試析一道高考試題的思考與探究

徐忠宏

摘要：高考試題是教學(xué)備考最好的指揮棒，它考察知識的切入點(diǎn)往往新而不俗，具有探索性，正確地把握了考查難度.對高考題的解答探究，有助于我們把握高考對該部分知識點(diǎn)難度和深度要求，有助于發(fā)現(xiàn)高考題目與平時(shí)訓(xùn)練題目的聯(lián)系，增強(qiáng)分析判斷并解決題目的能力.如果我們能認(rèn)真思考，深入探究每道高考試題，不僅可以發(fā)現(xiàn)許多規(guī)律。而且可以進(jìn)一步提高我們分析問題、推理問題的能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.下面就近年的一道高考試題進(jìn)行一些思考和探究。

關(guān)鍵詞：高考題；思考；探究

隨著高考的不斷推進(jìn)，也越來越備受國家的高度重視，我們一線教師唯有從細(xì)小環(huán)節(jié)抓起，即使是一道常規(guī)題也勿放過，本文就是作者在應(yīng)戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的日子里的點(diǎn)滴積累與同行分享。 例（2010山東 理）如圖橢圓 的離心率為 ，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn) ， 為頂點(diǎn)的三角形的周長為 ，一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè) 為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線 和 與橢圓的交點(diǎn)分別為 和 .

（1）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線 和 的斜率分別為 ， ，證明： ；

（3）是否存在常數(shù) ，使 恒成立？若成立，求出 的值；若不存在，請說明理由.

探究 在解決該題的過程中，不難發(fā)現(xiàn)第（2）（3）問實(shí)際是關(guān)于解析幾何中定值的探索性問題，由此，在下文中著重對第（2）（3）問進(jìn)行探究：

在該問中我們注意點(diǎn) ， 的特殊性——既是橢圓的焦點(diǎn)，又是雙曲線的頂點(diǎn).而 為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，通過上述分析，可以發(fā)現(xiàn)第（2）問實(shí)際上說明了該雙曲線上任意一個(gè)不同與頂點(diǎn)的點(diǎn)與該雙曲線的頂點(diǎn)的連線的斜率之積等于1.

思考 在原題的該問下，求出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，如果雙曲線的方程發(fā)生變化，那么這兩條直線斜率之積還為1嗎？如果是定值，為什么？如果不是定值，該值由什么決定？

探究1 題中雙曲線的焦點(diǎn)在 軸，我們先來探究焦點(diǎn)在 軸的雙曲線.

設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .設(shè)其兩個(gè)頂點(diǎn)為 ， ，雙曲線上任一點(diǎn) （不同與頂點(diǎn)，即 ）.

則直線 的斜率為 ，直線 的斜率為 ，

故 ①

由點(diǎn) 在雙曲線上.可得 .所以

.代入①式，得

，顯然，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， .此時(shí)雙曲線離心率為 ，即對任意離心率為 的雙曲線，這兩條直線斜率之積都等于1.反之，當(dāng) 時(shí)， .

那么當(dāng)雙曲線變化時(shí)，斜率之積怎樣變化呢？

設(shè)該雙曲線離心率為 ，則 .

由此我們可以得到更為一般的結(jié)論：

對于焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線，其離心率為 ，則雙曲線上任意一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）與兩頂點(diǎn)的連線的斜率之積為定值 ，該定值與點(diǎn) 的位置無關(guān).

探究2 對于焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線，該結(jié)論是否也成立？如果成立，該值還是 嗎？

設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .設(shè)其兩個(gè)頂點(diǎn)為 ， ，雙曲線上任一點(diǎn) （不同與頂點(diǎn)，即 ）.

則直線 的斜率為 ，直線 的斜率為 ，

故 ②

由點(diǎn) 在雙曲線上.可得 .所以

.代入②式，得

設(shè)該雙曲線離心率為 ，則 .所以，這樣的兩直線斜率之積仍為定值 .但與焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線中得的定值不同.

結(jié)論

綜上，結(jié)合探究（1）與探究（2），可得如下結(jié)論：

雙曲線上任一（異于頂點(diǎn)）與兩頂點(diǎn)的連線的斜率之積為定值，該值與焦點(diǎn)所在的軸有關(guān).設(shè)離心率為 .

（1）若焦點(diǎn)在 軸，該定值為 .

（2）若焦點(diǎn)在 軸，該定值為 .

通過我們數(shù)學(xué)教師教師日積月累，以期對高中數(shù)學(xué)教師以他山之石，可以攻玉，對我們常規(guī)教育發(fā)揮應(yīng)有作用，幫助高中生渡過題海戰(zhàn)術(shù)的疲勞，沿著健康的學(xué)習(xí)道路繼續(xù)前行，提高中學(xué)生思維力度做一點(diǎn)貢獻(xiàn)。