例談特征根方程求解線性遞推數(shù)列

戴培紅

[摘 要] 特征根方程是求解線性數(shù)列通項(xiàng)中必備的知識(shí)，將數(shù)列問題通過特征方程轉(zhuǎn)換為可求解的通式模型. 本文簡(jiǎn)要介紹特征方程原理的來源，并例談解決線性數(shù)列中使用特征方程的作用.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)列；特征方程；線性；二階；分式

在數(shù)列通項(xiàng)求解中，有幾類數(shù)列通項(xiàng)求解難度較大，往往涉及競(jìng)賽數(shù)學(xué)中的知識(shí). 特征方程求解數(shù)列通項(xiàng)正是其中一類. 在不少稍難數(shù)列通項(xiàng)求解過程中，需要用到特征方程的原理，但是筆者發(fā)現(xiàn)很多教師只講特征方程的運(yùn)用，并不講原理的來源，這是典型的應(yīng)試教育、灌輸式教育，是不妥的，因此筆者認(rèn)為先要講清原理的來源，才能真正體會(huì)特征方程原理的作用.

二階線性特征方程原理

定理：設(shè)p，q為實(shí)數(shù)，α，β是方程x2-px+q=0的兩個(gè)實(shí)根，已知數(shù)列{xn}的前兩項(xiàng)為x1，x2，且滿足xn=pxn-1-qxn-2（n=3，4，…），證明：數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為：（Ⅰ）α≠β，xn=Aαn+Bβn，A= ，B= ；（Ⅱ）α=β，xn=（A+Bn）αn，A= ，B= .

證明：（Ⅰ）其中p-q=1時(shí)，由p-q=1，得：p=1+q，代入遞歸式，易得：xn=x1+ .

（Ⅱ）其中p-q≠1時(shí)，當(dāng)p-q≠1時(shí)，受（Ⅰ）啟示，設(shè)原遞歸數(shù)列能表示為：xn-αxn-1=β（xn-1-αxn-2） （n≥3），整理得：xn=（α+β）xn-1-αβxn-2，與原遞歸式比較系數(shù)，得：α+β=p，αβ=q，可見α，β是方程x2-px+q=0（*）的兩根（實(shí)虛均可）①.

若x2-px+q=0有兩不同實(shí)根α，β，xn-αxn-1=β（xn-1-αxn-2）=…，遞推之得：xn-αxn-1=βn-2（x2-αx1）（1），同理：xn-βxn-1=αn-2·（x2-βx1）（2），聯(lián)立（1）（2）兩式解得：xn=x2 +（-αβ）x1 （3），化簡(jiǎn)并合并同類項(xiàng)，可得：xn= αn+ βn. 令：xn=Aαn+Bβn，其中：A= ，B= .（4）②.

若t2-pt+q=0有兩相同實(shí)根α=β，則由（1）式可得：xn-αxn-1=（x2-αx1）αn-2（5），整理（5）式：xn=αxn-1+（x2-αx1）αn-2，兩邊同除以αn： = + ，因此 以 為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列. 得：xn= + ·nαn，令：xn=（A+Bn）αn，其中：A= ，B= ，（6），綜上（4）（6），定理證畢.

特征方程的運(yùn)用

從二階線性特征方程定理的理解來看，不難發(fā)現(xiàn)α，β代表的含義是其特征方程的兩根，從上述定理可知，很多類似的競(jìng)賽問題中的答案就不難看懂了，為什么可以簡(jiǎn)化為類似的過程.

運(yùn)用一：二階線性遞推數(shù)列

問題1：設(shè)p，q為實(shí)數(shù)，α，β是方程x2-px+q=0的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列{xn}滿足x1=p，x2=p2-q，xn=pxn-1-qxn-2（n=3，4，…），求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式（用α，β表示）.

分析：本題與定理幾乎一致，我們可以從定理的結(jié)論入手，直接使用驗(yàn)證定理的正確性.

解析：（Ⅰ）當(dāng)α≠β時(shí)，因?yàn)閤2=p2-q，x1=p，所以x2=α2+β2+αβ，x1=α+β，A= = = ，B= = = ， ，所以xn=Aαn+Bβn= + = .

（Ⅱ）當(dāng)α=β時(shí)，所以x2=3α2，x1=2α，A= = =1，B= = =1，所以xn=（A+Bn）αn=（n+1）αn.

綜上（Ⅰ）（Ⅱ）所述，數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為：xn= ，α≠β，（n+1）αn，α=β.

問題2（教材課后練習(xí)）：數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=4，且an+2=5an+1-6an，求{an}的通項(xiàng)公式.

分析：教材中的問題比較特殊，可以用an+2-2an+1=3（an+1-2an）整體性構(gòu)造來解，但是并不具備一般性.因此我們可以從特征方程角度入手獲得問題解決的一般性.

解析：特征方程x2-5x+6=0兩根為α=2，β=3，所以，由α≠β時(shí)特征定理，an=A·2n+B·3n，又a =1=A·2+B·3，a =4=A·4+B·9 ？圯A=- ，B= ，所以，an=- ·2n+ ·3n=-2n-1+2·3n-1.

運(yùn)用二：分式線性遞推數(shù)列

分式線性遞推數(shù)列的求解與二階類似，利用轉(zhuǎn)化將未知模型通過加減參數(shù)使其轉(zhuǎn)換為等差數(shù)列、等比數(shù)列模型，其也有固定的求解公式模型，因推導(dǎo)過程類似及本文篇幅，故推導(dǎo)不贅述.筆者通過一例簡(jiǎn)要分析.

問題3：設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1= ，求an.

分析：分式線性遞推數(shù)列是更難的一種數(shù)列模型，通過特征方程找到其顯著特征，利用整體性思想換元切入，轉(zhuǎn)換為等比或等差數(shù)列模型是解決分式遞推數(shù)列的一般化模型.

解析：對(duì)等式兩端同加參數(shù)t得：an+1+t= +t= =（2t+5）· ，令t= ，解之得t=-1、2，代入上式得an+1-1=3· ，an+1+2=9· ，兩式相除得 = · ，即 首項(xiàng)為 = ，公比為 的等比數(shù)列，易得an= .

從上述線性遞推數(shù)列的解決中，我們不難發(fā)現(xiàn)稍難的數(shù)列通項(xiàng)問題求解的一般化規(guī)律，筆者認(rèn)為教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注下列幾個(gè)方面：第一，線性遞推數(shù)列是具備模型化的數(shù)列，必然有相對(duì)應(yīng)的特征方程與之對(duì)應(yīng)，二階線性遞推數(shù)列和分式線性遞推數(shù)列是高考數(shù)學(xué)、競(jìng)賽數(shù)學(xué)常常考查的熱點(diǎn)（一階線性比較容易），成為必備掌握的兩種基本模型；第二，學(xué)習(xí)特征方程的作用是給優(yōu)秀學(xué)生開拓思路，理解數(shù)列通項(xiàng)變化中隱含的不變性，為解決其他各種陌生問題提供可借鑒的思路；第三，重視等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本知識(shí)、基本技能，并將整體化思想貫穿于通項(xiàng)求解的始終，將這種不斷變形、不斷轉(zhuǎn)化的想法融入線性數(shù)列通項(xiàng)求解中，達(dá)到順利求解的目的. 最后，筆者想說要學(xué)會(huì)運(yùn)用特征原理，更要懂得特征原理的來源，學(xué)知識(shí)不能只記公式而不去了解過程，否則知識(shí)永遠(yuǎn)達(dá)不到融會(huì)貫通的地步.