淺談數學解題后反思教學的幾點體會

丁丁

【摘要】 數學離不開解題，但是數學學習的目的不是為了解題，而是為了學會解題。學生在解題過程中投入了大量的時間和精力，然而效果并不理想，究其主要原因是缺乏對解題活動進行反思。在新課標改革的背景下，反思作為一種能力，已經越來越被人們認識到它對學習的促進和發展帶來的作用。學生通過解題后反思，能拓寬思路，優化解法，促進知識點之間的遷移，從而提高學習效率，增強分析解決問題的能力和多種思維能力。

【關鍵詞】 反思 思維構建 能力提升

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2017）05-078-01

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中學數學課程標準中要求學生通過對解決問題過程的反思，獲得解決問題的經驗，從而不斷地經歷反思與構建思維的過程，彰顯了對反思學習的重視。教師講解后的反思是指講解者對自身解題活動的深層次的反向思考，而作為學生，不僅是對解題的一般性的回顧或重復，更為重要的是深究解題過程中所涉及的知識、方法、思路及解題策略等，從而提高學習效率，增強多種思維能力，達到解題能力的提升。所以解題后的反思就顯得尤為重要，那么解題后如何進行反思呢？我在近幾年的九年級畢業班教學積累了一些經驗與感悟，愿與大家共享。

一、反思解題方法，訓練學生的發散思維能力

2017新課標新中考《浙江中考》第二課整式及其運算中有下面一道題目：

已知實數m，n滿足m-n2=1，則代數式m2+2n2+4m-1的最小值為______。

解析：∵m-n2=1，∴n2=m-1，∴原式=m2+2m-2+4m-1=m2+6m+9-12=

（m+3）2-12≥-12，即代數式m2+2n2+4m-1的最小值為-12。明顯，答案的解析過程是有偏差的。當m=-3時，代數式取到最小值-12，而在實數范圍內，不存在n的值使得m=-3。換句話說，當m=-3時，n2=-4，n無實數解。

正確解法∵m-n2=1，∴n2=m-1，∵n2≥0，∴m-1≥0，m≥1.y=m2+2n2+4m-1

y=（m+3）2-12.（m≥1）由二次函數圖像的性質可知，當m>-3時，y隨著m的增大而增大，∴當m=1時，ymin=4.即m2+2n2+4m-1的最小值為4.

反思解題過程，其實這是一道求解代數式的最值問題，代數式本身的取值大小由變量決定，而在求解實際問題中，往往變量本身存在取值范圍的限制，而函數能夠很好的幫助我們研究變量之間的關系。從函數本身的性質出發，結合變量的取值范圍，就能很好的避免錯誤的發生。

二、反思解題規律，促進學生的解題多樣性

我們一起來看下面一道題：

如圖，點A的初始位置位于數軸上的原點，現對點A做如下移動：第1次從原點向右移動1個單位長度至點B，第2次從點B向左移動3個單位長度至點C，第3次從點C向右移動6個單位長度至點D，第4次從點D向左移動9個單位長度至點E……依次類推，這樣至少移動___次后該點到原點的距離不小于41.

解析：根據坐標的變化：移動（2n-1）次后該點到原點的距離為3n-2，移動2n次后該點到原點的距離為3n-1.

（當3n-2≥4時，3n-2≥41時，n≥4313.

∵n是正整數，∴的最小值為15，此時移動了29次。

（當3n-1≥41時，n≥14.

∵n是正整數，∴n的最小值為14，此時移動了28次。

綜上所述，至少移動28次后該點到原點的距離不小于41.

反思解題過程，這是有關動點變化，找規律的一道題目。按照一般的解題過程，通過表示動點的通式來確定動點的位置，從而解決移動次數是較為困難的。在課堂講解過程中，也出現重復講解仍然有學生不能理解的情況。其實找規律的題目不光可以從事物的變化過程入手，尋求一般的通式解決問題，更多時候可以從結果出發，觀察結論而得出規律，可能會達到事半功倍的效果。

在課后的學生糾錯本記錄反思中，我發現了學生另外一種解法：移動1次對應數字為1，移動2次對應數字為-2，移動3次對應數字為4，移動4次對應數字為-5，移動5次對應數字為7……那么該點到原點的距離不小于41，等同于這個動點代表的數字的絕對值不小于41。從結果的絕對值來看，數字的排列中間缺3的倍數，41÷3=13……2，對應中間少了13個數字，所以只需移動28次即可。學生的題后反思給了我很多思考，用固定模式講解題目過程確實有必要，但過分強調“套路”可能未必是最佳的應對策略。而反思解題規律，可能會對解題帶來更多樣性的選擇。

三、反思解題差異，促進思維的深入

（2016.無錫）如圖，已知OABC的頂點A，C分別在直線x=1和直線x=4上， O是坐標原點，則對角線OB長的最小值為_______。

解析：當點B在x軸上時，對角線OB的長最小，直線x=1與x軸交于點D，直線x=4與x軸交于點E.根據題意得∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA//BC，OA=BC，

∴∠AOD=∠CBE.

在ΔAOD和ΔCBE中，

∠AOD=∠CBE，

∠ADO=∠CEB，

OA=BC，

∴ΔAODΔCBE（AAS）.

∴BE=OD=1.

∴OB=OE+BE=5.

在解題過程中，參考教輔用書上的解法和網上中考解析大體相同。但在講解過程中，學生始終對當點B在x軸上時，對角線OB的長最小有所困惑。在布置課后糾錯作業時，學生提出另外的想法使我眼前一亮。

解法二：連接AC，與OB相交于點E，由平行四邊形的對角線互相平分， AE=CE我們可以發現點E在直線x=512上，而OE=112OB，所求線段OB的最小值其實就可以轉化成求解OE的最小值，當OE垂直于直線x=512時，線段OE最小為512，此時OB的值為5.

反觀學生解題后的反思，其實我們可以發現，幾何圖形具有自身特有的性質，在解題過程中，我們往往會忽略這些性質。如果解題之后進行反思，感受解題的差異性，不僅提高了解題的技巧，更能夠促進思維的深入。

學生在解題中運用自己的知識結構對問題進行審驗，研究、尋找解決問題的思維策略，直到形成程序化的解決方案，這固然是我們教學的重點，但解題之后，如何反思知識結構的系統性，對解題過程進行縱向深入的探究，以及能否加強知識的橫向聯系，把問題所蘊含孤立的知識“點”擴展到系統的知識“面”將顯得更為重要。學會解題后如何進行反思，就是將獲得的知識通過再現、聯系、整合以及在實際中的應用，以達到舉一反三、觸類旁通、熟練掌握、靈活應用的要求，把其意思引申一下，我們就不難理解為什么解題之后要進行反思了。

[ 參 考 文 獻 ]

[1]任瑞芬.怎樣進行解題后反思[J].軟件：電子版，2015（1）.

[2]王天波.淺談中學數學解題后反思的幾點看法[J].東方教育，2015（4）.

[3]王芳琴.如何引導學生進行解題后反思[J].中學數學教學參考，2015（5X）.

[4]王怡.如何進行數學解題反思[J].數學學習與研究，2014（2）.