挖掘隱含條件，妙解初中數學題

曹孝林

摘 要：數學問題中的隱含條件主要是指隱藏在題目內容的必要解題條件，學生需要經過適當的條件推理、計算變換等基本過程才能將其挖掘出來。對于初中階段的學生而言，對其進行數學解題能力的培養事實上就是引導學生挖掘數學題中的隱含條件，進而實現鍛煉其自身邏輯思維能力的目的。教師應積極采取相應教學策略，以有效幫助學生掌握科學的解題思路，從而進一步形成良好的解題、思考習慣。在本文中，筆者詳細講解了如何在學生的解題過程中挖掘隱含條件的相關策略，旨在為學生數學解題能力鍛煉、培養工作提供參考思路。

關鍵詞：隱含條件 逆向思維 妙解挖掘

一、 從已知條件中挖掘隱含條件

從初中數學題的題型難度與解題技巧綜合因素上考慮，大部分的隱含條件往往就存在于一致條件中。學生只需要在解題時對題目中所給出的一致條件進行更為簡單的推算即可輕松得出。然而，由于部分學生在解題時急于做題，因此忽略了題目中的重要條件。從已知條件中挖掘隱含條件的基本方法上看，學生大致可以參照如下三種方法進行題目已知條件的思考。奇偶分析法：這種方法主要是通過等式兩邊的奇偶性分析，獲得已知條件中隱含條件的方法。特殊值分析法：這類方法通常應用于“恒成立”相關題型中，針對這一題型，學生可以將題目中所給出的關鍵變量或關鍵條件進行特殊性簡化。特殊公式推理法：學生在進行解題之前，則可以先對題目中所給出的特殊公式進行分析，再根據具體的分析結果對題目所給出的一致條件中是否存在隱含條件進行綜合判斷。例如，在題目“一元二次方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0，該方程的兩個實根分別為x1與x2，求解滿足該方程條件x12+x22最大值。”在這一題目中，若學生沒有對題目所包含的隱含條件進行進一步思考時，則極易忽略k值的取值情況，而直接根據方程式求解得出錯誤的“最大值為19”這一答案。

二、 結合代數形式挖掘隱含條件

代數式是初中數學的常見表達形式，在許多數學題中，隱含條件就隱藏在題目中的代數式中而不易被學生發現，學生若沒有將代數式中的隱含條件有效運用至數學題的解題過程中，那么學生所計算得出的結果通常為不完整或不準確的。由此可見，學生在面對含代數式的題型時，應充分思考代數式在題目中所代表的基本含義，并善于挖掘隱含條件，結合該條件對題目進行整體性把握，完善其解題過程，從而有效提高學生的解題準確度。例如，在方程“（a2+b2）2-3（a2+b2）-10=0，那么a2+b2的值為多少？”在具體的解題過程中，大多數學生都會將a2+b2看成一個整體，設a2+b2為y，那么原方程將簡化成常見的方程式。學生采用因式分解的方法則可快速得出y=5或y=-2。然而，學生對于a2+b2這一代數式的隱含條件有所忽視，即兩個數的平方之和不可能為負數，因此， y=-2這一結果不成立。

三、 求解定義范圍挖掘隱含條件

初中數學題目中的隱含條件有可能存在于題目已知條件中，也有可能出現在具體的解題過程中，針對這一情況，學生不僅需要在審題時做到縝密細致，更應該在解題過程中善于發現數學題中的邏輯規律，并善于從解題過程中挖掘出隱藏的解題條件。從另一方面上說，有些題目中雖然沒有直接給出淺顯的隱藏條件，但隨著解題進度的持續深入，學生會發現解題得出的部分結果事實上就是進行后續解題的條件。這類條件即使沒有被學生挖掘，卻也不會影響學生的解題。然而，由于學生缺少了這部分條件的輔助指引，所以最終的解題結果則一定不會是正確的答案。在初中數學解題過程中，通過求解定義范圍挖掘隱含條件的題型則大多為求解值域范圍與定義域范圍的這類題目。例如，在“二次函數ax2+4x+a的最大值是3時，a的值為多少？” 在一題中，若學生沒有對a值的取值范圍進行討論就直接將其帶入計算公式，得出a=4或a=-1這一答案時，那么就會出現這類題型的常見解題失誤。在本題中，一致條件已明確指出該函數的最大值為3，即該函數中的a值取值范圍應小于0，這是由于當a值大于0時，該函數就不存在最大值了。再比如，在“已知二元二次方程3x2+2y2=6x時，求x2+y2的最大值”一題中，學生也應根據題目所給出的已知條件求解該函數的定義域，即x大于0。

