一道初中幾何試題的命制

費(fèi)云標(biāo)

[摘 要] 本文從一道南京中考試題出發(fā)，探尋其不同的解法，分別從不同的角度分析編制意圖. 筆者結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)及基于對(duì)初中幾何題的特點(diǎn)理解，進(jìn)行原創(chuàng)設(shè)計(jì)，在命題中得到感悟、提升.

[關(guān)鍵詞] 初中幾何題；命制

幾何題是教師與學(xué)生最難以把握的富含數(shù)學(xué)思維的題目. 筆者翻閱了近幾年的南京中考卷，翻出一道南京2013年中考卷的第25題，筆者由此題的解法出發(fā)，從四個(gè)角度談這道題的編制意圖，最后再編制出一道相關(guān)題，談一談幾何試題命制過(guò)程的感悟.

真題重現(xiàn)

試題 如圖1，AD是圓O的切線，切點(diǎn)為A，AB是圓O的弦，過(guò)點(diǎn)B作BC∥AD，交圓O于點(diǎn)C，連接AC，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，交AD于點(diǎn)D，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，交過(guò)點(diǎn)C的直線于點(diǎn)P，且∠BCP=∠ACD.

（1）判斷直線PC與圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若AB=9，BC=6，求PC的長(zhǎng).

解法探究

根據(jù)題意，我們通過(guò)作輔助線（主要是連接CO，BO及延長(zhǎng)CO與圓O交于點(diǎn)N）可以證得題中存在三個(gè)等腰三角形，分別是△OBC，△OAC和△OAB. 通過(guò)等量代換，得∠BCP+∠BCO=90°，（1）題得證. 當(dāng)然，由（1）題證得的結(jié)論，可以證得圖中存在四個(gè)直角三角形，分別是△OMC，△CMP，△OCP和△NBC，且互為相似三角形，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，可求得CP的長(zhǎng).

解法1 （常規(guī)思路，通用解法）（1）直線PC與圓O相切，理由如下：如圖2，連接CO并延長(zhǎng)，交圓O于點(diǎn)N，連接BN. 因?yàn)锳B∥CD，所以∠BAC=∠ACD. 因?yàn)椤螧AC=∠BNC，所以∠BNC=∠ACD. 因?yàn)椤螧CP=∠ACD，所以∠BNC=∠BCP. 因?yàn)镃N是圓O的直徑，所以∠CBN=90°. 所以∠BNC+∠BCN=90°. 所以∠BCP+∠BCN=90°. 所以∠PCO=90°，即PC⊥OC. 又點(diǎn)C在圓O上，所以直線PC與圓O相切.

（2）因?yàn)锳D是圓O的切線，所以AD⊥OA，即∠OAD=90°. 因?yàn)锽C∥AD，所以∠OMC=180°-∠OAD=90°，即OM⊥BC. 所以MC=MB. 所以AB=AC. 在Rt△AMC中，因?yàn)椤螦MC=90°，AC=AB=9，MC=BC=3，由勾股定理得AM===6. 設(shè)圓O的半徑為r，在Rt△OMC中，因?yàn)椤螼MC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，由勾股定理得OM2+MC2=OC2，即（6-r）2+32=r2，解得r=. 在△OMC和△OCP中，因?yàn)椤螼MC=∠OCP=90°，∠MOC=∠COP，所以△OMC∽△OCP. 所以=，即=，解得PC=.

解法2 （觀察圖形，化動(dòng)為靜）（1）直線PC與圓O相切，理由如下：如圖3，連接OC. 因?yàn)锳D是圓O的切線，所以AD⊥OA，即∠OAD=90°. 因?yàn)锽C∥AD，所以∠OMC=180°-∠OAD=90°，即OM⊥BC. 所以MC=MB. 所以AB=AC. 所以∠MAB=∠MAC. 所以∠BAC=2∠MAC. 又因?yàn)椤螹OC=2∠MAC，所以∠MOC=∠BAC. 因?yàn)锳B∥CD，所以∠BAC=∠ACD. 所以∠MOC=∠ACD. 又因?yàn)椤螧CP=∠ACD，所以∠MOC=∠BCP. 因?yàn)椤螹OC+∠OCM=90°，所以∠BCP+∠OCM=90°，即∠PCO=90°. 所以PC⊥OC. 又因?yàn)辄c(diǎn)C在圓O上，所以直線PC與圓O相切.

