一道高考題引發(fā)的一類函數(shù)單調(diào)性思考

俞杏明

[摘 要] 由一道高考題猜想推導(dǎo)出一類函數(shù)普遍的單調(diào)性. 雖然此類函數(shù)的項(xiàng)數(shù)可以不同，但單調(diào)性卻表現(xiàn)一致，且結(jié)論非常簡單，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧、簡潔之美.

[關(guān)鍵詞] 高考題；一類函數(shù)；和諧簡潔

試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f（x）=ax+bx（a>0，b>0，a≠1，b≠1）.

（1）設(shè)a=2，b= .

①求方程f（x）=2的根；

②若對于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）-6恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值.

（2）若01，函數(shù)g（x）=f（x）-2有且僅有1個零點(diǎn)，求ab的值.

——2016屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）第19題.

提煉聚焦

在本題的第（2）問中，因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=f（x）-2有且僅有1個零點(diǎn)，而g（0）=f（0）-2=a0+b0-2=0，所以0是函數(shù)g（x）的唯一零點(diǎn)，也就是說y=f（x）與直線y=2在x=0處有唯一的交點(diǎn). 故本題第（2）問的關(guān)鍵就是研究函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性.

分析探討

在f（x）=ax+bx（a>0，b>0，a≠1，b≠1）中，

（1）當(dāng)a>1且b>1時，顯然f（x）在x∈R上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)0

（3）當(dāng)01（或者a>1且0

因?yàn)閒′（x）=axlna+bxlnb，f″（x）=ax（lna）2+bx（lnb）x>0，

所以f′（x）在x∈R上單調(diào)遞增.

令f′（x）=0，則x=log - ，

當(dāng)x∈-∞，log - 時，f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈log - ，+∞時，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增.

推廣論證

1. 函數(shù)形式推廣

如果把剛才的函數(shù)推廣為更一般的函數(shù)f（x）= a （ai>0，ai≠1），是否也可以討論出類似的單調(diào)性結(jié)論？

2. 單調(diào)性論證

在函數(shù)f（x）= a （ai>0，ai≠1）中

（1）當(dāng)ai>1，i=1，2，3，…，n時，顯然f（x）在x∈R上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)0

（3）當(dāng)ai（ai>0，ai≠1，i=1，2，3，…，n）不全大于1且不全在0到1中時，

因?yàn)閒′（x）= （a lnai），f″（x）= [a （lnai）2]>0，

所以f′（x）= （a lnai）在x∈R上單調(diào)遞增.

又因?yàn)椋?/p>

當(dāng)ak>1（1≤k≤n），則x→+∞時a lna →+∞，x→-∞時a lnak→0；

當(dāng)0

所以在f′（x）= （a lnai）=a lna1+a lna2+…+a lnan中，由ai（ai>0，ai≠1，i=1，2，3，…，n）不全大于1且不全在0到1中得

x→+∞時，f′（x）=a lna1+a lna2+…+a lnan→+∞；

x→-∞時f′（x）=a lna1+a lna2+…+a lnan→-∞.

結(jié)合f′（x）連續(xù)性，則f′（x）=a lna1+a lna2+…+a lnan=0有唯一解x .

綜合以上得

當(dāng)x∈（-∞，x0）時，f′（x）<0，y=f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（x0，+∞）時，f′（x）>0，y=f（x）單調(diào)遞增.

結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)：此類看起來很復(fù)雜的函數(shù)f（x）= a （ai>0，ai≠1）的單調(diào)性竟如此簡單、和諧、統(tǒng)一. 這大大出乎我們的意料！

觸類旁通

既然指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們具有很多類似的性質(zhì)，有時候可以把它們歸結(jié)為一類函數(shù).那么函數(shù)f（x）= logaix （ai>0，ai≠1）的單調(diào)性是否也很簡單、統(tǒng)一？

因?yàn)閒（x）= logaix= =lnx =lnx logaie，

當(dāng) logaie>0時，f（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng) logaie<0時，f（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減；

當(dāng) logaie=0時，f（x）為常數(shù)0.

解決之道如此簡單，從側(cè)面驗(yàn)證了納皮爾對數(shù)法則的強(qiáng)大.