基于“三個理解”下的習題課教學

黃彩林

[摘 要] 當前相當部分的習題課教學現狀為：學生學習過程單一、活動機械；留給學生“悟”的時間太短，甚至沒有，直接進行題海轟炸. 殊不知教師的教應建立在學生的學的基礎上，教學生怎樣思考才是教師教學的首要任務.筆者在“三個理解”的指導下，通過分層遞進地設計習題，利用溯源抓根本，開放設問適度拓展，有效地幫助學生更好地在課堂上舉一反三、觸類旁通，教學效果好.

[關鍵詞] 適度拓展；分層遞進；三個理解

眾所周知，我們組織習題課教學，旨在強化重點知識，突出考點，強化能力. 在特定的單位時間內，完成課標規定的教學內容，選用合適的呈現方法及策略，但現實中要取得好的教學效果往往不盡人意. 人民教育出版社中學數學室編審章建躍博士指出：一節好課到底好在哪里？這樣的好課是怎么成長起來的？它的基礎在哪里？這是一個值得從教育學、心理學乃至社會學、哲學等各種角度去探討的問題. 但從最基本的層面看，從“一堂數學課”的角度看，筆者認為還是在“三個理解”，即：理解數學、理解學生、理解教學.

基于以上認識，筆者通過精心設置習題鏈，分層遞進，通過溯源抓根本，開放設問適度拓展來組織教學，學生反響不錯. 下面以“根據數列的遞推關系求數列的通項公式”為例加以說明.

教學實錄

1. 從根本出發

（1）在數列{an}中，已知a1=2，an+1=an+5（n∈N*），則數列{an}的通項公式是__________.

（設計意圖：通過此題，引導學生回顧等差數列的基本概念，揭示遞推關系與通項公式的關系，學生稍加思索就能答出.）

生1：已知a1=2，an+1=an+5（n∈N*），易得a2=7，a3=12，a4=17，…，觀察得出an=5n-3.

生2：an+1=an+5可化為an+1-an=5，由等差數列的定義可知數列{an}是公差為5的等差數列，故an=5n-3.

生3：an+1=an+5可化為an+1-an=5，寫出a2-a1=5，a3-a2=5，…，an-an-1=5，將上述等式累加，得an=5n-3.

（以上3位學生的回答，反映了學生在不同的認知水平及解決問題的能力差異，呈現了學生對等差數列概念的理解程度.）

師：很好！這三個途徑均能很好地解決這個問題，生2根據等差數列的定義直接算出結果，速度較快.這類通過數列的遞推公式求數列通項公式在考試中較常見，本節課我們來共同探討如何求數列的通項公式. 請同學們思考第（2）題.

（2）在數列{an}中，已知a1=2，an+1=5a1（n∈N*），則數列{an}的通項公式是__________.

（設計意圖：類比（1），使學生通過類比思考，達到知識技能的正遷移.）

生4：an+1=5an可化為 =5，由等比數列定義可知數列{an}是首項a1=2，公比為5的等差數列，故an=2×5n-1.

教師巡視課堂發現大部分學生均采用這種方法.

師：不錯，看來同學們已經學會了采用較為優化的方法解決本題，但老師有兩個問題想問大家，一是等差數列、等比數列的通項公式是如何得到的？二是你能一眼看出遞進關系得出其是否為等差數列或等比數列嗎？

生5：我只知道記通項公式，至于其是怎么推導的，忘記了.

生6：遞推關系應該有很多，具體化簡得到什么樣的結果還有待進一步探討，具體還不是很了解.

師：那好，讓我們再次回顧課本中等差、等比數列的由來，請同學們用心領會其蘊含的數學思想方法.

2. 回歸課本，溫故知新

（1）引導學生回顧課文（人教A版必修5課本第37頁）

PPT展示：

等差數列通項公式的推導

如果等差數列{an}的首項是a1，公差是d，則據其定義可得：

a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，an-an-1=d，將上述n-1個式子累加可得等差數列的通項公式：an=a1+（n-1）d.

（2）引導學生回顧課文（必修5課本第50頁）等比數列通項公式的推導

課本是通過探究，類比等差數列通項公式的推導得出其通項公式.

如果等比數列{an}的首項是a ，公比是q，則據其定義可得：

=q， =q， =q，…， =q，將上述n-1個式子累乘可得等比數列的通項公式：an=a1qn-1.

師：高考題源于教材，高于教材，請同學們要好好領悟課本中公式的來龍去脈及所蘊含的數學思想方法.

3. 拓展探究

師：根據前面所學，思考探究.

PPT展示：拓展探究：在數列數列{an}中，已知a1=2，an+1=（ ）an+（ ）（n∈N*），在（ ）中填入合適的內容，構成新的遞推關系，并根據遞推關系討論求出數列通項公式的方案.

生7：a1=2，an+1=an+2015（n∈N*），顯然我構造了一個首項為2，公差為2015的等差數列，an=a1+（n-1）d=2+（n-1）×2015=2015n-2013.

生8：a1=2，an+1=8an（n∈N*），我構造了一個首項為2，公比為8的等比數列，an=a1qn-1=2×8n-1.

師：同學們可以歸納下上述2位同學的做法嗎？

生9：剛才兩位同學所得的遞推關系與（1）（2）差不多，待入的數值均為常數，通過轉化，利用等差數列、等比數列的定義，進而求出通項公式.