四、 利用逆推思想挖掘隱含條件

利用逆推思想挖掘隱含條件這一解題方法大多應用于初中數學的證明題型中，學生采用該方法進行數學解題時，通常需要將已知條件與所需要證明結果之間的關系進行逆推。運用逆向思維解題，不僅能夠使得學生在解題過程中從不同角度以及不同方向對題目要求進行思考，激發學生積極探索解題方法的熱情，還有利于在一定程度上拓寬學生的解題思路。在初中數學中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現得更加明顯。同時，采用逆推思想也是挖掘這類題目中所蘊含的隱藏條件的關鍵所在。另外，對于從結論很難分析出思路的題目，學生還可以結合結論和已知條件進行綜合分析，一般而言，在初中階段的證明題型中，題目中所給出的已知條件通常都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路。例如，在證明題“[1a]+[1b]+[2c]=0，求證a2+b2+c2=（a+b+c）2”一題中，學生可以采用逆推思維，從要論證的結果出發，將上述等式進行化簡后得出ab+bc+ca=0這一隱含條件。總而言之，學生在解答證明題目時，可以從所要論證的結果出發，積極采用逆推的思維將論證與條件進行相互結合，從而有效挖掘出兩者之間的隱藏條件。

五、 通過數形分析挖掘隱含條件

數形結合是教師在數學知識教學過程中的常用教學手法。在課堂上，教師采用直觀的圖形將題目中的數學變化情況為學生進行清楚明了的呈現，并以具體圖形中所反映出來的數量關系與題目中所要求求解的部分進行相互結合，從而幫助學生理清其解題思路。例如在求解“函數y=[sinx4-cosx]的最值”時，教師節可以指導學生采用屬性結合的方式，把抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，從而將題目中所隱含的sin2x+cos2x=1這一條件進行充分挖掘，并以定點（4，0）為圓心，將該題目轉化為定點到單位圓上的連線斜率最值問題，這樣一來，學生不僅擺脫了繁瑣的計算過程，更是將復雜問題簡單化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，學生首先應了解概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，只有在這一基礎上，才能將數學符號以數學圖形表示。其次，對于具體計算參數的取值范圍一定要作為結果的腺體條件，從而使得計算結果符合題意。而作為幾何知識的重要基礎內容，幾何圖形通常被看成是圖像化的數學公式，而在學生的數學解題教學過程中，數學教師也應善于引導學生對幾何圖形進行分析理解，從讀懂幾何圖形開始，逐步掌握利用幾何圖形挖掘題目中隱含的數據條件，從而實現對具體題目的有效解答。例如，在一個圓柱體中底面圓的半徑是2π，高為2，AB、CD分別為兩地面直徑，且AD、BC均為直線，若一只小蟲從A點出發，從側面爬行至C點結束，那么小蟲如何爬行，才能使得其所走路程最短。在進行本題解答時，教師應引導學生將這個圓柱體以數形結合思想展開成一個長方形，從而再通過勾股定理求得AC之間的最短距離。

隱含條件是學生在進行數學解題過程中的重要條件，由于這些條件隱藏含義的不同，學生在進行具體的題目解答時，則應對具體的題目條件進行細致分析。在具體的解題方法教學上，教師則可以從已知條件、結合代數形式、求解定義范圍、利用逆推思想以及通過數形分析等五個方面論述了解題過程中挖掘隱含條件的具體方法，從而幫助學生緊扣題意，結合相關知識點進一步提升其解題準確率。同時，教師在具體的教學過程中，還應根據學生的理解能力為其進行良好解題習慣的培養，從而為學生的后續數學知識學習與應用奠定良好基礎。

（作者單位：江西省萬安縣順峰中學）

責任編輯：潘中原