基于LabVIEW的SISO系統傳遞函數估計虛擬儀器設計

耿彥章，呂海峰，安 君，冀曉菲

（中北大學機械與動力工程學院，山西 太原 030051）

基于LabVIEW的SISO系統傳遞函數估計虛擬儀器設計

耿彥章，呂海峰，安 君，冀曉菲

（中北大學機械與動力工程學院，山西 太原 030051）

針對在實際工程研究領域中經常要對SISO系統進行系統辨識的問題，開發一套基于LabVIEW的SISO系統傳遞函數階數與參數估計虛擬儀器。該虛擬儀器使用基本定義法與聯合輸入輸出法兩種傳遞函數參數估計方法進行相互比對，從而得到SISO系統的S域傳遞函數數學表達式的參數。通過對一個典型RLC二階電路系統對該虛擬儀器進行理論分析與實驗驗證。由高頻狀態下的誤差分析證明兩種算法的結合部分在高頻區間會增大誤差。最終證明，這套系統傳遞函數階數與參數估計虛擬儀器所辨識得到的系統模型參數在低頻狀態下具有較高的準確性。

傳遞函數；系統辨識；聯合輸入輸出法；信號分析；RLC二階電路

0 引 言

從狹義上講，單輸入單輸出系統（single input single output system，SISO）是自動控制領域中的一種系統模型，這種系統只具有一個信號參數輸入端口與一個信號參數輸出端口。從廣義上講，這種SISO系統則存在于工程技術、社會生活中的各個領域。在工程上，對某個未知系統的數學模型分析與系統辨識是非常有價值的。一個未知的SISO電氣、機械或聲學[1]系統的工程分析主要體現在系統傳遞函數（transfer function）的辨識與參數識別[2]。在確定系統的階數、估計系統的傳遞函數并進行系統的參數識別方面，國內外已有了很多先進方法與理論。李敏花等[3]通過采用LM算法極小化代價函數，應用在系統辨識領域，提出了一種估計出系統未知參數的方法。袁東等[4]進行了二階系統線性自抗擾控制器頻帶特性與參數配置研究。Atcitty Stanley發明了一種自動計算系統傳遞函數的計算方法。秦來安等[5]將常用的系統辨識方法進行分析對比，得出了不同的方法適用于不同情況不同要求的工況分析。近些年隨著虛擬儀器技術的不斷發展，傳遞函數與虛擬儀器結合的工程應用實例不斷增加。柳明洙等[6]通過設計具有分析傳遞函數功能的虛擬儀器實現了對電壓閃變的監測。郭棟梁等[7]基于LabVIEW與參數分析設計實現一種通用電路板自動故障診斷系統。盡管系統辨識與傳遞函數參數估計的理論方法不斷增加，但是迄今為止還鮮有具有對SISO系統進行系統辨識功能的虛擬儀器設備出現。

本文提出一種基于LabVIEW的SISO系統傳函與階數估計虛擬儀器，該方案可以對常見SISO信號系統進行傳遞函數的S域參數識別，并對未知系統進行辨識與傳遞函數階數判斷。基于LabVIEW的傳遞函數辨識系統具有操作簡便，分析迅速，計算準確的優點。

1 傳遞函數的參數估計原理

1.1 定義法

對于一個廣義系統來說，通常會有若干個輸入節點與若干個輸出節點。如圖1所示，一般的SISO系統應該只具有一個輸入節點與一個輸出節點，同時這個系統可以是電氣系統，機械系統或聲學系統等。

傳遞函數的數學定義是：線性定常系統在零初始條件下，系統輸入量與系統輸出量的拉氏變換之比。將輸入點與輸出點之間的整體部分視為一個完整的系統，通過對系統傳遞函數H（s）的估計，可以得出這個系統的動態特性以及穩定性等系統的獨有特性的數學描述。系統的輸入信號X（t）與輸出信號Y（t），則經過拉氏變換后相除就得到了這個系統的傳遞函數：