師：很好，這些可歸為一類簡單問題，同學們還有其他想法嗎？

生10：我的想法是將題目改為這樣a1=2，an+1=an+n（n∈N*）.

師：不錯，此時數列{an}還是等差數列嗎？此類問題又應該怎樣解，同學們討論下.

生11：不是，因為an+1-an=n，其差值為一變量. 可仿照累加法推導等差數列通項公式得出通項. 具體為：a2-a1=1，a3-a2=2，a4-a3=3，…，an-an-1=n-1，將以上n-1個算式相加可得an= .

師：不錯，同學們還可以將些問題更為一般化嗎？

生12：教材中等差數列通項公式的推導均可歸納為an-an-1=f（n-1）型. 算法如下：若an-an-1=f（n-1）（n≥2），則a2-a1=f（1），a3-a2=f（2），a4-a3=f（3），…，an-an-1=f（n-1），將式子列出后，累加可得an-a1= f（i）.

展示同學們自編的三道題：

題目1：在數列{an}中，a1=1，當n≥2時，有an=3an-1+2，求an.

生13：設an+λ=3（an-1+λ），an=3an-1+2λ，對比an=3an-1+2，得λ=1，所以an+1=3（an-1+1），所以數列{an+1}是首項為a1+1=2，公比為3的等比數列，an=2×3n-1-1. 再進一步思考，將題目中常數3和2換為變量，那不是更加一般啦.

師：不錯，我們可以將之稱為an+1=pan+q型. 對于此類問題，我們一般采用待定系數法，通過構造新的等比數列來解決. 類比題目1的解題過程展示如何用待定系數法構造新的等比數列的過程.

題目2：在數列數列{an}中，已知a1=1，an+1= an（n∈N*），求數列{an}的通項公式.

生14：由a1=1，an+1= an（n∈N*），有 = ，故

= ， = ， = ，…， = ，將以上n-1個算式相乘可得an=n.

師：不錯，同學們還可以將以上問題更一般化嗎？

生15：歸納為 =f（n-1）型. 算法如下：若 =f（n-1）（n≥2），則 =f（1）， =f（2）， =f（3），…， =f（n-1），將式子列出后，累乘可得 = f（i）.

題目3：在數列{an}中，已知a1=2，an+1=2an+2n+2（n∈N*），求數列{an}的通項公式.

生16：a1=2，an+1=2an+2n+2（n∈N*），有 = +2， - =2，故數列 是首項為1，公差為2的等差數列，得 =1+（n-1）×2=2n-1，an=（2n-1）×2n.

師：同學們通過主動探索得到不同形式的遞推關系，通過等價化簡構造相應的等差、等比數列，進而得出通項.

4. 真題呈現

探究1：數列{an}滿足a1=1，且an+1-an=n+1（n∈N*），則數列 的通項公式為_________.

投影展示并點評：

由a1=1，an+1-an=n+1（n∈N*）得

an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+2+3+…+n= ，則 = .

探究2：已知數列{an}的首項a1= ，an+1= ，n=1，2，…，求{an}的通項公式.

投影展示并點評：

因為an+1= ，所以 = + ，所以 -1= -1.

又 -1= ，所以 -1是以 為首項， 為公比的等比數列，

所以 -1= · = ，所以an= .

探究3：設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n（n∈N*），設bn=Sn-3n，求數列{bn}的通項公式.

投影展示并點評：

依題意，Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，

由此得Sn+1-3n+1=2（Sn-3n）. 因此，所求通項公式為bn=Sn-3n=（a-3）2n-1（n∈N*）.

5. 回顧反思

師：本節即將結束，請你就根據數列的遞推公式求數列通項談談你的收獲？

引導學生構建知識網絡，繪制思維導圖.

教學思考

1. 課堂教學的預設要基于三個理解設計

“理解數學”上具有高水平，這是一堂好數學課的前提條件. 因此教師要善于挖掘數學知識蘊含的價值觀資源，并能以與學生智力發展水平相適應的方式表達出來，以恰當的方式傳達給學生，才能有效地實現數學課程的育人目標.

“理解學生”，核心是理解學生的數學認知規律和情感發展規律. 本節執教的班級為A類班級，學生具有一定的自主學習能力. 因此本節分層遞進，引導學生一步一步地由等差、等比數列的通項公式引發一系列的思考，并及時地進行了歸納總結. 給充足的時間讓學生獨立自學、自主探究，促學生更好地感悟數學.

“理解教學”是對數學教學規律的認識和教學機智的敏銳水平. 理解數學、理解學生是把數學教好，發揮數學的育人功能的前提條件. 本節教學量體裁衣，將教學內容、師生互動、生生交流完滿結合，促學生在對話交流中完成對本節數學知識的理解，很自然地實現教學目標的達成.

2. 課堂教學的流程要找到適合學生思維生長的源頭

建構主義學習理論認為，學習過程是學習者建構自己的知識經驗的過程，而建構在于學習者通過新舊經驗的相互作用來發展自己的知識經驗. 本節通過兩道等差、等比數列的等價定義題作為引例再回歸課本，使學生清晰理解等差、等比數列通項公式的來龍去脈，在此基礎上引導學生自主增添變量，自主拓展歸納題型，并進行高考真題演練. 由此找到等差、等比數列通項公式這個源頭，更好地幫助學生理解累加、累乘法在具體解決數列中的運用；引導學生從知識技能及數學思想層面進行系統歸納，進而提高學生解決類似數學問題的能力.