微分方程在數學建模中的應用

張一敏

【摘要】微分方程建模是解決實際問題的一個非常有效的方法，微分方程數學模型在實際生活中的應用非常廣泛.本文通過減肥模型分析了微分方程建模在實際生活中的應用.

【關鍵詞】微分方程；減肥模型；應用

一、引言

微分方程是現代數學的一個重要分支，是研究函數變化規律的有力工具，它在科技、工程、經濟管理、生態、環境、人口、交通等各個領域中有著廣泛的應用.在實際生活中，事物的變化本身具有某種內在規律，這些規律即是量與量之間的依賴關系.微分方程可以通過對事物進行機理分析，找出量與量的變化關系.實際生活中涉及變化率、邊際、數量規律等問題可以通過求解微分方程去預測其內在變化規律.

數學模型是現實世界的本質反映和科學抽象，它用數學語言描述研究對象的固有特性和有關因素之間的互相關系.在客觀世界中，為了對某一事物或過程進行定量的研究，常常通過建立數學模型來表征這個事物或過程的本質.一個好的數學模型不僅客觀地反映了實際，而且又易于處理.通過對數學模型的求解或分析來解釋客觀現象，預測事物發展，以及進行系統決策，這種解決問題的方法在生產技術、科學技術和經濟金融等眾多領域中得到了廣泛的應用，成為人們研究客觀世界的有力工具.

應用微分方程理論在實際解決問題的過程中建立的數學模型，一般是動態數學模型，其結果極其簡明，但整個推導過程卻有點繁雜，不過還是能給人們以合理的解釋.由此我們認為有機地將數學建模與微分方程結合，必定能使微分方程在實際應用過程中發揮更多更好的作用，以便能解決更多的實際問題，產生更好的效益.

二、微分方程在數學建模中的應用

在碰到實際問題時，應建立研究對象的數學模型.建立數學模型首先應具體問題具體分析，對建立數學模型的目的應做相應的假設和簡化，而后依照其內在規律羅列出這種微分方程，求出其方程的解，并將其結果進行描述、分析、預測或控制，最后回到實際對象中應用.下面介紹微分方程建模的例子.

問題描述：某人每天由飯食獲取2 500卡熱量，其中1 200卡用于新陳代謝，此外每千克體重需支付16卡熱量作為運動消耗，其余熱量則轉化為脂肪，已知以脂肪形式貯存的熱量利用率為100%，每千克脂肪含熱量10 000卡，問此人的體重如何隨時間而變化？

解析設人的體重為m（t），假設體重隨時間是連續變化的，即m（t）是連續函數且充分光滑，故我們認為能量的攝取和消耗是隨時發生的.這里我們以“天”為時間單位，在任何一個時間段內考慮能量的攝入和消耗所引起的體重的變化.根據能量的平衡原理，任何時間段內由于體重的改變所引起的人體內能量的變化應該等于這段時間內攝入的能量與消耗的能量的差.

我們發現從理論上來說，只要適當調節A和B，C（不變），即控制飲食和增加活動量，減肥就能達到好的效果.

三、總結

目前，數學模型已經廣泛應用于社會的各個領域，人們追求定量分析和優化決策，這都離不開數學模型.數學模型是為了解決現實問題而建立起來的，它能夠反映現實，即能夠反映現實的內在規律和數量關系.數學模型作為一種模型，必須對現象做出一些必要的簡化和假設.首先，要忽略現實問題中許多與數量無關的因素，例如，本例中我們忽略了個體的年齡、性別、健康狀況等.其次，還要忽略一些次要的數量因素，從而在本質上更能集中反映現實問題的數量規律.本文所做的分析只是眾多應用中的一個方面，隨著現代科學技術的飛速發展，有理由相信基于微分方程的數學建模有著更加廣闊的前景.另外，目前隨著人們生活水平的不斷提高，肥胖逐漸呈現出低齡化，尤其是兒童肥胖應該引起我們的重視.

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