談?wù)勎伵Ｅ谰竭\(yùn)動(dòng)模型

郭公禮,于 淼

(1.烏魯木齊一中，烏魯木齊 830006, 2.烏魯木齊高級(jí)中學(xué)，烏魯木齊 830049)

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談?wù)勎伵Ｅ谰竭\(yùn)動(dòng)模型

郭公禮1,于 淼2

(1.烏魯木齊一中，烏魯木齊 830006, 2.烏魯木齊高級(jí)中學(xué)，烏魯木齊 830049)

通過(guò)對(duì)直線運(yùn)動(dòng)式蝸牛爬井模型和回旋式蝸牛爬井模型的分析，強(qiáng)調(diào)運(yùn)動(dòng)過(guò)程認(rèn)識(shí)，探究運(yùn)動(dòng)的細(xì)節(jié)處理，更好掌握此類題型解題規(guī)律及變式應(yīng)用.

蝸牛;爬井;模型

小學(xué)數(shù)學(xué)有這樣一道有趣的應(yīng)用題：一口枯井十米深，一只蝸牛從井底向上爬，白天爬三米，晚上退兩米，問(wèn)幾天能爬到井口？不少學(xué)生順口就說(shuō)十天，而答案是八天，像這樣的運(yùn)動(dòng)，稱之為“蝸牛爬井式”的運(yùn)動(dòng)模型，這類試題的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)學(xué)生模型不熟，過(guò)程不清，細(xì)節(jié)易錯(cuò).對(duì)這類試題做一些題型的歸類與梳理總結(jié)一下易錯(cuò)細(xì)節(jié) ，探究一下解題規(guī)律，可以幫助學(xué)生更好的解決這類問(wèn)題.

模型一：直線運(yùn)動(dòng)式的蝸牛爬井

這類試題的特點(diǎn)是：先正向直線運(yùn)動(dòng)X1的距離，再反向運(yùn)動(dòng)距離X2的距離，一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)了(X1-X2)，但題目中所給時(shí)間往往不是運(yùn)動(dòng)周期的整數(shù)倍，所以計(jì)算距離時(shí)有N(X1-X2)+△X其中△X需要單獨(dú)處理，有時(shí)題目運(yùn)動(dòng)距離看似是(X1-X2)的整數(shù)倍，由于最后一段的正向運(yùn)動(dòng)的距離大于反向運(yùn)動(dòng)的距離，到達(dá)終點(diǎn)后無(wú)需返回，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間也不是周期的整數(shù)倍即N(t1-t2)+△t其中△t需要分段處理.體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)的共性與個(gè)性差異化處理模式.

例1 (動(dòng)力學(xué)類)一個(gè)質(zhì)量為2.0kg的物塊放置光滑的水平面上，用一大小等于2N的力作用在物體上，1.5秒后撤去此力，用大小相等方向相反的力再作用2秒，以后每個(gè)2秒改變一次力的方向，共作用100秒，求通過(guò)的位移以及第一次運(yùn)動(dòng)50m的位移所用的時(shí)間.

圖1

點(diǎn)評(píng) 本題的第二問(wèn)易錯(cuò)點(diǎn)在于運(yùn)動(dòng)的位移恰好是運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期位移的整數(shù)倍，學(xué)生容易誤認(rèn)為時(shí)間是運(yùn)動(dòng)周期的整數(shù)倍.實(shí)際上最后一段正向運(yùn)動(dòng)就達(dá)到了終點(diǎn)，不需反向運(yùn)動(dòng)就到達(dá)終點(diǎn).

例2 (電場(chǎng)類)如圖2(a)所示，兩平行正對(duì)的金屬板A、B間加有如圖(b)所示的交變電壓，一重力可忽略不計(jì)的帶正電粒子被固定在兩板的正中間P處．若在t0時(shí)刻釋放該粒子，粒子會(huì)時(shí)而向A板運(yùn)動(dòng)，時(shí)而向B板運(yùn)動(dòng)，并最終打在A板上．則t0可能屬于的時(shí)間段是( ).

