對2017年高考北京卷理綜“干涉導航”問題的討論

李永樂

（中國人民大學附屬中學，北京 100080）

對2017年高考北京卷理綜“干涉導航”問題的討論

李永樂

（中國人民大學附屬中學，北京 100080）

本文討論了2017年高考北京卷理綜第20題：干涉在飛機降落導航中的應用，詳細分析了該題目所考察的“波的干涉”原理，并對題目的一些表述提出修改建議.

波的干涉；飛機降落導航；2017年高考北京卷

2017年北京高考理綜物理部分整體難度不大，其中第20題涉及到波的干涉在航空領域的應用，考察了學生對干涉條件和干涉位置的理解，新穎而深刻，實在是一個不可多得的好題.但是，題目中省略了很多重要條件，這可能造成一部分學生對題目的理解出現(xiàn)偏差.

原題.物理學原理在現(xiàn)代科技中有許多重要應用.例如，利用波的干涉，可將無線電波的干涉信號用于飛機降落的導航.

如圖1所示，兩個可發(fā)射無線電波的天線對稱地固定于飛機跑道兩側，它們類似于楊氏干涉實驗中的雙縫.兩天線同時都發(fā)出波長λ1和λ2的無線電波.飛機降落過程中，當接收到λ1和λ2的信號都保持最強時，表明飛機已對準跑道.下列說法正確的是

（A）天線發(fā)出的兩種無線電波必須一樣強.

（B）導航利用了λ1和λ2兩種無線電波之間的干涉.（C）兩種無線電波在空間的強弱分布穩(wěn)定.（D）兩種無線電波各自在空間的強弱分布完全重合.

圖1 飛機降落

1 題目解析

1.1 兩套波各自干涉

兩列波在空間中疊加并且發(fā)生穩(wěn)定干涉的條件是頻率相同、相位差恒定、振動方向相同.題目中隱含了λ1≠λ2的條件，波長λ1和λ2的無線電之間不能發(fā)生穩(wěn)定干涉，而是兩個發(fā)射器發(fā)出的兩列波長為λ1的波之間發(fā)生干涉、兩列波長為λ2的波之間也發(fā)生干涉，空間中形成了兩套穩(wěn)定干涉.

由于兩種無線電之間不發(fā)生干涉，因此不需要兩種無線電波的強度（或稱振幅）相同.（A）選項“天線發(fā)出的兩種無線電波必須一樣強”、（B）選項“導航利用了λ1與λ2兩種無線電波之間的干涉”都是錯誤的.

1.2 兩套干涉的加強和減弱位置固定

設兩個波源分別位于A、B位置，并且為同相波源.若空間中某點P到兩波源A和B的距離差等于波長整數(shù)倍，兩列波在P點干涉加強；若距離差等于半波長奇數(shù)倍，兩列波在P點干涉減弱，即

其中，k＝0，±1，±2，…空間中滿足k＝0的零級干涉加強位置是到A和B距離相等的點的集合，根據(jù)數(shù)學結論，這是A和B的中垂面上.

空間中k≠0的干涉加強位置到兩個波源的距離差為定值，根據(jù)數(shù)學結論，這些位置是以兩個波源為焦點的雙曲面組.

為簡單起見，首先只考慮地面上加強和減弱的位置.將地面上λ1的干涉加強位置畫出，如圖2所示.

圖2 波長為λ1的兩列波干涉加強區(qū)域

同樣的，將地面上波長為λ2的干涉加強區(qū)域畫出，它也是A和B的中垂線和以A、B為焦點的雙曲線組.

不過，由于λ1≠λ2，除了波源的中垂線外，兩列波干涉加強和減弱區(qū)域一般是不同的.例如，若λ2＞λ1，則λ1的干涉加強區(qū)域較多，λ2干涉加強區(qū)域較少.

如圖3所示.實線表示地面上兩列波長為λ1的干涉加強區(qū)域，虛線表示波長為λ2的兩列波干涉加強區(qū)域.

圖3 兩套干涉加強區(qū)域除零級外一般不重合

綜上所述，兩列λ1波和兩列λ2波的干涉區(qū)域分別固定，但是在λ1≠λ2時，二者不能完全重合.只有零級加強區(qū)域——即到達兩個波源距離相等的點才是公共的重合區(qū)域.因此（C）選項正確，（D）選項錯誤.

