幾何法探求圓錐曲線的中心

福建省福安市第二中學(xué) 高麗星

幾何法探求圓錐曲線的中心

福建省福安市第二中學(xué) 高麗星

從曲線與方程中不難知道，由方程容易判斷曲線是否有對稱中心；但由部分圖象確定曲線的中心問題可以用代數(shù)方程方法處理，也可以用幾何作圖方法得到圓錐曲線一部分圖象探求其中心，以下談?wù)勛约旱膶嵺`與思考。

一、圓定三生

已知圓的一部分圖象（即圓?。?，確定圓的中心（即圓心）方法：在圓弧上任作兩條不平行的弦，分別作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于一點(diǎn)，則點(diǎn) 就是該圓弧所對應(yīng)的圓的中心。橢圓是圓的壓縮或變換，那么已知橢圓的一部分圖象能確定橢圓的中心嗎？

橢圓是一個中心對稱圖形，過中心的任意一條弦都會與橢圓有兩個交點(diǎn)，并且這兩個交點(diǎn)關(guān)于中心對稱，即中心為該弦的中點(diǎn)。若將一組平行弦繼續(xù)作一系列平行弦，則其中必有一條是過中心的弦，當(dāng)這一組平行弦的所有中點(diǎn)共線時，將這些中點(diǎn)連起來形成一條直線（記這條直線為），則橢圓的中心在上，同理，中心也在另一組平行弦的中點(diǎn)連線 上，則的交點(diǎn)就是橢圓的中心。其作法如圖所示： 在橢圓弧上任作兩組平行弦A1A2∥B1B2，C1C2∥D1D2，其中不平行于分別取線段的中點(diǎn)為 ，連接相交于點(diǎn)則點(diǎn)就是該橢圓的中心。

接下來的問題就是要證明這組平行弦的所有中點(diǎn)共線即可，現(xiàn)證明如下：

二、不離不棄

可以大膽猜想類似橢圓方法處理雙曲線兩支的部分圖象探求其中心問題，如圖做出兩組平行弦中點(diǎn)連線的交點(diǎn)即為中心，以下證明平行弦中點(diǎn)共線即可。