微分中值定理在考研試題中的應(yīng)用

李欣欣++李變++楊曉春

【摘要】微分中值定理的地位非常重要，本文針對(duì)大連海事大學(xué)近十年的考研試題，討論了微分中值定理的題型及每種題型的求解方法和注意事項(xiàng)，分析得出大連海事大學(xué)考研試題在微分中值定理方面的出題規(guī)律.

【關(guān)鍵詞】中值定理；應(yīng)用；考研試題；大連海事

一、引言

人們對(duì)微分中值定理的研究，從微積分建立之時(shí)就開始了，它經(jīng)歷了從特殊到一般、從直觀到抽象、從分散到系統(tǒng)，隨著不斷的發(fā)展，它的應(yīng)用也日趨重要.現(xiàn)在許多高校理工類的專業(yè)中微分中值定理一直都是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，同時(shí)它也是考研中的必考知識(shí)點(diǎn).由于微分中值定理自身的特點(diǎn)造成了其“難學(xué)難懂，更難應(yīng)用”的事實(shí)，所以為了方便學(xué)弟學(xué)妹們復(fù)習(xí)，本文就大連海事大學(xué)近十年的研究生數(shù)學(xué)分析試題進(jìn)行剖析.本文的主要工作是對(duì)真題進(jìn)行歸類分析，總結(jié)出一些做題規(guī)律和解題方法，并對(duì)大連海事大學(xué)考研的出題方向進(jìn)行預(yù)測(cè)，使想報(bào)考大連海事大學(xué)研究生的同學(xué)可以有的放矢地進(jìn)行復(fù)習(xí)，在更短的時(shí)間內(nèi)更好地掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn).

二、中值定理

微分中值定理建立了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，它包括羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理，定理的具體內(nèi)容如下：

上題使用壓縮數(shù)列法去證{xn}收斂，需要在xn+1-xn與xn-xn-1之間建立一種聯(lián)系，而通過計(jì)算得到了導(dǎo)數(shù)的范圍，所以想到要用拉格朗日定理進(jìn)行變形，使其得到想要的結(jié)果.

（五）研究函數(shù)性態(tài)

研究函數(shù)的一致連續(xù)性和單調(diào)性等函數(shù)性態(tài)，我們可以對(duì)函數(shù)用微分中值定理進(jìn)行變形，使它能建立函數(shù)增量、自變量與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而求解.

例5（2005年第四題）設(shè)函數(shù)f（x）在[1，+∞）上可導(dǎo)，且 limx→∞f′（x）=+∞，證明f（x）在[1，+∞）上非一致連續(xù).

分析本題用非一致連續(xù)的定義去證明.題中已知f′（x）的極限，由極限的定義可以得出f′（x）的范圍，再利用拉格朗日定理，即可證明結(jié)論.

四、結(jié)論

研究了近十年的大連海事大學(xué)考研試題，了解到基本每年都會(huì)對(duì)微分中值定理進(jìn)行考查，所以微分中值定理在試題中占有非常重要的地位.出題的類型從前幾年的單純的定理證明，逐漸轉(zhuǎn)變到對(duì)定理應(yīng)用的綜合方面的考查，如，用微分中值定理的知識(shí)去求函數(shù)極限、證明等式、討論斂散性、研究函數(shù)性態(tài)、討論根的存在性、證明不等式等等.

由上面的五道歷年真題可以看出，有四道是對(duì)拉格朗日定理的考查，只有一道考的是羅爾定理的知識(shí).因此，我們不難推斷出拉格朗日定理是微分中值定理考查的重點(diǎn)，所以考生在將來復(fù)習(xí)的時(shí)候一定要注重對(duì)拉格朗日定理的復(fù)習(xí)，要掌握其出題方式，多練習(xí)、多總結(jié)，才能得心應(yīng)手，取得一個(gè)好成績(jī).

【參考文獻(xiàn)】

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