有關高中數學教師課后答疑成效的探討

左睿++唐翠芳

[摘 要] 本次研究發軔于筆者在教育實習實踐階段對一線數學活動的觀察、參與及反思. 因此本文采用的研究方式為案例研究. 所探討的核心問題是如何才能使中學數學學科的課后答疑的收效落到實處，為此筆者結合案例對這一問題展開了分析. 首先從正反兩個方面討論了案例中教師的做法的長處與不足. 其次通過和有經驗的老教師的交流，筆者嘗試改進了案例中的答疑方式.最后對案例進行了歸納與總結并提出了確保課后答疑有效實行的兩點關鍵因素. 其一教師應掌握精深的數學知識. 其二教師必須具備須靈活的教學智慧.

[關鍵詞] 課后答疑；三角函數；案例研究

前言

課后答疑作為數學教學中必要的一環，不僅能夠鞏固落實課上教學的效果，而且還有著其他教學形式無可替代的作用[1] . 為了闡明該觀點，不妨將“課后答疑”、“課上問答”、“作業批改”視為師生之間信息的交流三種主要模式，接著對比“課后答疑”與后兩者的不同. 首先與“作業批改”的書面形式相比“課后答疑”以口頭交流的方式進行，顯然更具實效性. 其次較“課上問答”而言，“課后答疑”中涉及的問題對學生更有含金量.因為學生對新知的建構需要經歷一個反復思考以同化或順應的過程. 當然這并非一帆風順，他們很可能會愕然發現課上似乎明明還答得出來的小問題在課下卻成了百思不得其解的大麻煩. 最后上述三者中，鑒于“課后答疑”的形式通常是一對一的，而且學生是主動發問的一方.因此教師在答疑時便可針對學生的具體問題因材施教[2] .

然而課后答疑，持續的時長一般為10～20分鐘，規模也比較小通常只有師生兩人，而且與正式課堂相比答疑時的氛圍相對輕松舒緩. 這難免會對剛入職不久的新手教師產生一種誤導. 即：課后答疑就是幫學生亡羊補牢，重點是學生知識體系的鞏固與修補，至于教師講授知識的方法或形式大可不必同課上教學那樣精雕細琢，而且也來不及細細琢磨. 為了駁斥這一說法. 下文整理實錄了發生在貴陽二中某班午間休息時的一次答疑活動.其中進行答疑的教師是一位教齡不滿三年的新手型教師，答疑的焦點是三角函數誘導公式.

生：“對± 的誘導公式的記憶始終不理想，該怎么辦呢？”

師：“可以通過口訣的方式進行記憶.奇變偶不變，符號看象限.”

生：“必須這樣照搬程序嗎？要是能像其他幾組誘導公式靠理解來記憶就好了.”

師：“也不一定，能談談你所說的理解記憶的方法嗎？”

生：“結合三角函數定義與三角函數線得到如下三種劃分.”

（1）由α與α的終邊關于x軸對稱記憶sin（-α）=-sin（α），cos（-α）=cos（α）.

（2）由α與α+2kπ（k∈Z）的終邊重合記憶sin（α+2kπ）=sin（α），cos（α+2kπ）=cos（α）.

（3）由α與α+π的終邊關于原點對稱記憶sin（α+π）=-sin（α），cos（α+π）= -cos（α），tan（α+π）=tan（α）.

師：“理解很到位，而且課上也是這樣講的.”

生：“那為何不將該方法貫徹到底？反而要死記硬背呢？”

師：“因為口訣便于操作.其流程分做下述兩步.”

（1）定名稱. α+（2k+1） 時sin與cos、tan與cot互相轉變；α+（2k） 時原三角函數名保持不變.

（2）定正負. 把α看成銳角……

生：“稍停一下. （1）中α+（2k） ？圳α+kπ，這就是‘偶不變的原因. 那當 的系數為奇數時函數名為何要改變？”

師：“用你熟悉的三角函數線來解釋. 定名時先不考慮正負，因此默認α為銳角并作出相應示意圖.”

圖1

圖2

師：“記∠AOB為α，則∠A1OB為α+ ，∠A2OB2為α- ，圓O半徑為1. 試用△AOB三邊表示sinα，cosα.”

生：sinα=AB，cosα=OB.

師：“類似地利用△A1B1O表示sinα+ ，cosα+ ，利用△A2B2O表示=sinα- ，cosα- .”

生：sinα+ =A1B1，cosα+ =B1O，sinα- =A2B2，cosα- =B O.

師：“別忘了，上述三個直角三角形兩兩全等，于是……”

生：sinα=cosα+ =cosα- ，

cosα=sinα+ =sinα- .

師：“很好，而初中銳角三角函數中關于互余兩角的正余弦函數名的變化恰為上述討論的一種特殊情形.”

