巧用雙曲線中的特殊三角形

應俊

【摘要】 漸近線是雙曲線特有的幾何性質，它限定了雙曲線圖形的變化趨勢。與雙曲線漸近線相關的問題也是考試中常考的內容之一，利用漸近線在雙曲線中構造特殊的三角形，使解決雙曲線中涉及漸近線的問題更加快捷。

【關鍵詞】 雙曲線 漸近線 特殊三角形

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2017）05-070-02

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漸近線是雙曲線的特有幾何性質，它限定了雙曲線圖形的變化趨勢。與雙曲線漸近線相關的問題也是考試中常考的內容之一，利用漸近線在雙曲線中構造特殊的α三角形，可以為解決一些復雜的問題帶來很大方便。那么什么是α三角形，如何巧妙的利用這種特殊的三角形解題，本人結合自己教學中的總結，整理成文，與大家一同交流。

定義 F為雙曲線x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，過F作雙曲線的漸近線y=b1ax的垂線，垂足為P，稱ΔOPF為雙曲線的α三角形；

雙曲線的α三角形的性質有：

1.設∠POF=α，則tanα=b1a；

2.設雙曲線的焦距為2c，則在RtΔOAF中，OF=c，OP=a，AF=b；

根據上面給出的定義，我們知道α三角形是與雙曲線的漸近線相關的三角形，那么它可用于解決與雙曲線的漸近線相關的問題，如何在題目中發現α三角形，如何利用α三角形解題，就至關重要。

例1.如圖所示，已知雙曲線x21a2-y21b2=1（a>b>0）的右焦點為F，過F的直線l交雙曲線的漸近線于A、B兩點，且直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，若AF=2FB，則該雙曲線的離心率為（ ）

A.3214B.2313

C.3015D.512

解法1：雙曲線x21a2-y21b2=1（a>b>0）的漸近線方程為y=±b1ax，

因為直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，所以kOA=2b1a11-b21a2=2ab1a2-b2，

于是直線l的方程為y=2ab1a2-b2（x-c），

與y=±b1ax聯立，可得y=-2abc13a2-b2或y=2abc1a2+b2，

又因為AF=2FB，

所以2abc1a2+b2=2·（2abc13a2-b2），化簡得a=3b，

從而e=c1a=2313.

評析：本題是雙曲線的問題，本解法是最常規的一個解法，也是絕大多數參考書中給出的解法，它利用AF=2FB得出A，B坐標滿足的關系，從而得到關于a，b，c的一個等式，進而求出離心率，本法的優點在于容易想到，而且是公式化的一種解法，但缺點在于小題大做，計算繁瑣，容易出錯，需要花費大量的時間在這一小題上。

解法2.設∠AOF=α，∠AFx=2α，則∠OAF=α

所以ΔOAF為等腰三角形，|OF|=|AF|=c

又因為AF=2FB，所以|BF|=c12，

在ΔOBF中，∠BOF=α，∠OFB=2α，由正弦定理知

|OF|1sin∠OBF=|BF|1sin∠BOF化簡得c1sin3α=c121sinα

所以sin3α=2sinα得sinα=112，

又因為b1a=tanα=515，所以e=2313

評析：本解法中，在ΔOBF，尋找邊角之間的關系，利用正弦定理得出a，b的關系，從而求出離心率，相對于第一種解法，本解法已經比較快捷，而且計算相對簡單。

解法3：作FP⊥OA交OA于P

ΔOFP為α三角形，由α三角形的性質可知|PF|=b，|OP|=a，|OA|=2a ，由角平分線性質知|AF|1|BF|=|OA|1|OB|得|OB|=a，所以ΔOPFΔOBF，|PF|=|BF|，所以c12=b得e=2313.

評析：本解法巧妙利用α三角形的性質，從而使得計算量大大的減少， 是解決本題最佳的方法，也是最快捷的方法。

在另一類題目中，構造的α三角形與定義中的略有變化，但是本質上沒有變化，這種α三角形具有很大的隱蔽性，不容易發現。

例2. 已知F1，F2分別為雙曲線x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點，漸近線為l1、l2，過點F2且與l1平行的直線交l2于M，若M在以線段F1F2為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為（ ）

A.2 B.2C.3 D.5

解：設∠MOF2=∠MF2O=α，tanα=b1a

RtΔMF1F2亦是α三角形，|MF1|=2b，|MF2|=2a，

又因為|OM|=112|F1F2|=c，ΔMOF2為等腰三角形，

所以|OM|=|MF2|

c=2a所以e=2.

例3.已知雙曲線x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的一條漸近線與圓x2+y2=c2（其中c2=a2+b2）交于點P，P到雙曲線的另一條漸近線的距離為a，則雙曲線的離心率是_______

解：過P作另一漸近線的垂線，垂足為H，

|OP|=c，|PH|=a，|OH|=b，所以RtΔOPH亦是α三角形，tanα=b1a，tan2α=a1b.

由tan2α=2tanα11-tan2α代簡可得3b2=a2

所以e=2133

評析：例2和例3中，構造的三角形都為α三角形，但又與定義略有不同，雖然具有隱蔽性，不容易尋找，但是為解決這類題目提供了一種快捷的解題方法。

α三角形其實就是在雙曲線中，三邊長為a，b，c或ka，kb，kc（k∈N*）的直角三角形，它往往與雙曲線的漸近線相關聯，如果能巧妙的利用α三角形來解題，可以避免解析幾何在小題中繁瑣的計算，從而起到小題巧做的目的。

課堂教學是一門科學。教師要勤于探索、勇于實踐、善于總結。在對比中優化，在改進中提升，學會選擇方法。多觀察、多動腦，要透過現象找出其本質，從中提煉出解決問題的數學思想方法，不僅能獲得數學解題能力的提升，更是數學思維水平的提升。

[ 參 考 文 獻 ]

[1]馬榮.雙曲線漸近線的另一個公式.教學實踐：2011（11）.