（2）在Rt△AMC中，因?yàn)椤螦MC=90°，AC=AB=9，MC=BC=3，由勾股定理得AM===6. 設(shè)圓O的半徑為r，在Rt△OMC中，因?yàn)椤螼MC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，由勾股定理得OM2+MC2=OC2，即（6-r）2+32=r2，解得r=. 在△OMC和△OCP中，因?yàn)椤螼MC=∠OCP=90°，∠MOC=∠COP，所以△OMC∽△OCP. 所以=，即=，解得PC=.

對(duì)試題多角度分析

1. 從《課標(biāo)》視角來(lái)看

（1）此題反映了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)讓學(xué)生掌握的必備的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能；能培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和推理能力；能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.

（2）此題考查的核心內(nèi)容有：會(huì)用二次根式（根號(hào)下僅限于數(shù)）進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算；會(huì)用平行線的性質(zhì)定理；掌握三角形內(nèi)角和定理的推論；掌握等腰三角形的性質(zhì)定理；理解圓周角的概念，以及圓周角定理及推理；了解直線和圓的位置關(guān)系，掌握切線的概念，探索切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑的關(guān)系；了解相似三角形的判定定理與相似三角形的性質(zhì)定理.

（3）此題突出對(duì)考生學(xué)科能力的考查，把學(xué)習(xí)內(nèi)容作為一個(gè)輔助因素，不僅考慮學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容的覆蓋面，更多的是考查學(xué)生所學(xué)知識(shí)的綜合素質(zhì). 主要考查了問(wèn)題探究能力、幾何推理能力、問(wèn)題遷移能力、多角度解決問(wèn)題的能力、復(fù)雜數(shù)據(jù)的計(jì)算能力.

（4）此題突出考查了基本思想方法和學(xué)科素養(yǎng). 此題考查了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想. 在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng). 此題關(guān)注下面一些數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的考查，如推理能力、幾何直觀、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識(shí).

2. 從命題的視角來(lái)看

本題考查的是以圓為基礎(chǔ)的綜合幾何圖形，要求學(xué)生會(huì)證明圓的切線、三角形全等，能靈活運(yùn)用“弦切角”的相關(guān)結(jié)論. 此題有一定的難度，屬于提高題. 本題的分值為8分，占試卷總分的6.67%.

3. 從學(xué)生解題的視角來(lái)看

對(duì)于此題，不少同學(xué)在第（1）問(wèn)就“卡殼”了，第（2）問(wèn)就無(wú)法繼續(xù)探究. 此題已經(jīng)不滿足讓個(gè)體達(dá)到課標(biāo)的基本目標(biāo)，而是追求數(shù)學(xué)思維的較高要求. 因此，整套試卷的難度受此題的影響，學(xué)生做到倒數(shù)第三題時(shí)，遇到難題，心理影響也較大. 數(shù)學(xué)比較好的學(xué)生會(huì)在此題拉開(kāi)差距，獲得成就感.

4. 從近10年的中考數(shù)學(xué)走勢(shì)來(lái)看

從2006年到2016年，中考無(wú)論從題型上還是考點(diǎn)上看，仍然需要不斷地堅(jiān)持與繼承. 從難度上看，我們不能低估了有關(guān)圓的題目的難度與創(chuàng)新力， 2013年的圓的綜合題確實(shí)給學(xué)生帶來(lái)了證明與計(jì)算的難度，有利于高學(xué)段的學(xué)校選拔優(yōu)秀的新生.

基于本質(zhì)，原創(chuàng)設(shè)計(jì)

編制試題 如圖4，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，CF是⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)A作AE∥CF，交BC于點(diǎn)B，點(diǎn)D為CF延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠DAF=∠CAB.