圖1 SISO系統示意圖

一種常見的求傳遞函數的方法是，對輸入輸出信號X（t）與Y（t）來講，傳遞函數是對這兩種信號所在的線性時不變系統的描述。因此對X（t）與Y（t）求互功率譜 SYX（jω），對 X（t）求自功率譜 SXX（jω），則系統的傳遞函數為

當測得系統的輸入信號X（t）與輸出信號Y（t）為簡諧信號時[5]，有：

這種傳遞函數的估計的方法測量要求簡單，計算步驟較少。所求得的傳遞函數H（s）是一個具體的復數值。這個值可以反映輸入信號與輸出信號在時域中的幅值比例與相位延遲關系，但是不能具體得到這個傳遞函數的S域數學表達式。

1.2 聯合輸入輸出法

LabVIEW的仿真與控制工具包中所包含的傳遞函數參數估計程序采用聯合輸入輸出法（joint input-output method）進行系統的傳遞函數參數原理。這種方法是綜合直接辨別法（direct identification）與間接辨別法（indirect identification）兩種系統辨識估算模型對系統進行傳遞函數估計與參數識別[8-10]。

該方法是對于某閉環線性時不變SISO控制系統，有：

其中 yt與xt分別代表輸出與輸入信號，G（q，θ）代表在線性時不變控制器K（q，θ）與外部參考信號rt影響下的傳遞函數并且在后移算子q-1中為有理式，且

式中：θ——多項式中的實數向量參數；

νt——期望為0的平穩白噪聲；

ma、mb——正整數。

設rt為弱平穩過程信號，它的譜密度為φr（ω）。進一步用 G（q，θ），K（q，θ）來表示 xt與 yt的關系：

其中 K 為實數，P（q，θ）、L（q，θ）都是后移算子 q-1中的多項式，這就要求上式中的分子P（q，θ）形成開環節點A（q，θ）的子集，即對于某些多項式，有：

假設其系統辨識得到的估計傳遞函數具有以下4個特征：

1）該傳遞函數不存在零點對消，且并非是不可確定的；

2）φr（ω）=μ 為一常數；

3）線性時不變控制器 K（q，θ），應滿足：

并且 P（q，θ）滿足式（9）。

4）閉環函數零點應滿足：

基于上述理論，只需知道信號xt與yt就可以按如下的方法估計傳遞函數：

其中

是 yt與的均方誤差的一階矩。根據式（4）給出的系統模型，有：

即為傳遞函數參數估計式。

聯合輸入輸出法可以在已知系統傳遞函數為確定的階數時，有效辨別系統的傳遞函數Z域與S域參數。但這種方法所估計出的傳遞函數參數是與對應系統的階數相關的，如果被測系統的傳遞函數階數不能在參數識別之前被確定，則聯合輸入輸出法的系統參數辨識結果可能與系統的真實參數存在一定的誤差。本文綜合上述兩種傳遞函數辨識理論，使用LabVIEW軟件環境，編寫出一種階數遞增的傳遞函數S域參數識別程序。該程序可同時使用兩種不同方法對SISO系統進行系統辨識，結合兩種方法的優點，將得到的結果相互比對，以達到逐階辨識的目的。

2 測量系統設計

該程序的軟件結構圖如圖2所示。使用LabVIEW圖形化編程平臺，對整個系統進行模塊化編程。整個系統分為信號發生部分、信號采集部分、信號處理部分。其中信號發生部分的主要功能是產生自定義頻率、幅值、偏移量的簡諧信號，配置相應的硬件實現程序。信號采集部分的主要功能是對被測系統的輸入信號與輸出信號進行時域采集，并設置所需要的采樣方式、采樣率與待讀取采樣數。信號處理部分的主要功能是對采集到的時域信號進行分流、示波、頻譜分析，同時編寫相應的算法實現傳遞函數的階數與參數估計。

