如何實現“數”與“形”的結合
——初中數學教學中數形結合思想應用探究

江蘇省海門市四甲初級中學 張妙琴

如何實現“數”與“形”的結合
——初中數學教學中數形結合思想應用探究

江蘇省海門市四甲初級中學 張妙琴

“授之以魚不如授之以漁，授之以漁不如引之欲漁”，而“欲漁”的關鍵是思想的形成。在初中數學的學習過程中，數學思想的形成與應用是數學學習的最高智慧所在，其中最常見的就是數形結合思想。以具體案例為研究對象，結合思想滲透的要點開展研究，可以進階提升教學的效果和價值。

思想；初中數學；應用

隨著教育的飛速發展，教師在教學過程中越來越注重學生的學習需求。在初中數學課堂上普及數學思想，并引導學生逐漸形成數學思想解決實際問題，已經成為當前教育的主要教學形式之一。數形結合思想在教學中的運用非常廣泛，本文將對如何實現 “數”與“形”的結合展開簡單探究。

一、在解決實際問題時利用數形結合思想，理清解題思路

初中數學的知識難度較低，并且在生活中有著廣泛運用。在日常的學習中，我們經常會遇到一些實際問題，需要利用數學知識來進行解決，此時如果可以很好地運用的數形結合思想，能夠有效地幫助學生理清問題的思路，從而更加高效地解決問題。作為教學的引導者，教師要注重在日常的學習課堂上有意識地滲透數形結合的思想，多為學生創造利用數學思想解決實際問題的機會。

如題：甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發相向而行，并以各自的速度勻速行駛，甲車途經C地時休息一小時，然后按原速度繼續前進到達B地；乙車從B地直接到達A地，圖1是甲、乙兩車和B地的距離y（千米）與甲車出發時間x（小時）的函數圖象。求 a，m，n的值。對于這道題，我們應當將圖象和題意結合在一起，如題中提到“甲車途經C地時休息一小時”，也就是說m到2.5的長度為一個小時，m應該等于1.5，乙車勻速行駛，在2小時的時候行駛了120千米，則其速度為60千米每小時，由m=1.5，可以得知a=1.5×60=90。通過數形結合，還可以知道在m小時的時候，甲車行駛了300-120=180千米，由此可以求出甲車的速度為120千米每小時，那么2.5小時到n小時這段時間里，甲車的路程為120千米，可求出n-2.5=1，即n=3.5。

利用數形結合的數學思想，的確能夠解決一些數學方面的實際問題。在教學過程中，教師要注重培養學生的數學思想，提高學生的數學知識運用能力，讓學生養成綜合的數學能力，從而提高教學效率。

圖1

二、在研究平面幾何時利用數形結合思想，抽象轉為直觀

眾所周知，平面幾何圖形的問題是初中數學教學過程中的重點內容，它主要研究的是圖形的性質以及位置關系，在這個部分運用到數形結合思想的地方比較多，如勾股定理、解直角三角形、圓與圓的位置關系、點和圓的位置關系等。初中數學教材中有許多知識內容涉及幾何圖形，因此在開展這部分教學時，教師可以引導學生學習數形結合的數學思想，更加方便地解決一些平面幾何圖形的問題。

如題：如圖2，⊙O是△ABC的外接圓，FH是⊙O 的切線，切點為F，FH∥BC，連接AF交BC于E，∠ABC的平分線BD交AF于D，連接BF。（1）證明：AF平分∠BAC；（2）證明：BF＝FD。對于第一個問題，我們應當在圖上做出一條輔助線，連接OF，如圖3?！逨H是⊙O的切線 ，∴OF⊥FH；∵FH∥BC，∴OF垂直平分BC（這里運用到了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧），∴BF＝ FC，∴AF平分∠BAC。而對于第二個問題，通過第一問中我們求出的答案可以知道∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2，∴∠1+∠4=∠2+∠3 ，∠FDB=∠FBD，∴BF=FD。通過對集中的數據以及圖形中所表達的關系的結合，學生們順利地解決了這道題中的兩個小問題。

圖2

圖3

平面幾何圖形關系是初中數學教學內容中的重要組成部分，在開展這部分內容的教學時，要有意識地向學生滲透數形結合的思想，能夠在無形之中引導學生養成良好的學習習慣，思路清晰地解決幾何圖形問題。

三、在遇到統計問題時利用數形結合思想，呈現數量關系

除了一些實際問題以及平面幾何問題外，初中生們在遇到統計問題時同樣也可以使用數形結合的數學思想來進行解決。在統計問題中，數據能夠以離散點的形式反映在平面直角坐標系上，當我們需要研究一組數據的集中趨勢，或者研究坐標系中離散點的分布規律時，就可以利用數形結合的思想方法，將問題中所給出的數據直觀地呈現在大家眼前。對平均數、眾數、中位數、方差、標準差等概念，都可以用數形結合的方法來加深學生的理解。

如題：某校某班級組建籃球隊，對甲、乙兩名備選同學進行定位投籃測試，每次投10個球，共投10次，甲、乙兩名同學測試情況如圖4所示。（1）根據如圖所提供的信息填寫下表。（2）如果你是文體委員，會選擇哪名同學進入籃球隊？請說明理由。對于這道題來說，我們可以通過對題中所給出的數據圖進行有效分析，計算出甲、乙十次投籃一共投進多少個球，然后用總個數除以投籃次數得到平均數。而眾數的填寫，則是要從圖中挑出出現頻數最多次的那個數。而對于第二個問題，經過學習我們可以知道，樣本中各數據與樣本平均數的差的平方和的平均數叫作樣本方差，樣本方差越大，樣本數據的波動就越大，為了保證成績的穩定，應當選擇方差小的那位學生，也就是甲。

圖4

數形結合思想在解決統計問題時有著非凡的作用，我們可以利用題中所給出的圖表來分析出一些相關的數據，從而順利地解決統計問題，提高學生的數學思想應用能力，進一步增強學生的數學水平。

總而言之，數學教學過程中利用數形結合思想的地方有很多，因此教師需要注重數學思想的滲透，引導學生實現數與形的結合，發散數學思維。