“問題”：數學探究的核心動力

曹愛華

摘 要：數學的學習過程是一個動態生成的過程，其核心是學生的自主探究促進知識體系的自我建構。在這一過程中，數學問題起著重要的作用：指向性的問題，引出探究方向；挑戰性的問題，激發探究興趣；遞進式的問題，突破探究難點；開放性的問題，拓展探究空間。教者要準確抓住契機，巧妙設計問題，讓“問題”成為數學探究的核心動力。

關鍵詞：問題；探究；核心動力

筆者在南師附小聽了賁友林老師的一節課，整節課賁老師只提了幾個問題，就將整個課堂有效展開，探究目的明確，探究方式多元，探究過程高效，探究成果豐碩，令聽課的教師很是震撼。這節課令筆者充分領略到數學問題對于學生探究的重要作用，經過筆者的實踐與思考，有如下心得：

一、指向性的問題，引出探究方向

探究是有效數學課堂的關鍵因素，探究的有效展開需要明確的探究方向。學生順利找到探究方向，是探究有效展開的基石。通過巧設指向性的問題，可以幫助學生把握研究的方向。

例如：賁友林老師教學《釘子板上的多邊形》一課，在上課之始，拋出指向性問題幫助學生引出探究的方向：

師：釘子板上的多邊形的面積可能和什么有關？

生1：與里面的釘子數有關。

生2：應該與邊上的釘子數有關。

生3：我感覺和里面的釘子數、邊上的釘子數都有關。

師：同學們有不同的觀點，但是有一點是一致的，就是和釘子數有關，我們就來研究研究它的面積到底和哪些釘子有關，看這一組圖形。

……

通過一個問題的拋出，利用學生的初步感知和生生之間的感知沖突，有效地引出了探究方向：釘子數（邊上、內部、全部）和多邊形面積的關系。自然、協調，水到渠成，為學生的進一步探究奠定了堅實的基礎。

二、挑戰性的問題，激發探究興趣

問題的難易程度對于激發學生的探究興趣有著重要作用，簡單的問題并不利于激發學生的探究興趣，具有挑戰性的問題能讓學生產生認知心理上的不平衡，能激發學生向著問題所指目標努力的心理驅動，這種強烈的心理暗示使得學生思維更加活躍，探究更加深入。

例如，在教學蘇教版三年級《長方形的面積》時，有這樣一個活動，用12個1平方厘米的正方形拼成一個長方形。學生拼得毫無興趣。筆者適時改變了思路，提出一個問題：“你們能拼出幾種不同的圖形？能把所有情況都找出來嗎？”學生的探究興趣一下子激發出來了，有的學生大聲喊出“能”。有的學生說：“老師，您等一下，先讓我們擺一擺。”幾分鐘之后更是出現了激烈的爭辯，有的說三種情況，有的說六種情況。雙方分別說出了自己的道理，稱有六種的同學說：“我是按照順序擺的，可以擺成一排、兩排、三排、四排、六排、十二排?！绷硪环秸f：“你是按順序來的，可擺成一排和擺成十二排是一樣的，都是長是12厘米，寬是1厘米，只是擺的方向不一樣。”經過討論，最終大家都認為是三種情況。

在上述案例中，從毫無興趣到積極探究，再到激烈爭辯，發生這一轉變的關鍵就是一個問題的提出。一個具有挑戰性的問題，激發了學生的探究欲望，促進了生生之間的思維碰撞。

三、遞進式的問題，突破探究難點

“遞進式的問題”就是在學生的認知過程中架設的不同“階梯”，讓它們循序漸進地攀登。它的本質是，讓學生向最近的目標發展，逐步構建，自主生成，走可持續發展的道路。尤其是在學生進入探究困境時，直白的講授效果往往不是很好，通過遞進式的提問，引導學生經歷自我否定和修正的過程，才能真正幫助學生走出困境，觸類旁通。

例如：筆者在教學《數字與信息》這節課時，設計如下探究任務：給自己設計一個編號，可以在整個小學階段使用，學號包含的信息有班級、性別、學號。學生初步嘗試之后就提出班號、性別和學號可以表示出來，但是年級在不斷變化，表示出來有困難。筆者提出如下問題：