在地面上看，公共加強區(qū)域是波源的中垂線，在空間上看，這個區(qū)域是兩個波源的中垂面.如圖4所示，兩個波源的中垂面上是兩套干涉公共的加強區(qū)域.飛機在降落過程中，無論是沿著直線降落，還是沿著曲線降落，只要飛機始終保持在中垂面內，那么飛機到兩個波源的距離始終相等，因此收到的λ1和λ2信號始終加強，這便是題目中“對準跑道”的含義.

圖4 飛機沿著波源中垂面飛行時收到兩套干涉加強信號

2 對題目的修改建議

本題是一道精彩的物理原理在實際中的應用問題，但是題目在描述和條件上依然存在一些問題，如以下所述.

2.1 隱含條件沒有明確指出

首先，穩(wěn)定干涉條件是：兩列波頻率相同、相位差恒定、振動方向相同.題目設計意圖考察考生對波長不同的電磁波不能發(fā)生干涉的理解，但是又沒有明確指出λ1≠λ2.

其次，只有兩個波源是同相波源時，才有（1）式的結論.若兩個波源是反相波源——即A波源發(fā)出波峰時，B波源發(fā)射波谷，那么（1）式的結論剛好相反，

其中k＝0，±1，±2，…此時如果飛機剛好對準跑道，則會收到兩套減弱信號，不滿足題目中所說“當接收到λ1和λ2的信號都保持最強時，表明飛機已對準跑道”的結論.

若波源的相位差為其他值，則結論又會有所不同.

因此，為了保證飛機對準跑道時收到兩套加強信號，題目應該指出兩個波源對于兩種電磁波都是同相波源.

2.2 λ1與λ2之比不能等于兩個較小的整數(shù)的比

兩套不同波長的電磁波干涉，加強和減弱區(qū)域不能完全重合.但并非所有加強區(qū)域和減弱區(qū)域都不重合.例如，在同相波源的前提下，兩套干涉的零級加強區(qū)域就是相同的.

除零級干涉外，是否還有其他干涉加強區(qū)域重合呢？

若P點處于兩套干涉的公共加強區(qū)域，則P到A和B的距離差需要滿足

其中k、k′都是整數(shù).此時可以得到如果兩種電磁波的波長比為簡單整數(shù)比，二者除零級加強外依然存在其他加強區(qū)域重合.

例如：λ1＝2λ2時，λ1的第一級干涉加強區(qū)域就和λ2的第二級干涉加強區(qū)域重合；λ1的第二級干涉加強區(qū)域也和λ2的第四級干涉加強區(qū)域重合……這些此區(qū)域都是雙曲面.若飛機接收到兩套干涉加強，既可能位于零級加強區(qū)域（中垂面）上，也可能位于以上任何一個雙曲面上.飛機若在雙曲面上飛行，就沒有對準跑道，因此會發(fā)生危險.

若兩種電磁波波長之比不是整數(shù)比，或為兩個較大的整數(shù)比，那么這個問題就不會出現(xiàn)了，這是因為兩個波源之間干涉加強的級數(shù)是有限的.

例如：兩個波源相距40m，電磁波的波長為λ1＝5m和λ2＝5.1m，二者之比為50∶51，于是λ1的第51級干涉加強區(qū)域與λ2的第50級干涉加強區(qū)域重合.但是飛機到兩波源之間的距離差小于40m，因此至多存在8級干涉加強區(qū)域，兩套干涉加強區(qū)域除了零級外都不會重合.

綜上所述，為了保證題目的嚴謹性，應該添加“λ1與λ2之比不為兩個較小的整數(shù)之比”的條件.

3 結語

在美國的一本物理教材中討論了利用雙縫干涉原理指導飛機降落的方式，［1］本題可能借鑒了這本教材，并做了適當簡化.為了保證試題的嚴謹性，筆者依然建議補充“波源發(fā)射同相位電磁波”“兩種波長不同”“波長之比不等于較小的整數(shù)比”三個條件.

縱然如此，此題依然非常精彩.在未來的高考中，依然期待出現(xiàn)更多類似的理論聯(lián)系實際問題，以考察學生對知識熟練運用的能力.

1 R A Serway，J W Jewett.Physics for scientists and engineers with modern physics［M］.6thed.United States of America：Thomson，2004：1179－1198.

2017－06－10）