圖2 軟件結構圖

圖3 軟件流程圖

該程序的程序流程如圖3所示。程序的設計思路：首先使用LabVIEW的仿真信號發生功能進行簡諧信號的產生，并且通過播放波形函數由計算機聲卡產生原始的電壓簡諧激勵信號。該信號經過功率放大器放大后，對被測系統進行激勵。當被測系統為機械振動系統時，需要接入激振器將電信號轉換為機械振動信號進行激勵[11]。使用數據采集卡對系統的輸入與輸出時域信號進行采集，得到的信號分別通過聯合輸入輸出法與功率譜密度法進行運算，比較后得出聯合輸入輸出法所求的S域傳遞函數是否接近真實值，如果不接近，則傳遞函數模型階數遞增，并重復至可接受的值為止。

該程序的核心算法為對時域信號進行自譜與互譜分析，并且調用LabVIEW的模態識別參數估計函數：SI Estimate Function Modal。程序后面板如圖4所示，采集到的輸出信號與輸入信號的時域信號在程序內同時進行兩種不同的運算處理。其中一種是計算輸入與輸出信號互功率譜，將得到的復數結果與輸入信號的自功率譜進行除法運算，得到傳遞函數的復函數值C1。第2種運算是時域信號與當前假設階數同時輸入到SI Estimate Function Modal函數中，函數經過聯合輸入輸出法計算后，得到系統的傳遞函數S域表達式：

圖4 傳遞函數參數估計核心程序

圖5 測試用RLC電路

將式（3）代入到式（13）中，可求得傳遞函數的復函數值C2。對于傳遞函數的特性，通常更關心結果的模值與輻角值，因此對C1與C2進行模與輻角運算。得到的結果（即 abs（C1）與 abs（C2），angle（C1）與angle（C2））分別進行相除比較。由于一般工程上系統辨識的準確度要求控制在95%以上，如果其中某個較小的值與較大的值比值小于0.97，就判定本次估計不準確。這時測量系統將會把預估階數提高一階，并且再次進行計算比較。當較小的值與較大的值得比值大于或等于0.97時，則認為兩種不同算法得到的結果相似度超過97%，從而本次估計結果可靠。當前的預估階數就是系統階數，得到的參數就是當前系統的傳遞函數S域參數。

3 實驗驗證

為測試該SISO系統傳函與階數估計虛擬儀器的真實性與可靠性，采用實驗驗證的方法對此系統進行檢驗。如圖5所示，設計一個由已知元件組成的RLC二階電路的待測系統，其特性如下：由一個L=100 nH的共模電感，一個R=330 Ω的電阻,一個C=100nF的電容組成。

圖6 實驗結果

根據已知參數，可以列出這個二階電路的微分方程，求得該電路的傳遞函數表達式為

實驗使用NI-DAQ9234數據采集卡對該二階電路的輸入輸出信號進行采樣。由于聲卡中的信號輸出電壓小于1V，使用SINOCERA-YE5871A型功率放大器進行信號放大。最終軟件測試結果圖分別如圖6所示。

根據軟件測試結果，得到的S域傳遞函數的最佳階數為2階，分子參數為8.859 76×10-1，分母參數為 9.39×10-7，2.87881×10-2。 代入數學表達式為

將式（3）代入后，即求得該系統傳遞函數。最終將傳遞函數從幅頻結果與相頻結果兩個方面進行分析，與式（5）的理論計算值對比結果如圖7所示。

從圖中可以較為清晰的看出，該SISO系統傳函與階數估計虛擬儀器進行傳遞函階數與數參數估計的參數結果在低頻部分與理論分析結果符合良好。在高頻部分，幅頻結果的實驗結果與理論推導吻合得較好，但是相頻結果則出現了偏差，偏差值隨著頻率的增大繼續增加。