生：“可確定正負號時，為什么也可以把α當作銳角？”

師：“......因為書上就是這么規定的嘛，大家都是這么理解的.”

生：“不能像剛才一樣解釋一下嗎？”

師：“別太鉆牛角啦！”

生：（悻悻而回）

現在有請各位讀者對上述案例中教師的答疑教學做出一個評價并說明理由. 然而我們卻不難把針對該問題的諸般看法大致地歸納劃分成旗幟鮮明的兩大對立陣營. 為了便于描述筆者用甲、乙兩方代表這兩種不同的觀點.

甲方觀點認為，案例中教師的答疑毫無疑問是失敗的.學生前來的目的是為了找到一種通過理解而非死記硬背的方式掌握三角函數的誘導公式. 而就最終的結果來看教師沒能通過答疑徹底地幫學生排憂解惑. 此外更令人擔憂的是案例中教師在與學生交流時并沒有注重教學用語的規范表述. 這不僅要求教師能夠用簡明準確的語言講解專業知識，還要求教師具有一定的談話技巧，兼顧聽話人的情感與自尊心. 比如：案例第三小節中類似“書上是這么規定的”、“不要鉆牛角”的表述都可能挫傷學生的學習主動性，使得教師在學生心中的形象大打折扣.

乙方觀點認為，案例中教師的答疑從過程來看是無可厚非的. 首先：從案例第一小節中學生回答問題的情況來看，他的問題并非出在誘導公式的掌握上而在于其特有的學習習慣，即對無法用理解記憶的知識產生一種執拗的排斥，但有時機械記憶卻是必要而高效的.因此適當地讓其“碰壁”或許能夠促使該生在學習方法上做出改變. 其次：結合案例第二小節可知該生已經對“奇變偶不變”中 系數為偶數的情況理解得十分準確了. 接著教師，如圖1、2，分別在單位圓中作出α、α± 進行比較從而講清了函數名變化的原理. 此時需要學生強記的就只有函數變名后的正負號，這便達到機械記憶與理解記憶的平衡.

綜合甲、乙兩方觀點不難發現甲方評斷答疑是否有效的標準是以“受教育者”的視角建立的，即充分重視學生在答疑中的體驗與收獲. 相比之下乙方則傾向站在“教育者”的立場去判斷答疑的收益，把答疑視為對教師課堂教學的有效補充手段. 然而就為了實現課后答疑的根本目的而言，絕不應該將這兩種價值觀對立起來[3] . 有了這樣一個基本認同后讓我們再次解剖先前那只“麻雀”.

學生為什會來答疑呢？學生為何會喜歡來答疑呢？這顯然是兩個截然不同的問題. 一般而言我們都會理所當然地認為當學生在學習上遭遇挫折時便會向教師求助. 但事實證明能夠主動走到教師辦公室去尋求幫助對學生而言甚至是需要一種勇氣的. 因為在答疑過程中學生學業上的缺點與不足充分地暴露展示給教師，從客觀上講這會導致學生自我效能感的下降，而自我效能的持續降低終將阻礙學生形成繼續參與答疑的內驅力. 當然也有教師認為對真正好學的學生無論如何都不會放棄求知的！話雖如此，可是學生們卻有權利也更傾向于選擇他們能夠接受的解惑方式. 這也就不難解釋為何有的學生寧愿自己苦思冥想或者求助其他同學，甚至不惜高價聘請私人家教，也不愿向自己的任課教師請教的緣故.

因此教師必須想方設法在答疑的過程中增強學生的自我效能感. 為了達到這一目的教師首先應當注意與學生交流的方式. 但是在筆者看來這并非是要教師在說每句話前都要斟酌一番，跟學生“報喜不報憂”. 根據英國密德薩斯大學戴安·蒙哥馬利教授的研究教師激發學生積極學習態度的前提是教師自身能夠以認真不敷衍的態度對待學生[4] . 相比之下案例中教師的講解則呈現出一種典型的虎頭蛇尾的態勢. 即在講解自身熟悉的內容時尚能做到循循善誘. 在這一階段教師并沒有直接回答學生提出的問題而是設法搭建腳手架，即用一系列相關的簡單的小問題引導學生自己找出問題的答案. 這一做法顯然是值得稱道的，因為學生主要憑借了自身的力量解決了問題，從而實現了學生自我效能感的提升. 毫無疑問到此為止這名學生的心情應當是非常愉悅的. 可不幸的是當碰到意料之外的問題時這位教師卻換成上一副冷面孔. 似乎還在埋怨學生過于偏執，所提的問題沒有回答的價值. 這前后一熱一冷的強烈反差怎能不叫學生失望呢？