（1）判斷直線DA與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若AB=2，DA=，求BE的長(zhǎng).

解析 根據(jù)AB∥CF，可以得到∠FCA=∠CAB=∠DAF，由于AC是⊙O的直徑，于是可得∠AFC=90°，所以可以證得∠DAF+∠CAF=90°，（1）題得證. 由（1）題所得結(jié)論∠DAC=∠ACB=90°，得AD∥BC，可以證得四邊形ABCD是平行四邊形，于是有AD=BC=，作輔助線（連接CE），存在6個(gè)直角三角形，分別是△ADF，△CAF，△CDA，△CBE，△ACE和△ABC，且互為相似三角形. 利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可求得BE的長(zhǎng). 當(dāng)然，此題還可以證明四邊形AECF是長(zhǎng)方形，得到CF=AE，證得DF=BE，可以先求DF的長(zhǎng)，再求得BE的長(zhǎng).

答案 （1）直線DA與⊙O相切，理由如下：因?yàn)锳B∥CD，所以∠BAC=∠ACD. 因?yàn)椤螪AF=∠CAE，所以∠ACD=∠DAF. 因?yàn)锳C是⊙O的直徑，所以∠AFC=90°. 所以∠FAC+∠ACF=90°. 所以∠DAF+∠FAC=90°. 所以∠DAC=90°，即DA⊥OA. 又點(diǎn)A在⊙O上，所以直線DA與⊙O相切.

（2）如圖5，連接CE，因?yàn)镈A是⊙O的切線，所以DA⊥OA，即∠OAD=90°. 因?yàn)锽C是⊙O的切線，所以BC⊥OC，即∠OCB=90°. 所以∠OAD=∠OCB=90°. 所以BC∥AD.

所以四邊形ABCD是平行四邊形. 所以AD=BC=. 因?yàn)锳C是⊙O的直徑，所以∠AEC=90°. 所以∠CEB=90°. 在Rt△ABC和Rt△CBE中，因?yàn)椤螧=∠B，∠ACB=∠CEB=90°，所以△ACB∽△CEB. 所以=，即=. 所以BE=.

對(duì)幾何題命制的幾點(diǎn)思考

一道好的試題，既要體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能與經(jīng)驗(yàn)、能力的內(nèi)在價(jià)值，又要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，關(guān)注學(xué)生的情感態(tài)度和個(gè)體差異，使之成為學(xué)生與知識(shí)、情境、命題者之間自然對(duì)話的良好載體.

命制出一道高質(zhì)量的原創(chuàng)試題，實(shí)在不易！它既要符合新課程理念，提升能力考查，側(cè)重知識(shí)活用，又要使試題的形式新穎，所用材料豐富多彩，并達(dá)到科學(xué)合理的難易度、區(qū)分度. 以本題為例，命題考查以圓為基礎(chǔ)的綜合幾何圖形，要求學(xué)生會(huì)證明圓的切線，能運(yùn)用平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理、三角形相似，能靈活運(yùn)用“弦切角”的相關(guān)結(jié)論. 此題難度適中，屬于中檔題，適合大部分學(xué)生，有較好的效度. 解答此題的方法比較多，考查發(fā)散能力，也有不錯(cuò)的區(qū)分度. 情境中存在基本圖形，又是原創(chuàng)題，故而有較好的信度，這樣的試題才會(huì)適用于各個(gè)層次學(xué)生發(fā)展的需要.

教師要加強(qiáng)對(duì)問(wèn)題通性通法的研究. 講通性通法就是要暫時(shí)撇開(kāi)具體的小方法，要重視與培養(yǎng)一種能統(tǒng)領(lǐng)全局的大方法，這也正是本人命題的理想與追求. 同時(shí)，也將教師與學(xué)生從“題海”中拯救出來(lái). 命題者和教師都有這樣的認(rèn)識(shí)、思考與實(shí)施，必然能對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)起到良好且積極的導(dǎo)向作用，必然會(huì)促進(jìn)教師教學(xué)行為與學(xué)生學(xué)習(xí)行為的自我超越.