)元素的不等式. 圍繞方程內(nèi)容所出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題，并不僅僅是單純地求解方程式，還會(huì)出現(xiàn)很多綜合性很強(qiáng)的題目. 如果學(xué)生們不具備以數(shù)形結(jié)合的方式來分析方程問題的能力，將會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)造成很大阻礙.

在對(duì)一元二次方程的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師在課堂上出示了這樣一道習(xí)題：圖2所表示的是一元二次方程y=ax2+bx+c的圖像. 如果關(guān)于x的方程ax2+bx+c-k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么，k的取值范圍是什么？一提到“兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”，很多學(xué)生馬上想到了根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而想要通過判斷b2-4ac的符號(hào)來求解，但發(fā)現(xiàn)行不通. 這時(shí)，如果能夠結(jié)合題中所給出的方程圖像，將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的問題，思路便會(huì)瞬間清晰起來. 具體來講，就是將y=ax2+bx+c與y=k聯(lián)立，結(jié)合圖像發(fā)現(xiàn)，只要滿足y=k<3就可以保證拋物線與直線一定存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)，k<3的正確結(jié)論便會(huì)很自然地得出了. 這道題目的解答過程，很明顯地體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合思想的重要性. 一方面，要引導(dǎo)學(xué)生們勤于用圖形的邏輯思考問題，另一方面，還要讓學(xué)生們善于借助圖形的方法來解答問題. 兩個(gè)方面協(xié)同入手，才能夠?qū)?shù)形結(jié)合的思想方法落到實(shí)處.

表面看來，方程是一個(gè)純代數(shù)的知識(shí)模塊，實(shí)則不然. 方程當(dāng)中的很多數(shù)量關(guān)系，都是可以通過圖形的方式加以反映的. 從這個(gè)特點(diǎn)入手，我們便能夠掌握解答方程問題的另一個(gè)途徑，即從方程所對(duì)應(yīng)的圖形切入，運(yùn)用它的幾何意義來尋找代數(shù)關(guān)系.

數(shù)形結(jié)合，解答函數(shù)問題

在整個(gè)初中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容當(dāng)中，函數(shù)所占據(jù)的篇幅不可小覷. 從覆蓋率上來看，函數(shù)知識(shí)的重要性已經(jīng)不言而喻了. 函數(shù)內(nèi)容的重要性，不僅體現(xiàn)在知識(shí)點(diǎn)的龐大數(shù)量上，更體現(xiàn)在函數(shù)知識(shí)與函數(shù)思維在各個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)模塊當(dāng)中的廣泛滲透上. 為了能夠?qū)⒑瘮?shù)知識(shí)理解透徹，我們必須善于運(yùn)用圖形，在數(shù)形結(jié)合當(dāng)中開展學(xué)習(xí)活動(dòng).

為了幫助學(xué)生將二次函數(shù)的知識(shí)理解繼續(xù)深化，教師在教學(xué)過程中出示了一道應(yīng)用性問題：運(yùn)動(dòng)員在進(jìn)行10米跳臺(tái)的跳水訓(xùn)練時(shí)，將運(yùn)動(dòng)員的身體視為一個(gè)點(diǎn)，其在空中的運(yùn)動(dòng)過程可以表示為圖3當(dāng)中過原點(diǎn)O的一條拋物線. 在對(duì)一個(gè)動(dòng)作進(jìn)行訓(xùn)練時(shí)，要求運(yùn)動(dòng)員要跳躍到距離水面10米的高度，并在距離水池邊4米的位置入水，且必須在距離水面以上5米的位置完成所有空中動(dòng)作，準(zhǔn)備入水. （1）圖中拋物線的解析式是什么？（2）如果某運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練當(dāng)中，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程是按照?qǐng)D中的拋物線進(jìn)行的，且完成全部空中動(dòng)作時(shí)，距離水池邊的水平距離是3米，那么這次跳水是否能夠成功呢？請(qǐng)通過計(jì)算來證明你的結(jié)論. 在這個(gè)問題的分析過程當(dāng)中，圖形的作用十分明顯. 雖然問題建立在運(yùn)動(dòng)員跳水這個(gè)實(shí)際活動(dòng)背景下，但是，從中所抽象出來的二次函數(shù)圖像仍然是解題的關(guān)鍵. 只有將函數(shù)圖像讀懂了，并將其中所標(biāo)出的數(shù)據(jù)翻譯對(duì)、運(yùn)用好，才能順暢分析函數(shù)問題.

