向量在數學解題中的應用舉隅

江蘇省泗洪中學 張 飛

向量在數學解題中的應用舉隅

江蘇省泗洪中學 張 飛

向量問題在數學知識中占據著重要的地位，要想促使自身數學水平的提升，一定要突破向量知識，這樣才可以更加全面地提升數學水平。作為研究幾何的重要工具，向量不僅在數學中有廣泛的應用，而且在其他學科領域也具有重要的應用。因此，我們在學習的過程中應當掌握好向量的知識，在數學解題過程中通過靈活運用來不斷提升解題能力。下面我們就通過一些例子來討論向量在數學解題中的應用。

一、向量在幾何中的應用

在幾何知識的問題當中應用向量進行解答，目的是為了將幾何元素之間的位置關系轉換為相應的數量關系，從而能夠使得原來的形式邏輯轉化為現在的數值計算。利用向量進行解答，可以使問題更加直觀，對于我們解題來說具有更好的操作性，而且向量的應用大大降低了幾何知識高度抽象的空間想象的難度。例如，如下圖，已知平行四邊形ABCD，其中角A為銳角，并且滿足條件：AC2·BD2=AB4+AD4請證明∠A=45°。

我們對此題的解答如果借助向量知識就會變得比較簡單，如上圖，我們以平行四邊形的角A為原點建立直角坐標系，并取AD方向為x軸正方向，然后我們可以設∠A=α，AD的長度為r1，AB長度為r2，因此我們可以用向量表示出AB與∠A以及AD和AB之間的關系，然后通過相應的向量計算就可以求得關于α的余弦表示，進行整理后就可以得出α=45°。

向量在空間幾何中的應用是在平面幾何的基礎上增加了一個方向，這充分體現出了數形結合的數學思想。但是我們應當注意空間幾何本身難度就高于平面幾何，而且問題的情況多數相對復雜，因此在利用向量知識求解的時候，也應當對各種情況進行全面的考慮，在向量構造的時候要選擇合適的方向和大小，這樣才可以幫助我們更好地解答問題。

二、向量在代數中的應用

當我們學習過向量的基礎知識之后會發現，向量具有明顯的幾何特征，所以一般常常會將向量應用在幾何知識的問題求解當中。但是向量在代數中的應用也具有重要的作用，同樣會給我們帶來許多方便。因此在解決一些代數問題的時候，我們只要能夠認真觀察，仔細分析，將其中一些代數問題轉化為向量問題進行求解，也會發現許多收獲。同時，我們在利用向量知識解決代數問題的時候，應當注意建立模型，并且積累經驗，不斷豐富自己的解題模型，提升數學水平。下面我們來看一道例題：已知a2+b2+c2=1,同時有x2+y2+z2=1，請證明ax+by+cz≤1。

當我們看到題目的時候就會發現，如果直接用代數問題的常規思路去解決，會需要大量的計算和推導，過程可能會十分復雜。因此，我們可以使用向量知識來幫助我們解決這個問題。首先我們構造兩個向量分別是根據題目我們還可以指導所以，我們可以得到顯然||||cosα是不大于的，因此我們就可以得到ax+by+cz≤1，我們發現這個解答過程很簡單，只是用到了基礎的向量知識，而且也沒有復雜的計算。這就是向量知識在代數問題中發揮的作用，一般在解題過程中我們運用向量的數量積以及向量的加法，在上面的例題中還用到了三角不等式，通過對這些知識的綜合運用，實現對問題的快速、準確的解答。我們在日常的練習當中應當重視對自身解題思維的培養，要善于觀察，提高對問題的分析能力。

三、向量與三角公式結合

在與三角公式有關的問題中，我們也會常常用到向量的知識，從某種角度來說，這也是向量在幾何中的應用。但是三角公式在數學問題中出現的機會更多，而且能夠獨立構成一些重要的問題，因此我們在這里單獨進行介紹。在正弦定理和余弦定理當中，我們都可以借助向量知識對相關的數學問題進行求解，并且我們還可以通過向量知識證明正弦定理和余弦定理，而這個證明過程也是解決三角公式問題的基本思想，因此這里我們主要介紹向量法對正弦定理和余弦定理的證明過程。

下面我們來看看向量法是如何證明余弦定理的。如下圖，那么有在任意三角形ABC中，三個角所對應的邊分別為a，b，c，a2=b2+c2-2bc·cosA，b2=a2+c2-2ac·cosB，c2=a2+ b2-2ab·cosC。 在 證明余弦定理的時候，我們首先需要引入一個標記，定義向量在向量上的射影記作如上圖，在△ABC中根據射影定理還可以得所以有a=c·cosB+b·cosC，同理我們還可以得到b=a·cosC+c·cosA和c=a·cosC+b·cosA。對這三個式子進行整理計算就可以得到余弦定理了，這樣就完成了證明過程。同時，利用向量法證明余弦定理和正弦定理不用區分三角形是銳角三角形還是鈍角三角形。

綜上所述，在數學問題的解答過程中，我們運用向量法進行輔助解答或者運用向量法作為主要方法解答問題，都需要我們掌握牢固的向量知識。只有在具備了扎實的向量基礎的前提下，才可以在解決數學問題的過程中進行靈活的運用。