點(diǎn)評(píng) 粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)與動(dòng)力學(xué)類似，但往往是采用逆向的命題，運(yùn)到的模型題目已交代清楚，進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)刻不同，運(yùn)動(dòng)的模型與過(guò)程就不同，以四分之一周期為分界線，如正向運(yùn)動(dòng)的時(shí)間大于反向運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，最終物體朝正向運(yùn)動(dòng)；反之則最終朝反方向運(yùn)動(dòng).

例3 (動(dòng)量類)如圖3所示，水平傳送帶AB長(zhǎng)l=8.3m，質(zhì)量為M=1kg的木塊隨傳送帶一起以v1=2m/s的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)(傳送帶的傳送速度恒定)，木塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5.當(dāng)木塊運(yùn)動(dòng)至最左端A點(diǎn)時(shí)，一顆質(zhì)量為m=20g的子彈以v0=300m/s水平向右的速度正對(duì)射入木塊并穿出，穿出速度u=50m/s，以后每隔1s就有一顆子彈射向木塊，設(shè)子彈射穿木塊的時(shí)間極短，且每次射入點(diǎn)各不相同，g取10m/s2.求：

(1)在被第二顆子彈擊中前，木塊向右運(yùn)動(dòng)離A點(diǎn)的最大距離?

(2)木塊在傳送帶上最多能被多少顆子彈擊中?

(3)從第一顆子彈射中木塊到木塊最終離開(kāi)傳送帶的過(guò)程中，子彈、木塊和傳送帶這一系統(tǒng)所產(chǎn)生的熱能是多少?(g取10m/s2)

解 (1)第一顆子彈射入木塊過(guò)程中動(dòng)量守恒mv0-Mv1=mu+Mv1′ (1)

解得：v1′=3 m/s (2)

木塊向右作減速運(yùn)動(dòng)

解得t1=0.6 s/1 s(5)

解得t1=0.6 s<1 s(6)

(2)在第二顆子彈射中木塊前，木塊再向左作加速運(yùn)動(dòng)，時(shí)間t2=1 s-0.6 s=0.4 s(7)

速度增大為v2=at2=2 m/s(恰與傳遞帶同速)(8)

所以兩顆子彈射中木塊的時(shí)間間隔內(nèi)，木塊總位移S0=S1-S2=0.5m方向向右 (10)

第16顆子彈擊中前，木塊向右移動(dòng)的位移為S=15S0=7.5m(11)

第16顆子彈擊中后，木塊將會(huì)再向右先移動(dòng)0.9m，總位移為0.9m+7.5=8.4m>8.3m木塊將從B端落下.所以木塊在傳送帶上最多能被16顆子彈擊中.

木塊向右減速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中板對(duì)傳送帶的位移為S′=v1·t1+S1(13)

產(chǎn)生的熱量為Q2=μmgS′(14)

木塊向左加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相對(duì)傳送帶的位移為S′=v1·t1-S2(15)

產(chǎn)生的熱量為Q3=μmgS′(16)

第16顆子彈射入后木塊滑行時(shí)間為t3有

解得t3=0.4 s (18)

木塊與傳送帶的相對(duì)位移為S=v1t3+0.8m(19)

產(chǎn)生的熱量為Q4=μmgS(20)

全過(guò)程中產(chǎn)生的熱量為Q=15(Q1+Q2+Q3)+Q1+Q4

解得Q=14155.5J(21)

點(diǎn)評(píng) 本題難點(diǎn)在于全程產(chǎn)生的熱量要細(xì)分為：子彈打擊木塊生熱，正向運(yùn)動(dòng)的摩擦生熱，反向運(yùn)動(dòng)的摩擦生熱，前15個(gè)子彈具有共性；即最后一發(fā)單獨(dú)分段處理.

