指數(shù)函數(shù)y=ax圖象與直線y=x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)探究

張優(yōu)科

(陜西興平西郊高級(jí)中學(xué)，陜西 咸陽 713100)

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指數(shù)函數(shù)y=ax圖象與直線y=x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)探究

張優(yōu)科

(陜西興平西郊高級(jí)中學(xué)，陜西 咸陽 713100)

關(guān)于指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象與直線y=x的位置關(guān)系問題，因受中學(xué)教材及一般教參中圖象的直觀影響，形成了一種錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，本文將從以下01兩種情況對(duì)這兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)情況進(jìn)行探討.

指數(shù)函數(shù);圖像;交點(diǎn)個(gè)數(shù)

關(guān)于指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象與直線y=x的位置關(guān)系問題，因受中學(xué)教材及一般教參中圖象的直觀影響，形成了以下的認(rèn)識(shí)：

(1)當(dāng)0

(2)當(dāng)a>1時(shí)，y=ax的圖象恒在直線y=x的上方.

我們要指出的是，(2)是一種錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，對(duì)于像y=2x，y=10x的圖象來說，它們確實(shí)在直線y=x的上方，但是當(dāng)a=1.1>1時(shí)，y=1.1x的圖象就與直線y=x不但相交，而且有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?2,1.21)在直線y=x的下方.以下我們來探討y=ax(a>1)圖象的特征.

當(dāng)y=ax圖象上點(diǎn)的切線斜率為1，即y′=axlna=1，x=-loga(lna).

如果要求切點(diǎn)在直線y=x上，就應(yīng)有

于是得到，(1)當(dāng)a=e1/e時(shí)，y=ax的圖象與直線y=x相切于(e,e).

(2)當(dāng)a>e1/e時(shí)，無論x≤0還是x>0，都有ax>x，因此y=ax的圖象恒在直線y=x的上方.

(3)當(dāng)1

說明直線x=e與y=ax圖象的交點(diǎn)M(e,ae)在它與直線y=x的交點(diǎn)N(e,e)的下方，又x<0時(shí)，顯然有ax>x，此外當(dāng)x充分大時(shí)，ax>x.因此y=ax的圖象與直線y=x有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)分布在x=e的兩側(cè).

綜上得到：當(dāng)a=e1/e時(shí)，y=ax的圖象與直線y=x相切于(e,e)；

當(dāng)a>e1/e時(shí)，y=ax的圖象恒在直線y=x的上方；

當(dāng)1

從而糾正了“當(dāng)a>1時(shí)，y=ax的圖象恒在直線y=x的上方”的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).從中可領(lǐng)悟高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)意義，以及幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中既有其積極意義——形象、直觀，能啟迪思路，但也有其不足的地方——因直觀帶來的片面性、局限性.所以應(yīng)全面看待幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中的作用,更好地把握這一思想方法.

[1]張真子. 函數(shù)y=a～x和y=log_a～x圖象與直線y=x交點(diǎn)的探討[J].黑龍江科技信息1999(12):55.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

張優(yōu)科(1982.10-)，男，漢族，中學(xué)二級(jí)教師，本科，從事中學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué).

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1008-0333(2017)16-0002-01