圖7 理論與實驗結果對比

對上述誤差進行分析：根據聯合輸入輸出法原理，進行系統的傳遞函數估計時，應盡量取頻率分布區間廣泛的信號進行分析，例如高斯白噪聲。由式（7）可知，在一次系統辨識中使用xt所具有的有效值在頻域上分布越廣，則代入方程式后計算出的結果越接近真實值。而使用基本定義法進行系統的傳遞函數估計時，則應盡量選取頻率成分單純的信號進行分析，例如單一頻率的正弦信號。但是使用單一頻率會導致在遠離該頻率的傳遞函數部分出現估算誤差。這種算法上的差異造成了該系統在對SISO系統傳遞函數進行參數估計時產生的誤差，同時這種誤差會隨著代入表達式中的頻率值增大而繼續增大。而低頻區間的頻率值代入式（4）、式（7）后，由于頻帶范圍短，頻率值更小，從而計算誤差減小，傳參估計結果更加精確。

4 結束語

根據聯合輸入輸出法與功率譜密度法原理設計的SISO系統傳遞函數階數與參數估計虛擬儀器，可以準確辨識出未知系統在低頻輸入條件下的傳遞函數階數與S域數學表達式參數。由于兩種核心算法具有不同的側重點，會造成在系統高頻輸入條件下的傳遞函數辨識結果產生一定的誤差，因此可以從協調兩種算法為切入點來進一步優化該虛擬儀器的測量精確度。

[1]LU Z.The phase shift method for studying nonlinear acoustics in a soil[J].Acta Acustica United with Acustica，2007，93（4）：542-554.

[2]LEVY E C.Complex-curve fitting[J].Ire Transactions on Automatic Control，1959，4（1）：37-43.

[3]李敏花，柏猛，呂英俊.LM算法在二階過阻尼系統參數估計中的應用[J].自動化儀表，2015（7）：90-93.

[4]袁東，馬曉軍，曾慶含.二階系統線性自抗擾控制器頻帶特性與參數配置研究[J].控制理論與應用，2013，30（12）：1630-1640.

[5]秦來安，侯再紅，吳毅.光電跟蹤架傳遞函數辨識方法及應用[J].紅外與激光工程，2012，41（10）：2810-2816.

[6] 柳明洙，劉永強，劉博，等.一種利用虛擬儀器建立的電壓閃變監測方法[J].中國測試，2009，35（3）：118-120.

[7]郭棟梁，劉新妹，殷俊齡.通用電路板自動故障診斷系統的設計與實現[J].中國測試，2016，42（7）：112-116.

[8]SANO A， SUN L， OHMORI H.Direct closed-loop ident ification approach to unstable systems[C]//International Conterence on Control Applications.IEEE，1999（1）：749-754.

[9]NINNESS B，HJALMARSSON H.On the frequency domain accuracy of closed-loop estimates[C]//Conference on Decision&Control.IEEE，2003，6（7）：5997-6002.

[10]NINNESS B， HJALMARSSON H.Analysis of the varia bility ofjointinput-outputestimation methods[J].Automatica，2005，41（7）：1123-1132.

[11]任艷波，于海濤，趙偉，等.基于LabVIEW的諧振式微懸臂梁傳感器智能激勵與檢測系統[J].儀表技術與傳感器，2015（12）：11-14.

（編輯：劉楊）

Design of virtual instrument for identification of transfer function of SISO system based on LabVIEW

GENG Yanzhang， Lü Haifeng， AN Jun， JI Xiaofei
（School of Mechanical and Power Engineering，North University of China，Taiyuan 030051，China）

In order to solve the problem of identification of SISO system，a virtual instrument system based on LabVIEW was developed.By using two different methods named basic definition method to identify and joint input-outputmethod to estimate transfer function， this virtual instrument can get the order of the system and the parameters of the transfer function in sdomain.Based on a typical RLC second order circuit system theoretical analysis and experimental verification，this virtual instrument was shown to have high accuracy in identification of SISO systems in the low frequency range.The error analysis of the high-frequency state proves that the combination of the two algorithms will increase the error in the high-frequency range.

transfer function； system identification； joint input-output method； signal analysis；RLC second order circuit

A

1674-5124（2017）06-0103-05

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.06.022

2016-11-20；

2016-12-08

國家自然科學基金（51305409）；山西省青年科技研究基金（2013021020-2）

耿彥章（1990-），男，內蒙古錫林浩特市人，碩士研究生，專業方向為聲學測試。