斐波那契數列的內涵和應用價值

楊順祥

一、斐波那契數列的由來

澳大利亞、新西蘭本來是沒有兔子的。

1859年，澳大利亞的墨爾本動物園從英國運來24只兔子供人觀賞。不料，1864年的一天，動物園失火，幸免于難的兔子逃到草原上。一望無垠的大草原，不僅飼草豐美，沒有天敵，野兔的繁殖非常快。到1928年，兔子數量狂增至40億只，遍及澳大利亞的2/3地區。它們吃莊稼，毀壞新播下的種子，啃嫩樹皮和牙，并且打地洞損壞田地和河堤。它們消耗了牧場牧草和大量灌木，使畜牧業面臨著滅頂之災。問題還在于兔子破壞了植被，又引起了水土流失。一時，兔災成害，人民遭殃。新西蘭也引進了兔子，32年兔成災。

這些地區從實踐中體悟到兔子繁殖的神奇速度問題，其實，早在630年以前，意大利數學家斐波那契就從理論上論述了這個問題，只是那時沒有引起注意，在他的《算盤書》一書中，就說到了兔子繁殖問題。

題意是：假設一對剛出生的小兔一個月后就能長成大兔，再過一個月就能生下一對小兔，并且此后每個月都生一對小兔，一年內沒有發生死亡，問：一對兔子，一年內繁殖成多少對兔子？

對于n=1，2，……12，令 表示第n個月開始時兔子的總對數， 分別是未成年和成年的兔子（簡稱小兔和大兔）的對數，則

顯然，F1=1，F2=2，而且從第三個月開始，每月的兔子總數恰好等于它前面兩個月的兔子總數之和， 按照這個規律寫下去，就得：

1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。

這就是斐波那契數列的通常定義，也就是數列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，這個數列又叫黃金數列。

列昂那多又名斐波那契，所以這個數列稱作斐波那契數列，其中每一項稱作斐波那契數。

二、斐波那契數列的內涵

1.在斐波那契數列中，前后兩項的比值 是以黃金數0.618為極限的。

2.斐波那契數列的任意相鄰四項滿足 。

3.在斐波那契數列中或根據數列后一項是前兩項之和形成的類斐波那契數列中，有前十項之和等于第七項的11倍。

4.科學家發現無論在數學領域還是在自然界中都有很多有趣的現象與斐波那契數列有關。

三、斐波那契數列的應用價值

1.應用舉例

斐波那契數列的重要價值還在于它能作為一些實際問題的數學模型，從而使復雜的實際問題轉化到我們熟悉的數學問題的解決上。

問題一：一枚均勻的硬幣擲10次

問：不接連出現正面的可能情形共有多少種？

解：設將這枚硬幣擲了n次，沒有接連出現正面的數目為 ，則 = 2 =3（正——反，反——正，反——反）， =5

一般的，若第n+2次擲出的是反面，則第n+2次中無接連出現正面的數目是 ；若第n+2次擲出的是正面，則第n+1次需擲出反面，這樣無接連擲出正面的數目為 ，所以 = + ，n=1，2，3……

這樣， = + =8， = + =13， =21， =34， =55， =89， =144.

所以，不接連出現正面的可能情形共有144種。

問題二：街頭叫賣聲與斐波那契

“街頭叫賣聲”是怎么操作的？有最佳的操作方案嗎？

解：（1）操作方法如下。

操作時，需兩臺錄音機，相互之間反復播音和錄音。當一臺錄音機播音時，另一臺錄音機同時開始錄音，如此方法操作。

第一步：第一臺錄音機先直接錄入一段人的叫賣聲。

第二步：第一臺錄音機播放剛才錄的那段聲音，同時，第二臺錄音機錄入這段聲音。

第三步：第二臺錄音機播放剛才錄的那段聲音，同時，第一臺錄音機在上次錄的磁道后，接著錄入這段聲音。

第四步：第一臺錄音機播放前兩次錄的那段聲音，同時，第二臺錄音機在上次錄的磁道后，接著錄入這兩段聲音。

如此反復，直到錄到所需要的時間長度為止。

（2）設將第一步錄入的聲音遍數記作 ，第二步錄入的聲音遍數記作 ，在第三步中，總錄入的聲音遍數記 ，……在第n步中，總錄入的聲音遍數記 ；由上面的操作步驟，得 =1， =1. （n 3）

（3）若吆喝一遍叫賣聲，連同中間停頓共需10秒鐘，那么錄制一盒長為1小時的磁帶只需操作幾步？

所錄制的長度依次為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，……

因為377>3600/10，故連續操作14次就可以錄制一盒可以播放1小時的磁帶。

2.雄蜂家族問題

從蜜蜂的繁殖來看，雄蜂是由未受精卵孵化而成的，只有母親，沒有父親，而雌蜂是由受精卵孵化的，所以有一父一母，因為蜂后產的卵，受精的孵化為雌蜂，未受精的孵化為雄峰。人們在追溯雄峰的祖先時，一只雄蜂僅有一個母親，沒有父親，所以兩代的數目皆為1；而這只雄風的母親（雌蜂）必有一父一母，所以第三代的數目是2；而第三代的雄蜂又僅僅有母親，雌蜂則又有一父一母，所以第四代的數目是3；按照這個規律，則一只雄峰每代的祖先的數目剛好就是“斐波那契數列”。

3.樹木生長問題

如果一根樹枝每年長出一根新枝，而長出的新枝兩年以后，每年也長出一根新枝，并且每一條樹枝都按照這個規律長出新枝，這樣，第一年只有主干；第二年有2枝；第三年有3枝；接下去是5枝，8枝，13枝……那么把這些樹枝數排起來，也構成一個“斐波那契數列”。

4.斐波那契數列與魔術

生活中我們常常相信親眼所見，但又常常為自己的眼睛所騙，魔術就是一個很好的例子。數學中也有這種欺騙我們眼睛的奇妙的數學魔術，好多魔術家運用障眼法及數學原理，讓我們百思不得其解。

總之，神奇的斐波那契真的是不可思議，他的發現不僅讓數學又踏入了一個高峰，更重要的是他對數學及其他領域的貢獻，他把人們引入一個神奇而又神秘的境界，不僅探索它的性質，尋覓它有生命的數字秘密，而且繁衍出許多有缺的數學游戲，魔術、拼圖等。斐波那契數列的內涵和它的應用價值還不僅僅是以上所述的這些，在許多領域里它都有廣泛的應用。人們掌握的只是些鳳毛麟角，可見這個黃金數列的前途是無可限量的。