那現在假設您自己就是上述案例中的那位教師. 當學生向你提出“sinα=cosα+ =cosα- 、cosα=sinα+ =sinα- 在確定正負號時，為什么也可以把α當作銳角”的問題時，您會怎樣回答呢？如果一時想不到答案您又會如何做呢？無可否認與課堂教學相比，在課后答疑中學生問題的多樣性、特殊性增加了. 因此其中時不時就會蹦出些令教師頭痛不已的“奇思怪想”. 此時教師不能輕易抹殺學生提問的價值，無論其問題在形式看來有多么的荒謬畢竟都是學生經過一番思考后的成果. 換而言之我們也不該一面不停地鼓勵學生積極思考，另一面又總是隨意否定其思考的價值. 可“把α當作銳角”的確是教材上的原話（人教版高中數學必修4，P26），教材并沒有對其做出過多的解釋. 為此經過與有著多年教齡的專家級教師商議，筆者嘗試將原先案例中的答疑方式做如下改進，具體流程分為兩個環節：

首先，要講清所謂“符號看象限”指的是變名之后，sinα前添加的正負號要與cosα± 本身的正負保持一致. 類似的cosα前添加的正負號與sinα± 本身的正負保持一致. 而之所以能將α視為銳角或者說第一象限內的角，則是因為即便α位于其他象限，sinα、cosα前正負號的添加規則恰巧與α在第一象限時完全相同.

其次，若經上述解答學生仍存疑問，在答疑時間、學生接受能力等條件都允許的前提下可采用分類枚舉的方式來深入講解. 鑒于對教師答疑效率、學生有意注意能夠持續的時間上限等因素的考慮，研究建議教師要避免對α分屬于二、三、四象限時三種情形的逐一討論而應當先讓學生隨機選定α所在象限，再由教師進行分析. 具體結果如表1、表2：

總結

為了形成師生之間良好的答疑互動交流，教師可以嘗試從兩個方面做出努力.

對教師而言，必然要求其對本專業學科知識有著深入而全面的理解，而這種理解最終顯化為教師能夠不拘泥于教材的限制. 在筆者看來課本更像是對教師教學進度與難度做出的一個統一的簡要標準，因此我們無法指望能夠直接從書中獲得所有問題的答案. 同時數學教師教學的意義也正是在于能夠將數學知識由抽象、簡略的學術形態轉化為生動、翔實的教育形態. 上述案例中教師答疑失敗的根本原因就是在于缺乏對數學專業知識的深入思考，以至于被學生問了個措手不及，不得不敷衍了事[5] . 值得注意的是類似于“把α當作銳角”的提問并不在少數. 僅在高一階段學生就足以拋出這樣較為刁鉆的問題，比如：π到底是度數還是實數，180°=3.1415…？a<0、a=1時y=ax為何不是指數函數，是不是函數？數列為什么可以視為函數，應當如何理解函數的定義域為非空數集？等等.

然而除去精深的學科知識外，教師在教學中處理問題的方式也將直接影響教學活動的效果，這主要體現在教師與學生交流的方式上. 比如上述案例中導致學生由興致勃勃變為悻悻而歸的直接原因，便是教師教學智慧的匱乏. 試想一下如果教師能夠坦誠地告訴學生自己不能立即解答當前這一問題并約定一個明確的時間給予答復，那么學生也很可能對此表示出充分的理解. 當然也會有讀者強調案例中學生太過于任性，只重視理解記憶忽視機械記憶必然導致學習效率的低下[6] . 的確教師不能對此視而不見，不過學生的某種學習偏好與習慣一旦形成就較難發生改變. 教師一味地空洞說教非但不能起到預期的收效，反倒會激起學生的反感. 顯然案例中教師告誡學生不要鉆牛角尖的本意是為了改進學生的學習方式，可結果卻事與愿違. 如果他能夠采用表1、表2中的枚舉法讓學生親身體會到適度機械記憶的優勢，則必將事半功倍.

參考文獻：

[1] 何建東. “探析式”答疑在中學數學教學中的實踐思考[J]. 數學通報. 2010，49（4）：25-27.

[2] 劉萍. 發揮學生主體作用提高課后答疑效果[J]. 高中數學教與學. 2015（7）：1-2.

[3] 井維華. 論學生的主體性發展與教師主導作用的辯證統一[J]. 教育評論.1997（2）：37-39.

[4] Diane·Montgomery.Helping Teachers Develop through Classroom Observation， Second Edition[M]. David Fulton Publishers Ltd （Oct. 18 2013）.ISBN-10：113414590X.ISBN-13： 978-1134145904.

[5] 黃毅英. 數學教師不怕被學生難倒了：中小學數學教師所需的數學知識[M]. 華中師范大學出版社.2012.

[6] 楊冰. 把“機械記憶”轉化為“理解記憶”的探索[J]. 教育理論與實踐.2008（28）：89-91.