師：“性別”你們是如何表示的？

生：我用“1”表示男生，用“2”表示女生。

師：你是怎么想到的呢？

生：因為剛剛學習的身份證號碼中，單數表示男生，雙數表示女生，所以就想到這樣表示，我用兩個數字表示更清楚。

師：確實這樣更清楚。身份證號碼可以用一生，給每位同學編號用六年應該也行吧？

生：身份證號碼中的信息都是不變的，給同學編號，年級在不斷變化。

師：身份證號碼中只能看出不變的信息嗎？能不能看出一些變化的信息？

（學生一番思索）

生：有，年齡可以看出來，年齡在不斷變化。

師：從什么信息中可以看出年齡？

生：從出生日期可以看出，雖然年齡在不斷變化，但是出生日期不會變化，可以推算出不斷變化的年齡。

此時，就有學生喊道：“老師我會了，跟出生日期一樣，我們進學校的日期放在前面就可以看出是幾年級了?！庇袑W生補充道：“不用日期，只要年份就可以了。”又有學生舉手：“年份前面的20也可以不要了，省略不影響信息的表示，這樣更簡潔、更清晰?！?/p>

通過遞進式問題架設橋梁，借助已有知識進行點撥，原本毫無頭緒的問題迎刃而解。實際教學過程中，學生的探究經常會走入死胡同或者偏離正確的方向，學生會感到茫然無措。在這種情況下，幫助學生理清思路的核心是學生的自我否定、重新建構，教師巧妙設計遞進式問題，是幫助學生從自我否定到重新建構的有效途徑。

四、開放性的問題，拓展探究空間

開放性的問題促進數學思想方法的提煉和升華，更是數學思想方法拓展應用的有效驅動，有利于激發學生的探究興趣，培養創造性思維。開放性的數學問題拓寬了探究空間，強化體驗知識的產生與發展的過程，揭示了知識之間的聯系及數學思想方法的實用性。

例如：筆者在教學《一一列舉的策略》一課時，下課前提出了這樣一個開放的問題：一一列舉在什么地方還有運用，除了數學知識的學習會用到，在其他領域有沒有運用呢？反饋的結果令人驚喜：

生1：在學習因數和倍數時，用一一列舉找到了一個數所有的因數，用列舉法找到了一個數倍數的特點。

生2：我爸爸給我講數線段時，我就是列舉一條一條的線段，沒有做到一一列舉，所以不成功。我爸爸給我講了公式，但是我并不清楚公式的意思。昨天我通過一一列舉，按順序找出了所有線段，有了很多發現：（1）如果有n個端點，第一個端點可以引出（n-1）條線段，第二個端點可以引出（n-2）條線段，第三個端點可以引出（n-3）條線段，……倒數第二個端點可以引出1條線段，最后一個端點引出0條線段。所以線段總數就是（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+1。（2）我爸爸講的公式是n×（n-1）÷2，我把兩個公式對比之后想到了高斯小時候算1加到100的故事，這兩個公式表示的意思是一樣的。

生3：有一個“雞兔同籠”問題，我一直沒能做出來，通過一一列舉，我把這個題目做出來了。

生4：生活當中也有一一列舉。我家去年裝修，我爸爸預算裝修總價時就是一一列舉了所有步驟的費用，然后算出總價的。我的房間買家具時，爸爸媽媽給我預選了兩張床和三張書桌，讓我看看有幾種組合方式，每一種需要花多少錢，我也是用一一列舉的方法解決的。

……

開放性的問題有問未必有答，即使有答，答案也并非是唯一的、標準化的。它可以讓仁者見仁，智者見智，最大限度地調動學生的積極性，開放性的問題把學生的數學思維加深拓寬，提高了學生的創新意識和創新能力。開放性的問題，給學生提供了更大的舞臺，讓每個學生的數學才能可以發揮得淋漓盡致。

數學問題的類型不僅僅是這幾種，作用更是多元的，要充分發揮數學問題的重要作用，需要更多的教學智慧。教者要樹立正確的問題意識，準確抓住契機，巧妙設計問題，指引學生找到探究的方向、路徑和策略，讓“問題”成為數學探究的核心動力，驅動課堂的動態生成和課外的拓展探究。