模型二：回旋式蝸牛爬井

這類試題的特點(diǎn)是：先正向旋進(jìn)X1的距離，再反向旋進(jìn)X2的距離，一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)了(X1-X2)，最后到達(dá)終點(diǎn)的距離為N(X1-X2)+X1距離(其中N為運(yùn)動(dòng)周期的整數(shù)倍)，抓住這一點(diǎn)就抓住了解題的關(guān)鍵.

例4 (磁場(chǎng)類)如圖4所示，在x<0與x>0的區(qū)域中，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B1與B2的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向均垂直于紙面向里，且B1>B2．一個(gè)帶負(fù)電荷的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度V沿x軸負(fù)方向射出，要使該粒子經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后又經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，B1與B2的比值應(yīng)滿足什么條件？

現(xiàn)分析粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡.如圖5所示，在xy平面內(nèi)，粒子先沿半徑為r1的半圓C1運(yùn)動(dòng)至y軸上離O點(diǎn)距離為2r1的A點(diǎn)，接著沿半徑為r2的半圓D1運(yùn)動(dòng)至O1點(diǎn)，OO1的距離：d=2(r2-r1)(3)

此后，粒子每經(jīng)歷一次“回旋”(即從y軸出發(fā)沿半徑為r1的半圓和半徑為r2的半圓回到原點(diǎn)下方的y軸)，粒子的y坐標(biāo)就減小d.設(shè)粒子經(jīng)過(guò)n次回旋后與y軸交于on點(diǎn)，若oon即nd滿足：nd=2r1(4)

則粒子再經(jīng)過(guò)半圓Cn+1就能經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，式中n=1，2，3，…為回旋次數(shù)．

聯(lián)(1)(2)(5)式可得B1、B2應(yīng)滿足的條件：

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)一定要考慮粒子運(yùn)動(dòng)的周期性，許多學(xué)生沒(méi)有寫(xiě)出表達(dá)的通式，只考慮了一種情況，造成漏解.

例5 (碰撞類)如圖6，在x軸下方有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于xy平面向外.P是y軸上距原點(diǎn)為h的一點(diǎn)，N0為x軸上距原點(diǎn)為a的一點(diǎn).A是一塊平行于x軸的擋板，與x軸的距離為h/2，A的中點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)度略小于a/2.帶電粒子與擋板碰撞前后，x方向的分速度不變，y方向的分速度反向、大小不變.質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0)的粒子從P點(diǎn)瞄準(zhǔn)N0點(diǎn)入射，最 后又通過(guò)P點(diǎn).不計(jì)重力.求粒子入射速度的所有可能值.

粒子速率不變,每次進(jìn)入磁場(chǎng)與射出磁場(chǎng)位置間距離x1持不變有x1=N0′N(xiāo)0=2Rsinθ(2)

粒子射出磁場(chǎng)與下一次進(jìn)入磁場(chǎng)位置間的距離x2始終不變,與N0′N(xiāo)1相等.由圖可以看出x2=a(3)

設(shè)粒子最終離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí),與檔板相碰n次(n=0、1、2、3…).若粒子能回到P點(diǎn),由對(duì)稱性,出射點(diǎn)的x坐標(biāo)應(yīng)為-a,即(n+1)x1-nx2=2a(4)

聯(lián)立(3)(4)(6)得n<3(7)

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)一是找到運(yùn)動(dòng)的表達(dá)通式，二是根據(jù)題目給定的特定條件(對(duì)稱和邊界)寫(xiě)出滿足的臨界條件的關(guān)系式.

總之,蝸牛爬井式運(yùn)動(dòng)試題既具有周期性的共性特性，最后一段的處理又各具特點(diǎn)，應(yīng)引起足夠的重視.

[1]教育部考試中心.普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說(shuō)明[M].高等教育出版社，2012.

[責(zé)任編輯：閆久毅]

2017-05-01

郭公禮,男,烏魯木齊市,高級(jí)教師,新疆奧賽特級(jí)輔導(dǎo)員，從事高中物理教育.

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