學(xué)好函數(shù)知識(shí)，對(duì)于很多初中學(xué)生來講都不是那么容易. 在大家看來，函數(shù)內(nèi)容的抽象性很強(qiáng)，特別是在面對(duì)一些疑難復(fù)雜的問題時(shí)，很難從中迅速找到分析入口. 于是，教師啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合的思想方法來處理函數(shù)問題，即使題目敘述再抽象，也要努力找出其與圖形之間的連接點(diǎn). 有了圖形的輔助，原本晦澀的函數(shù)語言瞬間變得生動(dòng)具體了. 在這樣的氛圍之下，學(xué)生們解答函數(shù)問題也就容易多了.

數(shù)形結(jié)合，解答統(tǒng)計(jì)問題

統(tǒng)計(jì)內(nèi)容雖然算不上是初中數(shù)學(xué)當(dāng)中的主體知識(shí)，卻在各類考試當(dāng)中頻繁出現(xiàn). 如果學(xué)生們?cè)诮y(tǒng)計(jì)問題的解答當(dāng)中出現(xiàn)錯(cuò)誤，造成失分，是非常可惜的. 在統(tǒng)計(jì)知識(shí)內(nèi)容的構(gòu)成當(dāng)中，圖形一直是必不可少的. 將統(tǒng)計(jì)思路與統(tǒng)計(jì)圖形相結(jié)合，既是統(tǒng)計(jì)知識(shí)學(xué)習(xí)的必然要求，也是準(zhǔn)確分析統(tǒng)計(jì)問題的一條捷徑.

為了強(qiáng)化訓(xùn)練學(xué)生們識(shí)讀統(tǒng)計(jì)圖的能力，教師為學(xué)生設(shè)計(jì)了這樣一道習(xí)題：某種報(bào)紙共有4個(gè)版面. 發(fā)行商為了掌握讀者們對(duì)于每個(gè)版面的滿意程度，特進(jìn)行了一次廣泛的市場(chǎng)調(diào)查，請(qǐng)每位參與調(diào)查的讀者選出一個(gè)自己最為滿意的版面，并將收集到的數(shù)據(jù)匯總為下面的兩幅統(tǒng)計(jì)圖（如圖4）. （1）從下面的條形統(tǒng)計(jì)圖當(dāng)中，你能夠得到什么信息？（2）你能夠依據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中的信息，將扇形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完全嗎？二者分別具有什么特點(diǎn)？（3）結(jié)合圖中所顯示的調(diào)查數(shù)據(jù)，請(qǐng)為該報(bào)紙的進(jìn)一步完善提出一些建議. 這道統(tǒng)計(jì)問題已經(jīng)把“數(shù)”和“形”聯(lián)系得非常緊密了. 無須教師做過多講解，學(xué)生們也已經(jīng)深深感受到了數(shù)形結(jié)合思想的重要性.

從很大程度上來講，想要將統(tǒng)計(jì)知識(shí)學(xué)習(xí)到位，就是要學(xué)會(huì)如何讀懂統(tǒng)計(jì)圖. 無論是柱狀圖、餅狀圖，還是數(shù)據(jù)表格，其中都隱含著豐富的數(shù)量關(guān)系. 只有讀懂圖，找準(zhǔn)足夠的信息，才能明確統(tǒng)計(jì)思路，順利解答問題. 因此，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)于統(tǒng)計(jì)知識(shí)學(xué)習(xí)的價(jià)值不言而喻.

總之，從思想方法的層面入手處理數(shù)學(xué)問題，不僅是一個(gè)具體的解題操作，更是對(duì)學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維方式設(shè)定出了一種高效率的模式. 通過這樣的教學(xué)，學(xué)生們?cè)诿鎸?duì)一個(gè)具體的知識(shí)內(nèi)容或是數(shù)學(xué)問題時(shí)，不再是將目光狹窄地局限于當(dāng)前內(nèi)容的解答當(dāng)中，而是能夠站在更高的角度分析問題，并以規(guī)律性的方法對(duì)之進(jìn)行分類，從而選擇有效的思想方法來處理. 數(shù)學(xué)知識(shí)是“數(shù)”與“形”的結(jié)合，以數(shù)形結(jié)合的思想方法來分析問題，顯然是最為直接和必要的途徑. 作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)階段，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，并廣泛使用數(shù)形結(jié)合，無疑是為整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的高效推進(jìn)開了一個(gè)好頭.