基于CPFS結構理論下的初中數學教學實踐

沈小軍

[摘 要] CPFS結構理論在初中數學教學中的運用，能夠指導學生構建網絡化的知識體系，幫助學生理解知識并實現遷移等，進而促進學生數學素養和能力的全面發展. 在教學中，教師可基于CPFS結構理論，采用變式教學、分層教學、生活化教學、問題鏈教學等途徑改善教學中教與學的關系，實現教學效果的最優化.

[關鍵詞] CPFS結構理論；認知結構；教與學

CPFS結構理論是從一個全新的角度來研究數學教學中教與學的規律，是數學學習特有的認知結構，它是由概念域、概念系、命題域、命題系形成心理結構的簡記. 其強調在教學中通過教師教學策略的實施來完善學生的認知結構，幫助學生更好地理解數學知識，并在運用中實現有效遷移，促進學生數學能力的發展. 這種理論的運用能夠改善學生學習認知結構，力圖從多角度、多層面強化學生對數學知識的理解，根據各個命題之間的連接點構建網絡知識體系，方便學生在體系中深化對數學知識的理解，從而提高數學學習成效. 因此，教師可基于CPFS結構理論，采用變式教學、分層教學、生活化教學、問題鏈教學等策略改善學生認知結構，以促進學生數學思維品質的發展.

變式教學，構建多角度思維方式

CPFS結構理論認為數學知識點之間存在某種抽象的等值關系，而這種抽象關系中蘊含著某種數學思維方法，即體現了運用數學知識的思路. 學生要想掌握其中的思維方法，準確理解數學知識是前提. 數學理解是一個認知建構、意義建構的動態過程，需要學生在頭腦中建構某一命題的命題系，使學生從多種角度更好地理解數學原理和知識，這也是變式教學的本質. 教師在組織教學時，可讓學生從多角度、多方面理解數學知識，以原有認知探索新問題解決的途徑，從而構建知識點之間的網絡構架.

以“全等三角形”教學為例，要求學生理解全等三角形的概念，教師通過呈現不同的教學形式從多方面強化學生對概念的理解. 首先，教師可以多媒體展示畫面優美的風景圖片，而這些美麗的風景圖片可以洗出千萬張完全一樣的照片，以此引入全等概念. 接著，教師組織學生動手實際操作，讓學生從白紙上任意挖出一個圖形，并闡述圖形與紙上的空心部分有什么關系，幫助學生構建初步的全等圖形概念. 然后通過全等三角形的概念，讓學生制作兩個完全一樣的三角形，即學生將三角形通過平移、旋轉、翻轉等獲得另一個完全一樣的三角形，從而實現問題的解決. 最后，教師引導學生對全等三角形的概念進行總結和歸納，并對全等三角形有哪些特點進行分析，以構建學生知識網絡體系，強化學生對概念的理解. 教學中，教師以多媒體展示，動手實際操作，總結歸納等多種形式來強化變式教學，讓學生從多角度辨別不同的表達形式，促使學生掌握了解決數學問題的思想方法.

分層教學，強化自我效能感

CPFS結構理論有助于改善學生的認知結構，而學生的認知結構又受到諸多因素的影響，如學生原有的知識水平、學習特點、心理發展規律、認知能力等. 這就決定了教師在教學中要根據學生的個體差異組織教學，以充分發揮學生的主觀能動性. 由此，分層教學的引入便順理成章. 分層教學是以學生實際認知水平為出發點，探尋學生學習知識與教師教授知識的最近發展區，以強化不同層次學生的自我效能感，增強學生學習自信，提高學習成效.

立足生活，實施生活化教學

根據CPFS結構理論可知，知識的理解和構建是學習的本質，而這種理解和構建并不是空中樓閣，而是學生已有生活經驗對新知識的學習產生的影響，即數學知識根植于生活，并高于生活. 因此，采用適度的生活化教學有助于學生向實踐經驗回歸，能夠在學生已有經驗的基礎上獲得新的經驗. 教師可選擇貼近學生生活的場景，創設熟悉的課堂情境，讓學生在熟悉的情境中，激發主動學習的興趣，激活原有的知識和思維，從而讓學生的知識結構更加合理化，使學生構建理論與實踐運用之間的對應關系，從而提高學生問題解決能力.

以“勾股定理的應用”教學為例，要求學生利用勾股定理解決實際問題，并積累運用數學知識解決生活實際問題的方法. 教師以展示犍為岷江大橋的圖片激起學生對祖國的熱愛之情，并借助斜拉橋上的直角三角形導入勾股定理的實際運用. 教師以學生熟悉的生活場景引導學生在腦中構建知識體系，激活學生原有的認知，即勾股定理的內容、性質、數形結合思想、圖形構造等，讓學生構建新舊知識之間的網絡體系，在數形結合思想的基礎上，從實際問題中探尋可運用的直角三角形，把實際問題轉化成勾股定理的幾何模型，然后依據數理實現問題的解決. 學生將實際問題轉換成相應數學模型解決問題的過程，就是學生深入理解數學知識、構建數學思維的過程. 學生頭腦中的CPFS結構形成了有序的網絡體系，在數學邏輯網絡體系中通過提取有效的信息解決了實際問題，從而達到學生學習新知識、掌握新方法的目的.

問題鏈教學，改善學生認知結構

CPFS結構的完善利于數學知識的有效遷移，以解決實際問題，而數學知識的積累往往滲透在解決問題過程中，因此，完善學生的認知結構也要在解題過程中完成. 僅僅依靠傳統封閉的教學無法達到刺激和激活學生原有認知的目的，因此，教師可采用問題鏈教學幫助學生進行系統化的命題學習，借助一系列的問題深化學生對命題的理解，促進學生命題系的形成，以實現問題解決的目的.

以“探索三角形全等的條件”教學為例，教師可以探索三角形全等（SSS）的條件為主題，設置一系列的問題引導學生經歷發現、實踐、探索、總結等學習過程，讓學生在問題解決中深化對三角形全等命題的理解. 教師以探索“針對兩個三角形，六個元素中至少有幾個元素相等，才能得出兩個三角形全等？”讓學生產生探究的興趣. 接著，教師拋出一系列問題：“只有一個對應相等的元素是否全等？只有兩個元素分別對應相等的三角形是否一定全等？”不斷深化學生對問題的探究程度. 問題中，教師按照滿足條件的個數引導學生分類討論，以滲透分類思想. 學生通過畫圖、仔細觀察、比較、相互交流等得出結論. 緊接著，教師針對“兩個三角形中如有三組對應元素分別相等，是否能得出全等？都有哪些情況？”等問題，讓學生以小組的方式進行討論，其探究過程同前面的過程. 學生在親自經歷實踐的過程中，掌握了分類的思想方法，這使學生知識的聯結更加有力且富有張力，更加便于學生靈活運用，從而有效改善了學生的CPFS結構，提高了學生創造性解決問題的能力.

總之，CPFS結構理論注重個體頭腦內化知識網絡體系的構建，其構建的過程不僅僅是知識點的連接，更蘊含著豐富的數學思想和解決問題的策略. 教師應深刻領會CPFS結構理論的精髓，在實施變式、分層、生活化、問題鏈等教學中幫助學生構建CPFS結構，以激活學生原有的認知，強化對數學知識命題的理解. 在經歷生長、停滯、再生長這種遞進式螺旋上升的思維過程中，用CPFS 結構不斷進行重組、改建以完善學生個體認知結構，并趨于合理化，提高學生問題解決的水平，以促進學生數學創新思維能力的發展.