如何實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的結(jié)合
——初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用探究

江蘇省海門市四甲初級中學(xué) 張妙琴

如何實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的結(jié)合
——初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用探究

江蘇省海門市四甲初級中學(xué) 張妙琴

“授之以魚不如授之以漁，授之以漁不如引之欲漁”，而“欲漁”的關(guān)鍵是思想的形成。在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)思想的形成與應(yīng)用是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高智慧所在，其中最常見的就是數(shù)形結(jié)合思想。以具體案例為研究對象，結(jié)合思想滲透的要點開展研究，可以進(jìn)階提升教學(xué)的效果和價值。

思想；初中數(shù)學(xué)；應(yīng)用

隨著教育的飛速發(fā)展，教師在教學(xué)過程中越來越注重學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。在初中數(shù)學(xué)課堂上普及數(shù)學(xué)思想，并引導(dǎo)學(xué)生逐漸形成數(shù)學(xué)思想解決實際問題，已經(jīng)成為當(dāng)前教育的主要教學(xué)形式之一。數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的運(yùn)用非常廣泛，本文將對如何實現(xiàn) “數(shù)”與“形”的結(jié)合展開簡單探究。

一、在解決實際問題時利用數(shù)形結(jié)合思想，理清解題思路

初中數(shù)學(xué)的知識難度較低，并且在生活中有著廣泛運(yùn)用。在日常的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會遇到一些實際問題，需要利用數(shù)學(xué)知識來進(jìn)行解決，此時如果可以很好地運(yùn)用的數(shù)形結(jié)合思想，能夠有效地幫助學(xué)生理清問題的思路，從而更加高效地解決問題。作為教學(xué)的引導(dǎo)者，教師要注重在日常的學(xué)習(xí)課堂上有意識地滲透數(shù)形結(jié)合的思想，多為學(xué)生創(chuàng)造利用數(shù)學(xué)思想解決實際問題的機(jī)會。

如題：甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，并以各自的速度勻速行駛，甲車途經(jīng)C地時休息一小時，然后按原速度繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)B地；乙車從B地直接到達(dá)A地，圖1是甲、乙兩車和B地的距離y（千米）與甲車出發(fā)時間x（小時）的函數(shù)圖象。求 a，m，n的值。對于這道題，我們應(yīng)當(dāng)將圖象和題意結(jié)合在一起，如題中提到“甲車途經(jīng)C地時休息一小時”，也就是說m到2.5的長度為一個小時，m應(yīng)該等于1.5，乙車勻速行駛，在2小時的時候行駛了120千米，則其速度為60千米每小時，由m=1.5，可以得知a=1.5×60=90。通過數(shù)形結(jié)合，還可以知道在m小時的時候，甲車行駛了300-120=180千米，由此可以求出甲車的速度為120千米每小時，那么2.5小時到n小時這段時間里，甲車的路程為120千米，可求出n-2.5=1，即n=3.5。

利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，的確能夠解決一些數(shù)學(xué)方面的實際問題。在教學(xué)過程中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識運(yùn)用能力，讓學(xué)生養(yǎng)成綜合的數(shù)學(xué)能力，從而提高教學(xué)效率。

圖1

二、在研究平面幾何時利用數(shù)形結(jié)合思想，抽象轉(zhuǎn)為直觀

眾所周知，平面幾何圖形的問題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的重點內(nèi)容，它主要研究的是圖形的性質(zhì)以及位置關(guān)系，在這個部分運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合思想的地方比較多，如勾股定理、解直角三角形、圓與圓的位置關(guān)系、點和圓的位置關(guān)系等。初中數(shù)學(xué)教材中有許多知識內(nèi)容涉及幾何圖形，因此在開展這部分教學(xué)時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，更加方便地解決一些平面幾何圖形的問題。

如題：如圖2，⊙O是△ABC的外接圓，F(xiàn)H是⊙O 的切線，切點為F，F(xiàn)H∥BC，連接AF交BC于E，∠ABC的平分線BD交AF于D，連接BF。（1）證明：AF平分∠BAC；（2）證明：BF＝FD。對于第一個問題，我們應(yīng)當(dāng)在圖上做出一條輔助線，連接OF，如圖3。∵FH是⊙O的切線 ，∴OF⊥FH；∵FH∥BC，∴OF垂直平分BC（這里運(yùn)用到了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧），∴BF＝ FC，∴AF平分∠BAC。而對于第二個問題，通過第一問中我們求出的答案可以知道∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2，∴∠1+∠4=∠2+∠3 ，∠FDB=∠FBD，∴BF=FD。通過對集中的數(shù)據(jù)以及圖形中所表達(dá)的關(guān)系的結(jié)合，學(xué)生們順利地解決了這道題中的兩個小問題。

圖2

圖3

平面幾何圖形關(guān)系是初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的重要組成部分，在開展這部分內(nèi)容的教學(xué)時，要有意識地向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，能夠在無形之中引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，思路清晰地解決幾何圖形問題。

三、在遇到統(tǒng)計問題時利用數(shù)形結(jié)合思想，呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系

除了一些實際問題以及平面幾何問題外，初中生們在遇到統(tǒng)計問題時同樣也可以使用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來進(jìn)行解決。在統(tǒng)計問題中，數(shù)據(jù)能夠以離散點的形式反映在平面直角坐標(biāo)系上，當(dāng)我們需要研究一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，或者研究坐標(biāo)系中離散點的分布規(guī)律時，就可以利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，將問題中所給出的數(shù)據(jù)直觀地呈現(xiàn)在大家眼前。對平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等概念，都可以用數(shù)形結(jié)合的方法來加深學(xué)生的理解。

如題：某校某班級組建籃球隊，對甲、乙兩名備選同學(xué)進(jìn)行定位投籃測試，每次投10個球，共投10次，甲、乙兩名同學(xué)測試情況如圖4所示。（1）根據(jù)如圖所提供的信息填寫下表。（2）如果你是文體委員，會選擇哪名同學(xué)進(jìn)入籃球隊？請說明理由。對于這道題來說，我們可以通過對題中所給出的數(shù)據(jù)圖進(jìn)行有效分析，計算出甲、乙十次投籃一共投進(jìn)多少個球，然后用總個數(shù)除以投籃次數(shù)得到平均數(shù)。而眾數(shù)的填寫，則是要從圖中挑出出現(xiàn)頻數(shù)最多次的那個數(shù)。而對于第二個問題，經(jīng)過學(xué)習(xí)我們可以知道，樣本中各數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)叫作樣本方差，樣本方差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動就越大，為了保證成績的穩(wěn)定，應(yīng)當(dāng)選擇方差小的那位學(xué)生，也就是甲。

圖4

數(shù)形結(jié)合思想在解決統(tǒng)計問題時有著非凡的作用，我們可以利用題中所給出的圖表來分析出一些相關(guān)的數(shù)據(jù)，從而順利地解決統(tǒng)計問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用能力，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。

總而言之，數(shù)學(xué)教學(xué)過程中利用數(shù)形結(jié)合思想的地方有很多，因此教師需要注重數(shù)學(xué)思想的滲透，引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合，發(fā)散數(shù)學(xué)思維。